Theorem mulgnn 18708

Description: Group multiple (exponentiation) operation at a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
mulgnn.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnn.s	⊢ 𝑆 = seq1( + , (ℕ × {𝑋}))

Assertion

Ref	Expression
mulgnn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (𝑆‘𝑁))

Proof of Theorem mulgnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 12342	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
2		mulgnn.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		mulgnn.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
6		mulgnn.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
7		mulgnn.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = seq1( + , (ℕ × {𝑋}))
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	mulgval 18704	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = if(𝑁 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), ((invg‘𝐺)‘(𝑆‘-𝑁)))))
9	1, 8	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = if(𝑁 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), ((invg‘𝐺)‘(𝑆‘-𝑁)))))
10		nnne0 12007	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
11	10	neneqd 2948	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 = 0)
12	11	iffalsed 4470	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → if(𝑁 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), ((invg‘𝐺)‘(𝑆‘-𝑁)))) = if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), ((invg‘𝐺)‘(𝑆‘-𝑁))))
13		nngt0 12004	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
14	13	iftrued 4467	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), ((invg‘𝐺)‘(𝑆‘-𝑁))) = (𝑆‘𝑁))
15	12, 14	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → if(𝑁 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), ((invg‘𝐺)‘(𝑆‘-𝑁)))) = (𝑆‘𝑁))
16	15	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → if(𝑁 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), ((invg‘𝐺)‘(𝑆‘-𝑁)))) = (𝑆‘𝑁))
17	9, 16	eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (𝑆‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ifcif 4459  {csn 4561   class class class wbr 5074   × cxp 5587  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   < clt 11009  -cneg 11206  ℕcn 11973  ℤcz 12319  seqcseq 13721  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  0_gc0g 17150  inv_gcminusg 18578  ._gcmg 18700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-seq 13722  df-mulg 18701

This theorem is referenced by:  mulgnngsum  18709  mulg1  18711  mulgnnp1  18712  mulgnegnn  18714  mulgnnsubcl  18716  mulgnn0z  18730  mulgnndir  18732  submmulg  18747  subgmulg  18769  mulgnn0di  19427  gsumconst  19535  ressmulgnn  31292