Theorem mulgnn 18999

Description: Group multiple (exponentiation) operation at a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
mulgnn.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnn.s	⊢ 𝑆 = seq1( + , (ℕ × {𝑋}))

Assertion

Ref	Expression
mulgnn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (𝑆‘𝑁))

Proof of Theorem mulgnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 12578	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
2		mulgnn.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		mulgnn.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
6		mulgnn.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
7		mulgnn.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = seq1( + , (ℕ × {𝑋}))
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	mulgval 18995	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = if(𝑁 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), ((invg‘𝐺)‘(𝑆‘-𝑁)))))
9	1, 8	sylan 579	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = if(𝑁 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), ((invg‘𝐺)‘(𝑆‘-𝑁)))))
10		nnne0 12245	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
11	10	neneqd 2937	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 = 0)
12	11	iffalsed 4532	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → if(𝑁 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), ((invg‘𝐺)‘(𝑆‘-𝑁)))) = if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), ((invg‘𝐺)‘(𝑆‘-𝑁))))
13		nngt0 12242	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
14	13	iftrued 4529	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), ((invg‘𝐺)‘(𝑆‘-𝑁))) = (𝑆‘𝑁))
15	12, 14	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → if(𝑁 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), ((invg‘𝐺)‘(𝑆‘-𝑁)))) = (𝑆‘𝑁))
16	15	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → if(𝑁 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), ((invg‘𝐺)‘(𝑆‘-𝑁)))) = (𝑆‘𝑁))
17	9, 16	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (𝑆‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ifcif 4521  {csn 4621   class class class wbr 5139   × cxp 5665  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  0cc0 11107  1c1 11108   < clt 11247  -cneg 11444  ℕcn 12211  ℤcz 12557  seqcseq 13967  Basecbs 17149  +_gcplusg 17202  0_gc0g 17390  inv_gcminusg 18860  ._gcmg 18991

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-seq 13968  df-mulg 18992

This theorem is referenced by:  ressmulgnn  19000  mulgnngsum  19002  mulg1  19004  mulgnnp1  19005  mulgnegnn  19007  mulgnnsubcl  19009  mulgnn0z  19024  mulgnndir  19026  submmulg  19041  subgmulg  19063  mulgnn0di  19741  gsumconst  19850