Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpcompact2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzpcompact2 40112
 Description: Polynomials are finitary objects and can only reference a finite number of variables, even if the index set is infinite. Thus, every polynomial can be expressed as a (uniquely minimal, although we do not prove that) polynomial on a finite number of variables, which is then extended by adding an arbitrary set of ignored variables. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpcompact2 (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝐵) → ∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎𝐵𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏,𝑐
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑐)

Proof of Theorem mzpcompact2
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 6697 . 2 (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝐵) → 𝐵 ∈ V)
2 fveq2 6664 . . . . 5 (𝑑 = 𝐵 → (mzPoly‘𝑑) = (mzPoly‘𝐵))
32eleq2d 2838 . . . 4 (𝑑 = 𝐵 → (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑑) ↔ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝐵)))
4 sseq2 3921 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐵 → (𝑎𝑑𝑎𝐵))
5 oveq2 7165 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝐵 → (ℤ ↑m 𝑑) = (ℤ ↑m 𝐵))
65mpteq1d 5126 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝐵 → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑑) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎))) = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎))))
76eqeq2d 2770 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐵 → (𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑑) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎))) ↔ 𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎)))))
84, 7anbi12d 633 . . . . 5 (𝑑 = 𝐵 → ((𝑎𝑑𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑑) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎)))) ↔ (𝑎𝐵𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎))))))
982rexbidv 3225 . . . 4 (𝑑 = 𝐵 → (∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎𝑑𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑑) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎)))) ↔ ∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎𝐵𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎))))))
103, 9imbi12d 348 . . 3 (𝑑 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑑) → ∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎𝑑𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑑) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎))))) ↔ (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝐵) → ∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎𝐵𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎)))))))
11 vex 3414 . . . 4 𝑑 ∈ V
1211mzpcompact2lem 40111 . . 3 (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑑) → ∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎𝑑𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝑑) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎)))))
1310, 12vtoclg 3488 . 2 (𝐵 ∈ V → (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝐵) → ∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎𝐵𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎))))))
141, 13mpcom 38 1 (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝐵) → ∃𝑎 ∈ Fin ∃𝑏 ∈ (mzPoly‘𝑎)(𝑎𝐵𝐴 = (𝑐 ∈ (ℤ ↑m 𝐵) ↦ (𝑏‘(𝑐𝑎)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∃wrex 3072  Vcvv 3410   ⊆ wss 3861   ↦ cmpt 5117   ↾ cres 5531  ‘cfv 6341  (class class class)co 7157   ↑m cmap 8423  Fincfn 8541  ℤcz 12034  mzPolycmzp 40082 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5161  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466  ax-cnex 10645  ax-resscn 10646  ax-1cn 10647  ax-icn 10648  ax-addcl 10649  ax-addrcl 10650  ax-mulcl 10651  ax-mulrcl 10652  ax-mulcom 10653  ax-addass 10654  ax-mulass 10655  ax-distr 10656  ax-i2m1 10657  ax-1ne0 10658  ax-1rid 10659  ax-rnegex 10660  ax-rrecex 10661  ax-cnre 10662  ax-pre-lttri 10663  ax-pre-lttrn 10664  ax-pre-ltadd 10665  ax-pre-mulgt0 10666 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4803  df-int 4843  df-iun 4889  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-tr 5144  df-id 5435  df-eprel 5440  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6132  df-ord 6178  df-on 6179  df-lim 6180  df-suc 6181  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7115  df-ov 7160  df-oprab 7161  df-mpo 7162  df-of 7412  df-om 7587  df-1st 7700  df-2nd 7701  df-wrecs 7964  df-recs 8025  df-rdg 8063  df-1o 8119  df-er 8306  df-map 8425  df-en 8542  df-dom 8543  df-sdom 8544  df-fin 8545  df-pnf 10729  df-mnf 10730  df-xr 10731  df-ltxr 10732  df-le 10733  df-sub 10924  df-neg 10925  df-nn 11689  df-n0 11949  df-z 12035  df-mzpcl 40083  df-mzp 40084 This theorem is referenced by:  eldioph2  40122
 Copyright terms: Public domain W3C validator