Theorem nn0n0n1ge2b 12556

Description: A nonnegative integer is neither 0 nor 1 if and only if it is greater than or equal to 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn0n0n1ge2b	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem nn0n0n1ge2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0n0n1ge2 12555	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → 2 ≤ 𝑁)
2	1	3expib 1120	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → 2 ≤ 𝑁))
3		ianor 980	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ (¬ 𝑁 ≠ 0 ∨ ¬ 𝑁 ≠ 1))
4		nne 2939	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑁 ≠ 0 ↔ 𝑁 = 0)
5		nne 2939	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑁 ≠ 1 ↔ 𝑁 = 1)
6	4, 5	orbi12i 913	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑁 ≠ 0 ∨ ¬ 𝑁 ≠ 1) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
7	3, 6	bitri 275	. . 3 ⊢ (¬ (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
8		2pos 12331	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
9		breq1 5145	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 < 2 ↔ 0 < 2))
10	8, 9	mpbiri 258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 < 2)
11	10	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 < 2))
12		1lt2 12399	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
13		breq1 5145	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 < 2 ↔ 1 < 2))
14	12, 13	mpbiri 258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 1 → 𝑁 < 2)
15	14	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 < 2))
16	11, 15	jaoi 856	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 < 2))
17	16	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)) → 𝑁 < 2)
18		nn0re 12497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
19		2re 12302	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
20	18, 19	jctir 520	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ))
21	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ))
22		ltnle 11309	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (𝑁 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 𝑁))
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)) → (𝑁 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 𝑁))
24	17, 23	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)) → ¬ 2 ≤ 𝑁)
25	24	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1) → ¬ 2 ≤ 𝑁))
26	7, 25	biimtrid 241	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → ¬ 2 ≤ 𝑁))
27	2, 26	impcon4bid 226	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935   class class class wbr 5142  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   < clt 11264   ≤ cle 11265  2c2 12283  ℕ₀cn0 12488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-n0 12489

This theorem is referenced by:  xnn0n0n1ge2b  13129