Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
||
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > oddnn02np1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A nonnegative integer is odd iff it is one plus twice another nonnegative integer. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.) |
Ref | Expression |
---|---|
oddnn02np1 | โข (๐ โ โ0 โ (ยฌ 2 โฅ ๐ โ โ๐ โ โ0 ((2 ยท ๐) + 1) = ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | eleq1 2825 | . . . . . . . 8 โข (((2 ยท ๐) + 1) = ๐ โ (((2 ยท ๐) + 1) โ โ0 โ ๐ โ โ0)) | |
2 | elnn0z 12445 | . . . . . . . . 9 โข (((2 ยท ๐) + 1) โ โ0 โ (((2 ยท ๐) + 1) โ โค โง 0 โค ((2 ยท ๐) + 1))) | |
3 | 2tnp1ge0ge0 13662 | . . . . . . . . . . . . 13 โข (๐ โ โค โ (0 โค ((2 ยท ๐) + 1) โ 0 โค ๐)) | |
4 | 3 | biimpd 228 | . . . . . . . . . . . 12 โข (๐ โ โค โ (0 โค ((2 ยท ๐) + 1) โ 0 โค ๐)) |
5 | 4 | imdistani 569 | . . . . . . . . . . 11 โข ((๐ โ โค โง 0 โค ((2 ยท ๐) + 1)) โ (๐ โ โค โง 0 โค ๐)) |
6 | 5 | expcom 414 | . . . . . . . . . 10 โข (0 โค ((2 ยท ๐) + 1) โ (๐ โ โค โ (๐ โ โค โง 0 โค ๐))) |
7 | elnn0z 12445 | . . . . . . . . . 10 โข (๐ โ โ0 โ (๐ โ โค โง 0 โค ๐)) | |
8 | 6, 7 | syl6ibr 251 | . . . . . . . . 9 โข (0 โค ((2 ยท ๐) + 1) โ (๐ โ โค โ ๐ โ โ0)) |
9 | 2, 8 | simplbiim 505 | . . . . . . . 8 โข (((2 ยท ๐) + 1) โ โ0 โ (๐ โ โค โ ๐ โ โ0)) |
10 | 1, 9 | syl6bir 253 | . . . . . . 7 โข (((2 ยท ๐) + 1) = ๐ โ (๐ โ โ0 โ (๐ โ โค โ ๐ โ โ0))) |
11 | 10 | com13 88 | . . . . . 6 โข (๐ โ โค โ (๐ โ โ0 โ (((2 ยท ๐) + 1) = ๐ โ ๐ โ โ0))) |
12 | 11 | impcom 408 | . . . . 5 โข ((๐ โ โ0 โง ๐ โ โค) โ (((2 ยท ๐) + 1) = ๐ โ ๐ โ โ0)) |
13 | 12 | pm4.71rd 563 | . . . 4 โข ((๐ โ โ0 โง ๐ โ โค) โ (((2 ยท ๐) + 1) = ๐ โ (๐ โ โ0 โง ((2 ยท ๐) + 1) = ๐))) |
14 | 13 | bicomd 222 | . . 3 โข ((๐ โ โ0 โง ๐ โ โค) โ ((๐ โ โ0 โง ((2 ยท ๐) + 1) = ๐) โ ((2 ยท ๐) + 1) = ๐)) |
15 | 14 | rexbidva 3171 | . 2 โข (๐ โ โ0 โ (โ๐ โ โค (๐ โ โ0 โง ((2 ยท ๐) + 1) = ๐) โ โ๐ โ โค ((2 ยท ๐) + 1) = ๐)) |
16 | nn0ssz 12454 | . . 3 โข โ0 โ โค | |
17 | rexss 4013 | . . 3 โข (โ0 โ โค โ (โ๐ โ โ0 ((2 ยท ๐) + 1) = ๐ โ โ๐ โ โค (๐ โ โ0 โง ((2 ยท ๐) + 1) = ๐))) | |
18 | 16, 17 | mp1i 13 | . 2 โข (๐ โ โ0 โ (โ๐ โ โ0 ((2 ยท ๐) + 1) = ๐ โ โ๐ โ โค (๐ โ โ0 โง ((2 ยท ๐) + 1) = ๐))) |
19 | nn0z 12456 | . . 3 โข (๐ โ โ0 โ ๐ โ โค) | |
20 | odd2np1 16157 | . . 3 โข (๐ โ โค โ (ยฌ 2 โฅ ๐ โ โ๐ โ โค ((2 ยท ๐) + 1) = ๐)) | |
21 | 19, 20 | syl 17 | . 2 โข (๐ โ โ0 โ (ยฌ 2 โฅ ๐ โ โ๐ โ โค ((2 ยท ๐) + 1) = ๐)) |
22 | 15, 18, 21 | 3bitr4rd 311 | 1 โข (๐ โ โ0 โ (ยฌ 2 โฅ ๐ โ โ๐ โ โ0 ((2 ยท ๐) + 1) = ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โ wb 205 โง wa 396 = wceq 1541 โ wcel 2106 โwrex 3071 โ wss 3908 class class class wbr 5103 (class class class)co 7349 0cc0 10984 1c1 10985 + caddc 10987 ยท cmul 10989 โค cle 11123 2c2 12141 โ0cn0 12346 โคcz 12432 โฅ cdvds 16070 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2708 ax-sep 5254 ax-nul 5261 ax-pow 5318 ax-pr 5382 ax-un 7662 ax-cnex 11040 ax-resscn 11041 ax-1cn 11042 ax-icn 11043 ax-addcl 11044 ax-addrcl 11045 ax-mulcl 11046 ax-mulrcl 11047 ax-mulcom 11048 ax-addass 11049 ax-mulass 11050 ax-distr 11051 ax-i2m1 11052 ax-1ne0 11053 ax-1rid 11054 ax-rnegex 11055 ax-rrecex 11056 ax-cnre 11057 ax-pre-lttri 11058 ax-pre-lttrn 11059 ax-pre-ltadd 11060 ax-pre-mulgt0 11061 ax-pre-sup 11062 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2887 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rmo 3351 df-reu 3352 df-rab 3406 df-v 3445 df-sbc 3738 df-csb 3854 df-dif 3911 df-un 3913 df-in 3915 df-ss 3925 df-pss 3927 df-nul 4281 df-if 4485 df-pw 4560 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4591 df-uni 4864 df-iun 4954 df-br 5104 df-opab 5166 df-mpt 5187 df-tr 5221 df-id 5528 df-eprel 5534 df-po 5542 df-so 5543 df-fr 5585 df-we 5587 df-xp 5636 df-rel 5637 df-cnv 5638 df-co 5639 df-dm 5640 df-rn 5641 df-res 5642 df-ima 5643 df-pred 6249 df-ord 6316 df-on 6317 df-lim 6318 df-suc 6319 df-iota 6443 df-fun 6493 df-fn 6494 df-f 6495 df-f1 6496 df-fo 6497 df-f1o 6498 df-fv 6499 df-riota 7305 df-ov 7352 df-oprab 7353 df-mpo 7354 df-om 7793 df-2nd 7912 df-frecs 8179 df-wrecs 8210 df-recs 8284 df-rdg 8323 df-er 8581 df-en 8817 df-dom 8818 df-sdom 8819 df-sup 9311 df-inf 9312 df-pnf 11124 df-mnf 11125 df-xr 11126 df-ltxr 11127 df-le 11128 df-sub 11320 df-neg 11321 df-div 11746 df-nn 12087 df-2 12149 df-n0 12347 df-z 12433 df-uz 12696 df-rp 12844 df-fl 13625 df-dvds 16071 |
This theorem is referenced by: oddge22np1 16165 2lgslem1c 26663 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |