Theorem mzpcompact2 40490

Description: Polynomials are finitary objects and can only reference a finite number of variables, even if the index set is infinite. Thus, every polynomial can be expressed as a (uniquely minimal, although we do not prove that) polynomial on a finite number of variables, which is then extended by adding an arbitrary set of ignored variables. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mzpcompact2	⊢ (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝐵) → ∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐 ↾ 𝑎)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏,𝑐

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑐)

Proof of Theorem mzpcompact2

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 6789	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝐵) → 𝐵 ∈ V)
2		fveq2 6756	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐵 → (mzPoly‘𝑑) = (mzPoly‘𝐵))
3	2	eleq2d 2824	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝐵 → (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑑) ↔ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝐵)))
4		sseq2 3943	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐵 → (𝑎 ⊆ 𝑑 ↔ 𝑎 ⊆ 𝐵))
5		oveq2 7263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = 𝐵 → (ℤ ↑m 𝑑) = (ℤ ↑m 𝐵))
6	5	mpteq1d 5165	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = 𝐵 → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑑) ↦ (𝑏‘(𝑐 ↾ 𝑎))) = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐 ↾ 𝑎))))
7	6	eqeq2d 2749	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐵 → (𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑑) ↦ (𝑏‘(𝑐 ↾ 𝑎))) ↔ 𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐 ↾ 𝑎)))))
8	4, 7	anbi12d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐵 → ((𝑎 ⊆ 𝑑 ∧ 𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑑) ↦ (𝑏‘(𝑐 ↾ 𝑎)))) ↔ (𝑎 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐 ↾ 𝑎))))))
9	8	2rexbidv 3228	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝐵 → (∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎 ⊆ 𝑑 ∧ 𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑑) ↦ (𝑏‘(𝑐 ↾ 𝑎)))) ↔ ∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐 ↾ 𝑎))))))
10	3, 9	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑑 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑑) → ∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎 ⊆ 𝑑 ∧ 𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑑) ↦ (𝑏‘(𝑐 ↾ 𝑎))))) ↔ (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝐵) → ∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐 ↾ 𝑎)))))))
11		vex 3426	. . . 4 ⊢ 𝑑 ∈ V
12	11	mzpcompact2lem 40489	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑑) → ∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎 ⊆ 𝑑 ∧ 𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑑) ↦ (𝑏‘(𝑐 ↾ 𝑎)))))
13	10, 12	vtoclg 3495	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝐵) → ∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐 ↾ 𝑎))))))
14	1, 13	mpcom 38	1 ⊢ (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝐵) → ∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐 ↾ 𝑎)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883   ↦ cmpt 5153   ↾ cres 5582  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573  Fincfn 8691  ℤcz 12249  mzPolycmzp 40460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-mzpcl 40461  df-mzp 40462

This theorem is referenced by:  eldioph2  40500