Theorem nnm1nn0 12459

Description: A positive integer minus 1 is a nonnegative integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnm1nn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nnm1nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn1m1nn 12183	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
2		oveq1 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = (1 − 1))
3		1m1e0 12234	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
4	2, 3	eqtrdi 2780	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = 0)
5	4	orim1i 909	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) = 0 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) = 0 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
7	6	orcomd 871	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 1) = 0))
8		elnn0 12420	. 2 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 1) = 0))
9	7, 8	sylibr 234	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  0cc0 11044  1c1 11045   − cmin 11381  ℕcn 12162  ℕ₀cn0 12418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-ltxr 11189  df-sub 11383  df-nn 12163  df-n0 12419

This theorem is referenced by:  elnn0nn  12460  nn0n0n1ge2  12486  nnaddm1cl  12567  fseq1m1p1  13536  elfznelfzo  13709  nn0ennn  13920  expm1t  14031  expgt1  14041  digit1  14178  bcn1  14254  bcm1k  14256  bcn2m1  14265  cshwidxn  14750  isercoll2  15611  iseralt  15627  binomlem  15771  incexc  15779  incexc2  15780  arisum  15802  arisum2  15803  pwdif  15810  mertenslem2  15827  risefallfac  15966  fallfacfwd  15978  0fallfac  15979  bpolydiflem  15996  ruclem12  16185  iddvdsexp  16225  dvdsfac  16272  oexpneg  16291  pwp1fsum  16337  bitsfzolem  16380  bitsf1  16392  phibnd  16717  phiprmpw  16722  prmdiv  16731  oddprm  16757  iserodd  16782  fldivp1  16844  prmpwdvds  16851  4sqlem12  16903  4sqlem19  16910  vdwapid1  16922  vdwlem1  16928  vdwlem3  16930  vdwlem5  16932  vdwlem6  16933  vdwlem9  16936  0ram  16967  ram0  16969  ramub1lem1  16973  ramub1lem2  16974  ramcl  16976  prmonn2  16986  1259lem5  17081  2503lem3  17085  4001lem4  17090  gsumwsubmcl  18740  gsumsgrpccat  18743  gsumwmhm  18748  finodsubmsubg  19473  sylow1lem1  19504  efgsrel  19640  efgredlem  19653  srgbinomlem4  20114  freshmansdream  21460  psdpw  22033  chfacfisf  22717  chfacfisfcpmat  22718  cpmadugsumlemF  22739  lebnumii  24841  ovolunlem1  25374  dvexp  25833  dgreq0  26147  dvply1  26167  vieta1lem2  26195  aaliou3lem8  26229  dvtaylp  26254  taylthlem1  26257  pserdvlem2  26314  pserdv2  26316  abelthlem6  26322  logtayl  26545  logtayl2  26547  cxpeq  26643  gamfac  26953  wilthlem1  26954  wilthlem2  26955  wilthlem3  26956  wilth  26957  wilthimp  26958  ftalem1  26959  basellem5  26971  1sgm2ppw  27087  chtublem  27098  perfect1  27115  perfect  27118  bcmono  27164  lgslem1  27184  lgsquadlem1  27267  lgsquad2lem2  27272  m1lgs  27275  selberg2lem  27437  logdivbnd  27443  pntrsumo1  27452  cusgrsize2inds  29357  cusgrrusgr  29485  pthdlem2  29671  crctcshwlkn0lem4  29716  wlkiswwlks2lem1  29772  wlkiswwlksupgr2  29780  clwwlkccatlem  29891  clwlkclwwlklem2a2  29895  clwwlknwwlksn  29940  clwwlkel  29948  clwwlkwwlksb  29956  wwlksubclwwlk  29960  oexpled  32745  1arithidomlem1  33479  1arithidomlem2  33480  1arithidom  33481  fibp1  34365  plymulx0  34511  plymulx  34512  signstfvn  34533  signsvtn0  34534  subfacp1lem6  35145  erdszelem10  35160  erdsze2lem1  35163  erdsze2lem2  35164  cvmliftlem2  35246  bcprod  35698  poimirlem5  37592  poimirlem6  37593  poimirlem7  37594  poimirlem10  37597  poimirlem11  37598  poimirlem13  37600  poimirlem14  37601  poimirlem20  37607  poimirlem21  37608  poimirlem22  37609  poimirlem23  37610  poimirlem25  37612  poimirlem26  37613  poimirlem31  37618  lcmfunnnd  41973  lcmineqlem2  41991  lcmineqlem3  41992  lcmineqlem8  41997  lcmineqlem10  41999  lcmineqlem12  42001  dvrelogpow2b  42029  primrootsunit1  42058  sticksstones12a  42118  sticksstones16  42123  sticksstones22  42129  fltnltalem  42623  irrapxlem1  42783  rmspecsqrtnq  42867  jm2.24nn  42921  jm2.17a  42922  acongeq  42945  jm2.18  42950  jm2.22  42957  jm2.23  42958  jm2.20nn  42959  jm2.27c  42969  bccm1k  44304  binomcxplemwb  44310  binomcxplemnotnn0  44318  dvsinexp  45882  dvxpaek  45911  dvnxpaek  45913  itgsinexplem1  45925  itgsinexp  45926  wallispilem5  46040  stirlinglem5  46049  fourierdlem48  46125  fourierdlem49  46126  fourierdlem52  46129  fourierdlem54  46131  fourierdlem103  46180  fourierdlem104  46181  etransclem1  46206  etransclem4  46209  etransclem8  46213  etransclem10  46215  etransclem14  46219  etransclem15  46220  etransclem17  46222  etransclem18  46223  etransclem19  46224  etransclem20  46225  etransclem21  46226  etransclem22  46227  etransclem23  46228  etransclem24  46229  etransclem27  46232  etransclem28  46233  etransclem32  46237  etransclem35  46240  etransclem37  46242  etransclem38  46243  etransclem41  46246  etransclem44  46249  etransclem45  46250  etransclem46  46251  etransclem47  46252  etransclem48  46253  lswn0  47418  fmtnoodd  47507  sqrtpwpw2p  47512  fmtnosqrt  47513  fmtnodvds  47518  fmtnorec3  47522  fmtnorec4  47523  2pwp1prm  47563  lighneallem3  47581  lighneallem4a  47582  lighneallem4  47584  oexpnegALTV  47651  perfectALTV  47697  fpprmod  47701  fppr2odd  47705  fpprwppr  47713  fpprwpprb  47714  bgoldbtbndlem4  47782  bcpascm1  48312  altgsumbcALT  48314  pw2m1lepw2m1  48482  nnpw2even  48491  logbpw2m1  48529  nnpw2blenfzo  48543  nnpw2pmod  48545  nnpw2p  48548  nnolog2flm1  48552  dignn0fr  48563  dig2nn1st  48567  digexp  48569  dignn0flhalflem1  48577