Theorem mulgnn0subcl 19055

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnnsubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnnsubcl.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnnsubcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
mulgnnsubcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
mulgnnsubcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
mulgnnsubcl.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
mulgnn0subcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
mulgnn0subcl.c	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0subcl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, +   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, ·   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   · (𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mulgnn0subcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnnsubcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mulgnnsubcl.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3		mulgnnsubcl.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		mulgnnsubcl.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
5		mulgnnsubcl.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
6		mulgnnsubcl.c	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	mulgnnsubcl 19054	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
8	7	3expa 1124	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
9	8	an32s 658	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
10	9	3adantl2 1174	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
11		oveq1 7364	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
12	5	3ad2ant1 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
13		simp3 1144	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
14	12, 13	sseldd 3916	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝐵)
15		mulgnn0subcl.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
16	1, 15, 2	mulg0 19042	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )
17	14, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (0 · 𝑋) = 0 )
18	11, 17	sylan9eqr 2796	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 · 𝑋) = 0 )
19		mulgnn0subcl.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
20	19	3ad2ant1 1139	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 0 ∈ 𝑆)
21	20	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → 0 ∈ 𝑆)
22	18, 21	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
23		simp2 1143	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
24		elnn0 12431	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
25	23, 24	sylib 219	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
26	10, 22, 25	mpjaodan 966	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 853   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  0cc0 11030  ℕcn 12166  ℕ₀cn0 12429  Basecbs 17171  +_gcplusg 17212  0_gc0g 17394  ._gcmg 19035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-fz 13454  df-seq 13956  df-mulg 19036

This theorem is referenced by:  mulgsubcl  19056  mulgnn0cl  19058  submmulgcl  19085  mplbas2  22019  evls1fldgencl  33863