Theorem nnm1nn0 12417

Description: A positive integer minus 1 is a nonnegative integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnm1nn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nnm1nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn1m1nn 12141	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
2		oveq1 7348	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = (1 − 1))
3		1m1e0 12192	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
4	2, 3	eqtrdi 2782	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = 0)
5	4	orim1i 909	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) = 0 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) = 0 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
7	6	orcomd 871	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 1) = 0))
8		elnn0 12378	. 2 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 1) = 0))
9	7, 8	sylibr 234	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7341  0cc0 11001  1c1 11002   − cmin 11339  ℕcn 12120  ℕ₀cn0 12376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-ltxr 11146  df-sub 11341  df-nn 12121  df-n0 12377

This theorem is referenced by:  elnn0nn  12418  nn0n0n1ge2  12444  nnaddm1cl  12525  fseq1m1p1  13494  elfznelfzo  13668  nn0ennn  13881  expm1t  13992  expgt1  14002  digit1  14139  bcn1  14215  bcm1k  14217  bcn2m1  14226  cshwidxn  14711  isercoll2  15571  iseralt  15587  binomlem  15731  incexc  15739  incexc2  15740  arisum  15762  arisum2  15763  pwdif  15770  mertenslem2  15787  risefallfac  15926  fallfacfwd  15938  0fallfac  15939  bpolydiflem  15956  ruclem12  16145  iddvdsexp  16185  dvdsfac  16232  oexpneg  16251  pwp1fsum  16297  bitsfzolem  16340  bitsf1  16352  phibnd  16677  phiprmpw  16682  prmdiv  16691  oddprm  16717  iserodd  16742  fldivp1  16804  prmpwdvds  16811  4sqlem12  16863  4sqlem19  16870  vdwapid1  16882  vdwlem1  16888  vdwlem3  16890  vdwlem5  16892  vdwlem6  16893  vdwlem9  16896  0ram  16927  ram0  16929  ramub1lem1  16933  ramub1lem2  16934  ramcl  16936  prmonn2  16946  1259lem5  17041  2503lem3  17045  4001lem4  17050  chnrev  18528  gsumwsubmcl  18740  gsumsgrpccat  18743  gsumwmhm  18748  finodsubmsubg  19474  sylow1lem1  19505  efgsrel  19641  efgredlem  19654  srgbinomlem4  20142  freshmansdream  21506  psdpw  22080  chfacfisf  22764  chfacfisfcpmat  22765  cpmadugsumlemF  22786  lebnumii  24887  ovolunlem1  25420  dvexp  25879  dgreq0  26193  dvply1  26213  vieta1lem2  26241  aaliou3lem8  26275  dvtaylp  26300  taylthlem1  26303  pserdvlem2  26360  pserdv2  26362  abelthlem6  26368  logtayl  26591  logtayl2  26593  cxpeq  26689  gamfac  26999  wilthlem1  27000  wilthlem2  27001  wilthlem3  27002  wilth  27003  wilthimp  27004  ftalem1  27005  basellem5  27017  1sgm2ppw  27133  chtublem  27144  perfect1  27161  perfect  27164  bcmono  27210  lgslem1  27230  lgsquadlem1  27313  lgsquad2lem2  27318  m1lgs  27321  selberg2lem  27483  logdivbnd  27489  pntrsumo1  27498  cusgrsize2inds  29427  cusgrrusgr  29555  pthdlem2  29741  crctcshwlkn0lem4  29786  wlkiswwlks2lem1  29842  wlkiswwlksupgr2  29850  clwwlkccatlem  29961  clwlkclwwlklem2a2  29965  clwwlknwwlksn  30010  clwwlkel  30018  clwwlkwwlksb  30026  wwlksubclwwlk  30030  oexpled  32822  1arithidomlem1  33492  1arithidomlem2  33493  1arithidom  33494  fibp1  34406  plymulx0  34552  plymulx  34553  signstfvn  34574  signsvtn0  34575  subfacp1lem6  35221  erdszelem10  35236  erdsze2lem1  35239  erdsze2lem2  35240  cvmliftlem2  35322  bcprod  35774  poimirlem5  37665  poimirlem6  37666  poimirlem7  37667  poimirlem10  37670  poimirlem11  37671  poimirlem13  37673  poimirlem14  37674  poimirlem20  37680  poimirlem21  37681  poimirlem22  37682  poimirlem23  37683  poimirlem25  37685  poimirlem26  37686  poimirlem31  37691  lcmfunnnd  42045  lcmineqlem2  42063  lcmineqlem3  42064  lcmineqlem8  42069  lcmineqlem10  42071  lcmineqlem12  42073  dvrelogpow2b  42101  primrootsunit1  42130  sticksstones12a  42190  sticksstones16  42195  sticksstones22  42201  fltnltalem  42695  irrapxlem1  42855  rmspecsqrtnq  42939  jm2.24nn  42992  jm2.17a  42993  acongeq  43016  jm2.18  43021  jm2.22  43028  jm2.23  43029  jm2.20nn  43030  jm2.27c  43040  bccm1k  44375  binomcxplemwb  44381  binomcxplemnotnn0  44389  dvsinexp  45949  dvxpaek  45978  dvnxpaek  45980  itgsinexplem1  45992  itgsinexp  45993  wallispilem5  46107  stirlinglem5  46116  fourierdlem48  46192  fourierdlem49  46193  fourierdlem52  46196  fourierdlem54  46198  fourierdlem103  46247  fourierdlem104  46248  etransclem1  46273  etransclem4  46276  etransclem8  46280  etransclem10  46282  etransclem14  46286  etransclem15  46287  etransclem17  46289  etransclem18  46290  etransclem19  46291  etransclem20  46292  etransclem21  46293  etransclem22  46294  etransclem23  46295  etransclem24  46296  etransclem27  46299  etransclem28  46300  etransclem32  46304  etransclem35  46307  etransclem37  46309  etransclem38  46310  etransclem41  46313  etransclem44  46316  etransclem45  46317  etransclem46  46318  etransclem47  46319  etransclem48  46320  lswn0  47475  fmtnoodd  47564  sqrtpwpw2p  47569  fmtnosqrt  47570  fmtnodvds  47575  fmtnorec3  47579  fmtnorec4  47580  2pwp1prm  47620  lighneallem3  47638  lighneallem4a  47639  lighneallem4  47641  oexpnegALTV  47708  perfectALTV  47754  fpprmod  47758  fppr2odd  47762  fpprwppr  47770  fpprwpprb  47771  bgoldbtbndlem4  47839  bcpascm1  48382  altgsumbcALT  48384  pw2m1lepw2m1  48552  nnpw2even  48561  logbpw2m1  48599  nnpw2blenfzo  48613  nnpw2pmod  48615  nnpw2p  48618  nnolog2flm1  48622  dignn0fr  48633  dig2nn1st  48637  digexp  48639  dignn0flhalflem1  48647