Theorem mzpcompact2 43184

Description: Polynomials are finitary objects and can only reference a finite number of variables, even if the index set is infinite. Thus, every polynomial can be expressed as a (uniquely minimal, although we do not prove that) polynomial on a finite number of variables, which is then extended by adding an arbitrary set of ignored variables. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mzpcompact2	⊢ (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝐵) → ∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐 ↾ 𝑎)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏,𝑐

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑐)

Proof of Theorem mzpcompact2

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 6875	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝐵) → 𝐵 ∈ V)
2		fveq2 6840	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐵 → (mzPoly‘𝑑) = (mzPoly‘𝐵))
3	2	eleq2d 2822	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝐵 → (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑑) ↔ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝐵)))
4		sseq2 3948	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐵 → (𝑎 ⊆ 𝑑 ↔ 𝑎 ⊆ 𝐵))
5		oveq2 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = 𝐵 → (ℤ ↑m 𝑑) = (ℤ ↑m 𝐵))
6	5	mpteq1d 5175	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = 𝐵 → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑑) ↦ (𝑏‘(𝑐 ↾ 𝑎))) = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐 ↾ 𝑎))))
7	6	eqeq2d 2747	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐵 → (𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑑) ↦ (𝑏‘(𝑐 ↾ 𝑎))) ↔ 𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐 ↾ 𝑎)))))
8	4, 7	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐵 → ((𝑎 ⊆ 𝑑 ∧ 𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑑) ↦ (𝑏‘(𝑐 ↾ 𝑎)))) ↔ (𝑎 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐 ↾ 𝑎))))))
9	8	2rexbidv 3202	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝐵 → (∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎 ⊆ 𝑑 ∧ 𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑑) ↦ (𝑏‘(𝑐 ↾ 𝑎)))) ↔ ∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐 ↾ 𝑎))))))
10	3, 9	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑑 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑑) → ∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎 ⊆ 𝑑 ∧ 𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑑) ↦ (𝑏‘(𝑐 ↾ 𝑎))))) ↔ (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝐵) → ∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐 ↾ 𝑎)))))))
11		vex 3433	. . . 4 ⊢ 𝑑 ∈ V
12	11	mzpcompact2lem 43183	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑑) → ∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎 ⊆ 𝑑 ∧ 𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑑) ↦ (𝑏‘(𝑐 ↾ 𝑎)))))
13	10, 12	vtoclg 3499	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝐵) → ∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐 ↾ 𝑎))))))
14	1, 13	mpcom 38	1 ⊢ (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝐵) → ∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐 ↾ 𝑎)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061  Vcvv 3429   ⊆ wss 3889   ↦ cmpt 5166   ↾ cres 5633  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ↑_m cmap 8773  Fincfn 8893  ℤcz 12524  mzPolycmzp 43154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-mzpcl 43155  df-mzp 43156

This theorem is referenced by:  eldioph2  43194