MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oddnn02np1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oddnn02np1 16164
Description: A nonnegative integer is odd iff it is one plus twice another nonnegative integer. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
oddnn02np1 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
Distinct variable group:   ๐‘›,๐‘

Proof of Theorem oddnn02np1
StepHypRef Expression
1 eleq1 2825 . . . . . . . 8 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ โ„•0 โ†” ๐‘ โˆˆ โ„•0))
2 elnn0z 12445 . . . . . . . . 9 (((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ โ„•0 โ†” (((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ((2 ยท ๐‘›) + 1)))
3 2tnp1ge0ge0 13662 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (0 โ‰ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) โ†” 0 โ‰ค ๐‘›))
43biimpd 228 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (0 โ‰ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘›))
54imdistani 569 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ((2 ยท ๐‘›) + 1)) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ๐‘›))
65expcom 414 . . . . . . . . . 10 (0 โ‰ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ๐‘›)))
7 elnn0z 12445 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ๐‘›))
86, 7syl6ibr 251 . . . . . . . . 9 (0 โ‰ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0))
92, 8simplbiim 505 . . . . . . . 8 (((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0))
101, 9syl6bir 253 . . . . . . 7 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)))
1110com13 88 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)))
1211impcom 408 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0))
1312pm4.71rd 563 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†” (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)))
1413bicomd 222 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘) โ†” ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
1514rexbidva 3171 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
16 nn0ssz 12454 . . 3 โ„•0 โŠ† โ„ค
17 rexss 4013 . . 3 (โ„•0 โŠ† โ„ค โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)))
1816, 17mp1i 13 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)))
19 nn0z 12456 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
20 odd2np1 16157 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
2119, 20syl 17 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
2215, 18, 213bitr4rd 311 1 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆƒwrex 3071   โŠ† wss 3908   class class class wbr 5103  (class class class)co 7349  0cc0 10984  1c1 10985   + caddc 10987   ยท cmul 10989   โ‰ค cle 11123  2c2 12141  โ„•0cn0 12346  โ„คcz 12432   โˆฅ cdvds 16070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061  ax-pre-sup 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7793  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-er 8581  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-sup 9311  df-inf 9312  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-div 11746  df-nn 12087  df-2 12149  df-n0 12347  df-z 12433  df-uz 12696  df-rp 12844  df-fl 13625  df-dvds 16071
This theorem is referenced by:  oddge22np1  16165  2lgslem1c  26663
  Copyright terms: Public domain W3C validator