Theorem sqoddm1div8z 16568

Description: A squared odd number minus 1 divided by 8 is an integer. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sqoddm1div8z	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (((𝑁↑2) − 1) / 8) ∈ ℤ)

Proof of Theorem sqoddm1div8z

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odd2np1 16555	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑁))
2	1	biimpa 482	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑁)
3		eqcom 2770	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝑘) + 1) = 𝑁 ↔ 𝑁 = ((2 · 𝑘) + 1))
4		sqoddm1div8 14428	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑘) + 1)) → (((𝑁↑2) − 1) / 8) = ((𝑘 · (𝑘 + 1)) / 2))
5	4	adantll 727	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑘) + 1)) → (((𝑁↑2) − 1) / 8) = ((𝑘 · (𝑘 + 1)) / 2))
6		mulsucdiv2z 16567	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑘 · (𝑘 + 1)) / 2) ∈ ℤ)
7	6	ad2antlr 740	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑘) + 1)) → ((𝑘 · (𝑘 + 1)) / 2) ∈ ℤ)
8	5, 7	eqeltrd 2864	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑘) + 1)) → (((𝑁↑2) − 1) / 8) ∈ ℤ)
9	8	ex 418	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 = ((2 · 𝑘) + 1) → (((𝑁↑2) − 1) / 8) ∈ ℤ))
10	3, 9	biimtrid 245	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑘) + 1) = 𝑁 → (((𝑁↑2) − 1) / 8) ∈ ℤ))
11	10	rexlimdva 3167	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑁 → (((𝑁↑2) − 1) / 8) ∈ ℤ))
12	2, 11	mpd 16	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (((𝑁↑2) − 1) / 8) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244   − cmin 11580   / cdiv 12013  2c2 12437  8c8 12443  ℤcz 12733  ↑cexp 14244   ∥ cdvds 16466

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-seq 14185  df-exp 14245  df-dvds 16467

This theorem is used by:  2lgsoddprm  27800