Theorem nn0n0n1ge2b 12593

Description: A nonnegative integer is neither 0 nor 1 if and only if it is greater than or equal to 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn0n0n1ge2b	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem nn0n0n1ge2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0n0n1ge2 12592	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → 2 ≤ 𝑁)
2	1	3expib 1121	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → 2 ≤ 𝑁))
3		ianor 983	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ (¬ 𝑁 ≠ 0 ∨ ¬ 𝑁 ≠ 1))
4		nne 2942	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑁 ≠ 0 ↔ 𝑁 = 0)
5		nne 2942	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑁 ≠ 1 ↔ 𝑁 = 1)
6	4, 5	orbi12i 914	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑁 ≠ 0 ∨ ¬ 𝑁 ≠ 1) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
7	3, 6	bitri 275	. . 3 ⊢ (¬ (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
8		2pos 12367	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
9		breq1 5151	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 < 2 ↔ 0 < 2))
10	8, 9	mpbiri 258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 < 2)
11	10	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 < 2))
12		1lt2 12435	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
13		breq1 5151	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 < 2 ↔ 1 < 2))
14	12, 13	mpbiri 258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 1 → 𝑁 < 2)
15	14	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 < 2))
16	11, 15	jaoi 857	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 < 2))
17	16	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)) → 𝑁 < 2)
18		nn0re 12533	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
19		2re 12338	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
20	18, 19	jctir 520	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ))
21	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ))
22		ltnle 11338	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (𝑁 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 𝑁))
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)) → (𝑁 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 𝑁))
24	17, 23	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)) → ¬ 2 ≤ 𝑁)
25	24	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1) → ¬ 2 ≤ 𝑁))
26	7, 25	biimtrid 242	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → ¬ 2 ≤ 𝑁))
27	2, 26	impcon4bid 227	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   class class class wbr 5148  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   < clt 11293   ≤ cle 11294  2c2 12319  ℕ₀cn0 12524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525

This theorem is referenced by:  xnn0n0n1ge2b  13171