Theorem mzpcompact2 43600

Description: Polynomials are finitary objects and can only reference a finite number of variables, even if the index set is infinite. Thus, every polynomial can be expressed as a (uniquely minimal, although we do not prove that) polynomial on a finite number of variables, which is then extended by adding an arbitrary set of ignored variables. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mzpcompact2	⊢ (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝐵) → ∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐 ↾ 𝑎)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏,𝑐

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑐)

Proof of Theorem mzpcompact2

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 6914	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝐵) → 𝐵 ∈ V)
2		fveq2 6879	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐵 → (mzPoly‘𝑑) = (mzPoly‘𝐵))
3	2	eleq2d 2846	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝐵 → (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑑) ↔ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝐵)))
4		sseq2 3957	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐵 → (𝑎 ⊆ 𝑑 ↔ 𝑎 ⊆ 𝐵))
5		oveq2 7422	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = 𝐵 → (ℤ ↑m 𝑑) = (ℤ ↑m 𝐵))
6	5	mpteq1d 5195	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = 𝐵 → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑑) ↦ (𝑏‘(𝑐 ↾ 𝑎))) = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐 ↾ 𝑎))))
7	6	eqeq2d 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐵 → (𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑑) ↦ (𝑏‘(𝑐 ↾ 𝑎))) ↔ 𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐 ↾ 𝑎)))))
8	4, 7	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐵 → ((𝑎 ⊆ 𝑑 ∧ 𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑑) ↦ (𝑏‘(𝑐 ↾ 𝑎)))) ↔ (𝑎 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐 ↾ 𝑎))))))
9	8	2rexbidv 3227	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝐵 → (∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎 ⊆ 𝑑 ∧ 𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑑) ↦ (𝑏‘(𝑐 ↾ 𝑎)))) ↔ ∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐 ↾ 𝑎))))))
10	3, 9	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑑 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑑) → ∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎 ⊆ 𝑑 ∧ 𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑑) ↦ (𝑏‘(𝑐 ↾ 𝑎))))) ↔ (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝐵) → ∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐 ↾ 𝑎)))))))
11		vex 3454	. . . 4 ⊢ 𝑑 ∈ V
12	11	mzpcompact2lem 43599	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑑) → ∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎 ⊆ 𝑑 ∧ 𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑑) ↦ (𝑏‘(𝑐 ↾ 𝑎)))))
13	10, 12	vtoclg 3517	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝐵) → ∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐 ↾ 𝑎))))))
14	1, 13	mpcom 39	1 ⊢ (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝐵) → ∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐 ↾ 𝑎)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899   ↦ cmpt 5186   ↾ cres 5657  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   ↑_m cmap 8829  Fincfn 8955  ℤcz 12618  mzPolycmzp 43570

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619  df-mzpcl 43571  df-mzp 43572

This theorem is used by:  eldioph2  43610