MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgnn 19031
Description: Group multiple (exponentiation) operation at a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnn.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
mulgnn.p + = (+gโ€˜๐บ)
mulgnn.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
mulgnn.s ๐‘† = seq1( + , (โ„• ร— {๐‘‹}))
Assertion
Ref Expression
mulgnn ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐‘†โ€˜๐‘))

Proof of Theorem mulgnn
StepHypRef Expression
1 nnz 12610 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
2 mulgnn.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
3 mulgnn.p . . . 4 + = (+gโ€˜๐บ)
4 eqid 2728 . . . 4 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
5 eqid 2728 . . . 4 (invgโ€˜๐บ) = (invgโ€˜๐บ)
6 mulgnn.t . . . 4 ยท = (.gโ€˜๐บ)
7 mulgnn.s . . . 4 ๐‘† = seq1( + , (โ„• ร— {๐‘‹}))
82, 3, 4, 5, 6, 7mulgval 19027 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) = if(๐‘ = 0, (0gโ€˜๐บ), if(0 < ๐‘, (๐‘†โ€˜๐‘), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘†โ€˜-๐‘)))))
91, 8sylan 579 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) = if(๐‘ = 0, (0gโ€˜๐บ), if(0 < ๐‘, (๐‘†โ€˜๐‘), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘†โ€˜-๐‘)))))
10 nnne0 12277 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โ‰  0)
1110neneqd 2942 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ยฌ ๐‘ = 0)
1211iffalsed 4540 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ if(๐‘ = 0, (0gโ€˜๐บ), if(0 < ๐‘, (๐‘†โ€˜๐‘), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘†โ€˜-๐‘)))) = if(0 < ๐‘, (๐‘†โ€˜๐‘), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘†โ€˜-๐‘))))
13 nngt0 12274 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐‘)
1413iftrued 4537 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ if(0 < ๐‘, (๐‘†โ€˜๐‘), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘†โ€˜-๐‘))) = (๐‘†โ€˜๐‘))
1512, 14eqtrd 2768 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ if(๐‘ = 0, (0gโ€˜๐บ), if(0 < ๐‘, (๐‘†โ€˜๐‘), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘†โ€˜-๐‘)))) = (๐‘†โ€˜๐‘))
1615adantr 480 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ if(๐‘ = 0, (0gโ€˜๐บ), if(0 < ๐‘, (๐‘†โ€˜๐‘), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘†โ€˜-๐‘)))) = (๐‘†โ€˜๐‘))
179, 16eqtrd 2768 1 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐‘†โ€˜๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  ifcif 4529  {csn 4629   class class class wbr 5148   ร— cxp 5676  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  0cc0 11139  1c1 11140   < clt 11279  -cneg 11476  โ„•cn 12243  โ„คcz 12589  seqcseq 13999  Basecbs 17180  +gcplusg 17233  0gc0g 17421  invgcminusg 18891  .gcmg 19023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-seq 14000  df-mulg 19024
This theorem is referenced by:  ressmulgnn  19032  mulgnngsum  19034  mulg1  19036  mulgnnp1  19037  mulgnegnn  19039  mulgnnsubcl  19041  mulgnn0z  19056  mulgnndir  19058  submmulg  19073  subgmulg  19095  mulgnn0di  19780  gsumconst  19889  ressmulgnnd  41569
  Copyright terms: Public domain W3C validator