Theorem oddnn02np1 16259

Description: A nonnegative integer is odd iff it is one plus twice another nonnegative integer. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
oddnn02np1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))

Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem oddnn02np1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2816	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ ℕ0))
2		elnn0z 12484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ0 ↔ (((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((2 · 𝑛) + 1)))
3		2tnp1ge0ge0 13733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (0 ≤ ((2 · 𝑛) + 1) ↔ 0 ≤ 𝑛))
4	3	biimpd 229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (0 ≤ ((2 · 𝑛) + 1) → 0 ≤ 𝑛))
5	4	imdistani 568	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((2 · 𝑛) + 1)) → (𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑛))
6	5	expcom 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ≤ ((2 · 𝑛) + 1) → (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑛)))
7		elnn0z 12484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑛))
8	6, 7	imbitrrdi 252	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ≤ ((2 · 𝑛) + 1) → (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℕ0))
9	2, 8	simplbiim 504	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℕ0))
10	1, 9	biimtrrdi 254	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℕ0)))
11	10	com13 88	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → 𝑛 ∈ ℕ0)))
12	11	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → 𝑛 ∈ ℕ0))
13	12	pm4.71rd 562	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
14	13	bicomd 223	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
15	14	rexbidva 3151	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
16		nn0ssz 12494	. . 3 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
17		rexss 4011	. . 3 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
18	16, 17	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
19		nn0z 12496	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
20		odd2np1 16252	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
21	19, 20	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
22	15, 18, 21	3bitr4rd 312	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5092  (class class class)co 7349  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014   ≤ cle 11150  2c2 12183  ℕ₀cn0 12384  ℤcz 12471   ∥ cdvds 16163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-fl 13696  df-dvds 16164

This theorem is referenced by:  oddge22np1  16260  2lgslem1c  27302