Theorem nnm1nn0 12463

Description: A positive integer minus 1 is a nonnegative integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnm1nn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nnm1nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn1m1nn 12183	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
2		oveq1 7369	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = (1 − 1))
3		1m1e0 12234	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
4	2, 3	eqtrdi 2787	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = 0)
5	4	orim1i 908	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) = 0 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) = 0 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
7	6	orcomd 869	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 1) = 0))
8		elnn0 12424	. 2 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 1) = 0))
9	7, 8	sylibr 233	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7362  0cc0 11060  1c1 11061   − cmin 11394  ℕcn 12162  ℕ₀cn0 12422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-ltxr 11203  df-sub 11396  df-nn 12163  df-n0 12423

This theorem is referenced by:  elnn0nn  12464  nn0n0n1ge2  12489  nnaddm1cl  12569  fseq1m1p1  13526  elfznelfzo  13687  nn0ennn  13894  expm1t  14006  expgt1  14016  digit1  14150  bcn1  14223  bcm1k  14225  bcn2m1  14234  cshwidxn  14709  isercoll2  15565  iseralt  15581  binomlem  15725  incexc  15733  incexc2  15734  arisum  15756  arisum2  15757  pwdif  15764  mertenslem2  15781  risefallfac  15918  fallfacfwd  15930  0fallfac  15931  bpolydiflem  15948  ruclem12  16134  iddvdsexp  16173  dvdsfac  16219  oexpneg  16238  pwp1fsum  16284  bitsfzolem  16325  bitsf1  16337  phibnd  16654  phiprmpw  16659  prmdiv  16668  oddprm  16693  iserodd  16718  fldivp1  16780  prmpwdvds  16787  4sqlem12  16839  4sqlem19  16846  vdwapid1  16858  vdwlem1  16864  vdwlem3  16866  vdwlem5  16868  vdwlem6  16869  vdwlem9  16872  0ram  16903  ram0  16905  ramub1lem1  16909  ramub1lem2  16910  ramcl  16912  prmonn2  16922  1259lem5  17018  2503lem3  17022  4001lem4  17027  gsumwsubmcl  18661  gsumsgrpccat  18664  gsumwmhm  18669  finodsubmsubg  19363  sylow1lem1  19394  efgsrel  19530  efgredlem  19543  srgbinomlem4  19974  chfacfisf  22240  chfacfisfcpmat  22241  cpmadugsumlemF  22262  lebnumii  24366  ovolunlem1  24898  dvexp  25354  dgreq0  25663  dvply1  25681  vieta1lem2  25708  aaliou3lem8  25742  dvtaylp  25766  taylthlem1  25769  pserdvlem2  25824  pserdv2  25826  abelthlem6  25832  logtayl  26052  logtayl2  26054  cxpeq  26147  gamfac  26453  wilthlem1  26454  wilthlem2  26455  wilthlem3  26456  wilth  26457  wilthimp  26458  ftalem1  26459  basellem5  26471  1sgm2ppw  26585  chtublem  26596  perfect1  26613  perfect  26616  bcmono  26662  lgslem1  26682  lgsquadlem1  26765  lgsquad2lem2  26770  m1lgs  26773  selberg2lem  26935  logdivbnd  26941  pntrsumo1  26950  cusgrsize2inds  28464  cusgrrusgr  28592  pthdlem2  28779  crctcshwlkn0lem4  28821  wlkiswwlks2lem1  28877  wlkiswwlksupgr2  28885  clwwlkccatlem  28996  clwlkclwwlklem2a2  29000  clwwlknwwlksn  29045  clwwlkel  29053  clwwlkwwlksb  29061  wwlksubclwwlk  29065  freshmansdream  32137  fibp1  33090  plymulx0  33248  plymulx  33249  signstfvn  33270  signsvtn0  33271  subfacp1lem6  33866  erdszelem10  33881  erdsze2lem1  33884  erdsze2lem2  33885  cvmliftlem2  33967  bcprod  34397  poimirlem5  36156  poimirlem6  36157  poimirlem7  36158  poimirlem10  36161  poimirlem11  36162  poimirlem13  36164  poimirlem14  36165  poimirlem20  36171  poimirlem21  36172  poimirlem22  36173  poimirlem23  36174  poimirlem25  36176  poimirlem26  36177  poimirlem31  36182  lcmfunnnd  40542  lcmineqlem2  40560  lcmineqlem3  40561  lcmineqlem8  40566  lcmineqlem10  40568  lcmineqlem12  40570  dvrelogpow2b  40598  sticksstones12a  40638  sticksstones16  40643  sticksstones22  40649  fltnltalem  41058  irrapxlem1  41203  rmspecsqrtnq  41287  jm2.24nn  41341  jm2.17a  41342  acongeq  41365  jm2.18  41370  jm2.22  41377  jm2.23  41378  jm2.20nn  41379  jm2.27c  41389  bccm1k  42744  binomcxplemwb  42750  binomcxplemnotnn0  42758  dvsinexp  44272  dvxpaek  44301  dvnxpaek  44303  itgsinexplem1  44315  itgsinexp  44316  wallispilem5  44430  stirlinglem5  44439  fourierdlem48  44515  fourierdlem49  44516  fourierdlem52  44519  fourierdlem54  44521  fourierdlem103  44570  fourierdlem104  44571  etransclem1  44596  etransclem4  44599  etransclem8  44603  etransclem10  44605  etransclem14  44609  etransclem15  44610  etransclem17  44612  etransclem18  44613  etransclem19  44614  etransclem20  44615  etransclem21  44616  etransclem22  44617  etransclem23  44618  etransclem24  44619  etransclem27  44622  etransclem28  44623  etransclem32  44627  etransclem35  44630  etransclem37  44632  etransclem38  44633  etransclem41  44636  etransclem44  44639  etransclem45  44640  etransclem46  44641  etransclem47  44642  etransclem48  44643  lswn0  45756  fmtnoodd  45845  sqrtpwpw2p  45850  fmtnosqrt  45851  fmtnodvds  45856  fmtnorec3  45860  fmtnorec4  45861  2pwp1prm  45901  lighneallem3  45919  lighneallem4a  45920  lighneallem4  45922  oexpnegALTV  45989  perfectALTV  46035  fpprmod  46039  fppr2odd  46043  fpprwppr  46051  fpprwpprb  46052  bgoldbtbndlem4  46120  bcpascm1  46547  altgsumbcALT  46549  pw2m1lepw2m1  46721  nnpw2even  46735  logbpw2m1  46773  nnpw2blenfzo  46787  nnpw2pmod  46789  nnpw2p  46792  nnolog2flm1  46796  dignn0fr  46807  dig2nn1st  46811  digexp  46813  dignn0flhalflem1  46821