MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0n0n1ge2b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0n0n1ge2b 12592
Description: A nonnegative integer is neither 0 nor 1 if and only if it is greater than or equal to 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
nn0n0n1ge2b (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem nn0n0n1ge2b
StepHypRef Expression
1 nn0n0n1ge2 12591 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → 2 ≤ 𝑁)
213expib 1119 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → 2 ≤ 𝑁))
3 ianor 979 . . . 4 (¬ (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ (¬ 𝑁 ≠ 0 ∨ ¬ 𝑁 ≠ 1))
4 nne 2934 . . . . 5 𝑁 ≠ 0 ↔ 𝑁 = 0)
5 nne 2934 . . . . 5 𝑁 ≠ 1 ↔ 𝑁 = 1)
64, 5orbi12i 912 . . . 4 ((¬ 𝑁 ≠ 0 ∨ ¬ 𝑁 ≠ 1) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
73, 6bitri 274 . . 3 (¬ (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
8 2pos 12367 . . . . . . . . 9 0 < 2
9 breq1 5156 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → (𝑁 < 2 ↔ 0 < 2))
108, 9mpbiri 257 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → 𝑁 < 2)
1110a1d 25 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 2))
12 1lt2 12435 . . . . . . . . 9 1 < 2
13 breq1 5156 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 1 → (𝑁 < 2 ↔ 1 < 2))
1412, 13mpbiri 257 . . . . . . . 8 (𝑁 = 1 → 𝑁 < 2)
1514a1d 25 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 2))
1611, 15jaoi 855 . . . . . 6 ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1) → (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 2))
1716impcom 406 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)) → 𝑁 < 2)
18 nn0re 12533 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
19 2re 12338 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
2018, 19jctir 519 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ))
2120adantr 479 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ))
22 ltnle 11343 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (𝑁 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 𝑁))
2321, 22syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)) → (𝑁 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 𝑁))
2417, 23mpbid 231 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)) → ¬ 2 ≤ 𝑁)
2524ex 411 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1) → ¬ 2 ≤ 𝑁))
267, 25biimtrid 241 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → ¬ 2 ≤ 𝑁))
272, 26impcon4bid 226 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930   class class class wbr 5153  cr 11157  0cc0 11158  1c1 11159   < clt 11298  cle 11299  2c2 12319  0cn0 12524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525
This theorem is referenced by:  xnn0n0n1ge2b  13165
  Copyright terms: Public domain W3C validator