Theorem oddnn02np1 16406

Description: A nonnegative integer is odd iff it is one plus twice another nonnegative integer. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
oddnn02np1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))

Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem oddnn02np1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2857	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ ℕ0))
2		elnn0z 12604	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ0 ↔ (((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((2 · 𝑛) + 1)))
3		2tnp1ge0ge0 13862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (0 ≤ ((2 · 𝑛) + 1) ↔ 0 ≤ 𝑛))
4	3	biimpd 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (0 ≤ ((2 · 𝑛) + 1) → 0 ≤ 𝑛))
5	4	imdistani 578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((2 · 𝑛) + 1)) → (𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑛))
6	5	expcom 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ≤ ((2 · 𝑛) + 1) → (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑛)))
7		elnn0z 12604	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑛))
8	6, 7	imbitrrdi 255	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ≤ ((2 · 𝑛) + 1) → (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℕ0))
9	2, 8	simplbiim 513	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℕ0))
10	1, 9	biimtrrdi 257	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℕ0)))
11	10	com13 89	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → 𝑛 ∈ ℕ0)))
12	11	impcom 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → 𝑛 ∈ ℕ0))
13	12	pm4.71rd 571	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
14	13	bicomd 226	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
15	14	rexbidva 3193	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
16		nn0ssz 12614	. . 3 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
17		rexss 4019	. . 3 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
18	16, 17	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
19		nn0z 12615	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
20		odd2np1 16399	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
21	19, 20	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
22	15, 18, 21	3bitr4rd 315	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5113  (class class class)co 7411  0cc0 11100  1c1 11101   + caddc 11103   · cmul 11105   ≤ cle 11244  2c2 12295  ℕ₀cn0 12504  ℤcz 12591   ∥ cdvds 16310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fl 13825  df-dvds 16311

This theorem is referenced by:  oddge22np1  16407  2lgslem1c  27523