MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0n0n1ge2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0n0n1ge2 12157
Description: A nonnegative integer which is neither 0 nor 1 is greater than or equal to 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
nn0n0n1ge2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → 2 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0n0n1ge2
StepHypRef Expression
1 nn0cn 12100 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
2 1cnd 10828 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
31, 2, 2subsub4d 11220 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − (1 + 1)))
4 1p1e2 11955 . . . . . 6 (1 + 1) = 2
54oveq2i 7224 . . . . 5 (𝑁 − (1 + 1)) = (𝑁 − 2)
63, 5eqtr2di 2795 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 2) = ((𝑁 − 1) − 1))
763ad2ant1 1135 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 − 2) = ((𝑁 − 1) − 1))
8 3simpa 1150 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0))
9 elnnne0 12104 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0))
108, 9sylibr 237 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → 𝑁 ∈ ℕ)
11 nnm1nn0 12131 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
1210, 11syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
131, 2subeq0ad 11199 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) = 0 ↔ 𝑁 = 1))
1413biimpd 232 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) = 0 → 𝑁 = 1))
1514necon3d 2961 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≠ 1 → (𝑁 − 1) ≠ 0))
1615imp 410 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 1) → (𝑁 − 1) ≠ 0)
17163adant2 1133 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 − 1) ≠ 0)
18 elnnne0 12104 . . . . 5 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ≠ 0))
1912, 17, 18sylanbrc 586 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
20 nnm1nn0 12131 . . . 4 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ ℕ0)
2119, 20syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ ℕ0)
227, 21eqeltrd 2838 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
23 2nn0 12107 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
2423jctl 527 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
25243ad2ant1 1135 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (2 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
26 nn0sub 12140 . . 3 ((2 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 2) ∈ ℕ0))
2725, 26syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 2) ∈ ℕ0))
2822, 27mpbird 260 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → 2 ≤ 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940   class class class wbr 5053  (class class class)co 7213  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732  cle 10868  cmin 11062  cn 11830  2c2 11885  0cn0 12090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-n0 12091
This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2b  12158  umgrclwwlkge2  28074  clwwisshclwwslem  28097  nnne1ge2  42503  iccpartiltu  44547
  Copyright terms: Public domain W3C validator