Theorem mulgnn 18958

Description: Group multiple (exponentiation) operation at a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
mulgnn.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnn.s	⊢ 𝑆 = seq1( + , (ℕ × {𝑋}))

Assertion

Ref	Expression
mulgnn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (𝑆‘𝑁))

Proof of Theorem mulgnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 12579	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
2		mulgnn.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		mulgnn.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
6		mulgnn.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
7		mulgnn.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = seq1( + , (ℕ × {𝑋}))
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	mulgval 18954	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = if(𝑁 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), ((invg‘𝐺)‘(𝑆‘-𝑁)))))
9	1, 8	sylan 581	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = if(𝑁 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), ((invg‘𝐺)‘(𝑆‘-𝑁)))))
10		nnne0 12246	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
11	10	neneqd 2946	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 = 0)
12	11	iffalsed 4540	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → if(𝑁 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), ((invg‘𝐺)‘(𝑆‘-𝑁)))) = if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), ((invg‘𝐺)‘(𝑆‘-𝑁))))
13		nngt0 12243	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
14	13	iftrued 4537	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), ((invg‘𝐺)‘(𝑆‘-𝑁))) = (𝑆‘𝑁))
15	12, 14	eqtrd 2773	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → if(𝑁 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), ((invg‘𝐺)‘(𝑆‘-𝑁)))) = (𝑆‘𝑁))
16	15	adantr 482	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → if(𝑁 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), ((invg‘𝐺)‘(𝑆‘-𝑁)))) = (𝑆‘𝑁))
17	9, 16	eqtrd 2773	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (𝑆‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ifcif 4529  {csn 4629   class class class wbr 5149   × cxp 5675  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   < clt 11248  -cneg 11445  ℕcn 12212  ℤcz 12558  seqcseq 13966  Basecbs 17144  +_gcplusg 17197  0_gc0g 17385  inv_gcminusg 18820  ._gcmg 18950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-seq 13967  df-mulg 18951

This theorem is referenced by:  mulgnngsum  18959  mulg1  18961  mulgnnp1  18962  mulgnegnn  18964  mulgnnsubcl  18966  mulgnn0z  18981  mulgnndir  18983  submmulg  18998  subgmulg  19020  mulgnn0di  19693  gsumconst  19802  ressmulgnn  32184