Theorem nn0n0n1ge2b 12511

Description: A nonnegative integer is neither 0 nor 1 if and only if it is greater than or equal to 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn0n0n1ge2b	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem nn0n0n1ge2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0n0n1ge2 12510	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → 2 ≤ 𝑁)
2	1	3expib 1122	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → 2 ≤ 𝑁))
3		ianor 983	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ (¬ 𝑁 ≠ 0 ∨ ¬ 𝑁 ≠ 1))
4		nne 2929	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑁 ≠ 0 ↔ 𝑁 = 0)
5		nne 2929	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑁 ≠ 1 ↔ 𝑁 = 1)
6	4, 5	orbi12i 914	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑁 ≠ 0 ∨ ¬ 𝑁 ≠ 1) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
7	3, 6	bitri 275	. . 3 ⊢ (¬ (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
8		2pos 12289	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
9		breq1 5110	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 < 2 ↔ 0 < 2))
10	8, 9	mpbiri 258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 < 2)
11	10	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 < 2))
12		1lt2 12352	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
13		breq1 5110	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 < 2 ↔ 1 < 2))
14	12, 13	mpbiri 258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 1 → 𝑁 < 2)
15	14	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 < 2))
16	11, 15	jaoi 857	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 < 2))
17	16	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)) → 𝑁 < 2)
18		nn0re 12451	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
19		2re 12260	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
20	18, 19	jctir 520	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ))
21	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ))
22		ltnle 11253	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (𝑁 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 𝑁))
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)) → (𝑁 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 𝑁))
24	17, 23	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)) → ¬ 2 ≤ 𝑁)
25	24	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1) → ¬ 2 ≤ 𝑁))
26	7, 25	biimtrid 242	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → ¬ 2 ≤ 𝑁))
27	2, 26	impcon4bid 227	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5107  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   < clt 11208   ≤ cle 11209  2c2 12241  ℕ₀cn0 12442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-n0 12443

This theorem is referenced by:  xnn0n0n1ge2b  13092