Theorem nn0n0n1ge2 12549

Description: A nonnegative integer which is neither 0 nor 1 is greater than or equal to 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
nn0n0n1ge2	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → 2 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0n0n1ge2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0cn 12491	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
2		1cnd 11175	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2, 2	subsub4d 11573	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − (1 + 1)))
4		1p1e2 12341	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
5	4	oveq2i 7407	. . . . 5 ⊢ (𝑁 − (1 + 1)) = (𝑁 − 2)
6	3, 5	eqtr2di 2814	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 2) = ((𝑁 − 1) − 1))
7	6	3ad2ant1 1146	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 − 2) = ((𝑁 − 1) − 1))
8		3simpa 1161	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
9		elnnne0 12495	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
10	8, 9	sylibr 236	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → 𝑁 ∈ ℕ)
11		nnm1nn0 12522	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
13	1, 2	subeq0ad 11552	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) = 0 ↔ 𝑁 = 1))
14	13	biimpd 231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) = 0 → 𝑁 = 1))
15	14	necon3d 2978	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≠ 1 → (𝑁 − 1) ≠ 0))
16	15	imp 410	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 − 1) ≠ 0)
17	16	3adant2 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 − 1) ≠ 0)
18		elnnne0 12495	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ≠ 0))
19	12, 17, 18	sylanbrc 592	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
20		nnm1nn0 12522	. . . 4 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ ℕ0)
21	19, 20	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ ℕ0)
22	7, 21	eqeltrd 2862	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
23		2nn0 12498	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24	23	jctl 531	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
25	24	3ad2ant1 1146	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
26		nn0sub 12531	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 2) ∈ ℕ0))
27	25, 26	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 2) ∈ ℕ0))
28	22, 27	mpbird 259	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → 2 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   class class class wbr 5100  (class class class)co 7396  0cc0 11073  1c1 11074   + caddc 11076   ≤ cle 11217   − cmin 11414  ℕcn 12210  2c2 12272  ℕ₀cn0 12481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-n0 12482

This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2b  12550  umgrclwwlkge2  30193  clwwisshclwwslem  30216  nnne1ge2  45870  iccpartiltu  48028