MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgnn 19106
Description: Group multiple (exponentiation) operation at a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnn.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn.p + = (+g𝐺)
mulgnn.t · = (.g𝐺)
mulgnn.s 𝑆 = seq1( + , (ℕ × {𝑋}))
Assertion
Ref Expression
mulgnn ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (𝑆𝑁))

Proof of Theorem mulgnn
StepHypRef Expression
1 nnz 12632 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
2 mulgnn.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 mulgnn.p . . . 4 + = (+g𝐺)
4 eqid 2735 . . . 4 (0g𝐺) = (0g𝐺)
5 eqid 2735 . . . 4 (invg𝐺) = (invg𝐺)
6 mulgnn.t . . . 4 · = (.g𝐺)
7 mulgnn.s . . . 4 𝑆 = seq1( + , (ℕ × {𝑋}))
82, 3, 4, 5, 6, 7mulgval 19102 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = if(𝑁 = 0, (0g𝐺), if(0 < 𝑁, (𝑆𝑁), ((invg𝐺)‘(𝑆‘-𝑁)))))
91, 8sylan 580 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = if(𝑁 = 0, (0g𝐺), if(0 < 𝑁, (𝑆𝑁), ((invg𝐺)‘(𝑆‘-𝑁)))))
10 nnne0 12298 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
1110neneqd 2943 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 = 0)
1211iffalsed 4542 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → if(𝑁 = 0, (0g𝐺), if(0 < 𝑁, (𝑆𝑁), ((invg𝐺)‘(𝑆‘-𝑁)))) = if(0 < 𝑁, (𝑆𝑁), ((invg𝐺)‘(𝑆‘-𝑁))))
13 nngt0 12295 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
1413iftrued 4539 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → if(0 < 𝑁, (𝑆𝑁), ((invg𝐺)‘(𝑆‘-𝑁))) = (𝑆𝑁))
1512, 14eqtrd 2775 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → if(𝑁 = 0, (0g𝐺), if(0 < 𝑁, (𝑆𝑁), ((invg𝐺)‘(𝑆‘-𝑁)))) = (𝑆𝑁))
1615adantr 480 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → if(𝑁 = 0, (0g𝐺), if(0 < 𝑁, (𝑆𝑁), ((invg𝐺)‘(𝑆‘-𝑁)))) = (𝑆𝑁))
179, 16eqtrd 2775 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (𝑆𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  ifcif 4531  {csn 4631   class class class wbr 5148   × cxp 5687  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   < clt 11293  -cneg 11491  cn 12264  cz 12611  seqcseq 14039  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  0gc0g 17486  invgcminusg 18965  .gcmg 19098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-seq 14040  df-mulg 19099
This theorem is referenced by:  ressmulgnn  19107  ressmulgnnd  19109  mulgnngsum  19110  mulg1  19112  mulgnnp1  19113  mulgnegnn  19115  mulgnnsubcl  19117  mulgnn0z  19132  mulgnndir  19134  submmulg  19149  subgmulg  19171  mulgnn0di  19858  gsumconst  19967
  Copyright terms: Public domain W3C validator