Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpcompact2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzpcompact2 38689
Description: Polynomials are finitary objects and can only reference a finite number of variables, even if the index set is infinite. Thus, every polynomial can be expressed as a (uniquely minimal, although we do not prove that) polynomial on a finite number of variables, which is then extended by adding an arbitrary set of ignored variables. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpcompact2 (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝐵) → ∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎𝐵𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏,𝑐
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑐)

Proof of Theorem mzpcompact2
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 6527 . 2 (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝐵) → 𝐵 ∈ V)
2 fveq2 6493 . . . . 5 (𝑑 = 𝐵 → (mzPoly‘𝑑) = (mzPoly‘𝐵))
32eleq2d 2845 . . . 4 (𝑑 = 𝐵 → (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑑) ↔ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝐵)))
4 sseq2 3879 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐵 → (𝑎𝑑𝑎𝐵))
5 oveq2 6978 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝐵 → (ℤ ↑𝑚 𝑑) = (ℤ ↑𝑚 𝐵))
65mpteq1d 5010 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝐵 → (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑑) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎))) = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎))))
76eqeq2d 2782 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐵 → (𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑑) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎))) ↔ 𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎)))))
84, 7anbi12d 621 . . . . 5 (𝑑 = 𝐵 → ((𝑎𝑑𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑑) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎)))) ↔ (𝑎𝐵𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎))))))
982rexbidv 3239 . . . 4 (𝑑 = 𝐵 → (∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎𝑑𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑑) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎)))) ↔ ∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎𝐵𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎))))))
103, 9imbi12d 337 . . 3 (𝑑 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑑) → ∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎𝑑𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑑) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎))))) ↔ (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝐵) → ∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎𝐵𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎)))))))
11 vex 3412 . . . 4 𝑑 ∈ V
1211mzpcompact2lem 38688 . . 3 (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑑) → ∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎𝑑𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑑) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎)))))
1310, 12vtoclg 3480 . 2 (𝐵 ∈ V → (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝐵) → ∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎𝐵𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎))))))
141, 13mpcom 38 1 (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝐵) → ∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎𝐵𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2048  wrex 3083  Vcvv 3409  wss 3825  cmpt 5002  cres 5402  cfv 6182  (class class class)co 6970  𝑚 cmap 8198  Fincfn 8298  cz 11786  mzPolycmzp 38659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-of 7221  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-oadd 7901  df-er 8081  df-map 8200  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-n0 11701  df-z 11787  df-mzpcl 38660  df-mzp 38661
This theorem is referenced by:  eldioph2  38699
  Copyright terms: Public domain W3C validator