Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnn0subcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgnn0subcl 18241
 Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnnsubcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnnsubcl.t · = (.g𝐺)
mulgnnsubcl.p + = (+g𝐺)
mulgnnsubcl.g (𝜑𝐺𝑉)
mulgnnsubcl.s (𝜑𝑆𝐵)
mulgnnsubcl.c ((𝜑𝑥𝑆𝑦𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
mulgnn0subcl.z 0 = (0g𝐺)
mulgnn0subcl.c (𝜑0𝑆)
Assertion
Ref Expression
mulgnn0subcl ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, +   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, ·   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   · (𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mulgnn0subcl
StepHypRef Expression
1 mulgnnsubcl.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 mulgnnsubcl.t . . . . . 6 · = (.g𝐺)
3 mulgnnsubcl.p . . . . . 6 + = (+g𝐺)
4 mulgnnsubcl.g . . . . . 6 (𝜑𝐺𝑉)
5 mulgnnsubcl.s . . . . . 6 (𝜑𝑆𝐵)
6 mulgnnsubcl.c . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆𝑦𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
71, 2, 3, 4, 5, 6mulgnnsubcl 18240 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
873expa 1115 . . . 4 (((𝜑𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑋𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
98an32s 651 . . 3 (((𝜑𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
1093adantl2 1164 . 2 (((𝜑𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
11 oveq1 7156 . . . 4 (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
1253ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → 𝑆𝐵)
13 simp3 1135 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → 𝑋𝑆)
1412, 13sseldd 3954 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → 𝑋𝐵)
15 mulgnn0subcl.z . . . . . 6 0 = (0g𝐺)
161, 15, 2mulg0 18231 . . . . 5 (𝑋𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )
1714, 16syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → (0 · 𝑋) = 0 )
1811, 17sylan9eqr 2881 . . 3 (((𝜑𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 · 𝑋) = 0 )
19 mulgnn0subcl.c . . . . 5 (𝜑0𝑆)
20193ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → 0𝑆)
2120adantr 484 . . 3 (((𝜑𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → 0𝑆)
2218, 21eqeltrd 2916 . 2 (((𝜑𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
23 simp2 1134 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
24 elnn0 11896 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2523, 24sylib 221 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2610, 22, 25mpjaodan 956 1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ⊆ wss 3919  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  0cc0 10535  ℕcn 11634  ℕ0cn0 11894  Basecbs 16483  +gcplusg 16565  0gc0g 16713  .gcmg 18224 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-seq 13374  df-mulg 18225 This theorem is referenced by:  mulgsubcl  18242  mulgnn0cl  18244  submmulgcl  18270  mplbas2  20251
 Copyright terms: Public domain W3C validator