Theorem nnm1nn0 12442

Description: A positive integer minus 1 is a nonnegative integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnm1nn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nnm1nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn1m1nn 12166	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
2		oveq1 7365	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = (1 − 1))
3		1m1e0 12217	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
4	2, 3	eqtrdi 2787	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = 0)
5	4	orim1i 909	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) = 0 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) = 0 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
7	6	orcomd 871	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 1) = 0))
8		elnn0 12403	. 2 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 1) = 0))
9	7, 8	sylibr 234	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  0cc0 11026  1c1 11027   − cmin 11364  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-sub 11366  df-nn 12146  df-n0 12402

This theorem is referenced by:  elnn0nn  12443  nn0n0n1ge2  12469  nnaddm1cl  12549  fseq1m1p1  13515  elfznelfzo  13689  nn0ennn  13902  expm1t  14013  expgt1  14023  digit1  14160  bcn1  14236  bcm1k  14238  bcn2m1  14247  cshwidxn  14732  isercoll2  15592  iseralt  15608  binomlem  15752  incexc  15760  incexc2  15761  arisum  15783  arisum2  15784  pwdif  15791  mertenslem2  15808  risefallfac  15947  fallfacfwd  15959  0fallfac  15960  bpolydiflem  15977  ruclem12  16166  iddvdsexp  16206  dvdsfac  16253  oexpneg  16272  pwp1fsum  16318  bitsfzolem  16361  bitsf1  16373  phibnd  16698  phiprmpw  16703  prmdiv  16712  oddprm  16738  iserodd  16763  fldivp1  16825  prmpwdvds  16832  4sqlem12  16884  4sqlem19  16891  vdwapid1  16903  vdwlem1  16909  vdwlem3  16911  vdwlem5  16913  vdwlem6  16914  vdwlem9  16917  0ram  16948  ram0  16950  ramub1lem1  16954  ramub1lem2  16955  ramcl  16957  prmonn2  16967  1259lem5  17062  2503lem3  17066  4001lem4  17071  chnrev  18550  gsumwsubmcl  18762  gsumsgrpccat  18765  gsumwmhm  18770  finodsubmsubg  19496  sylow1lem1  19527  efgsrel  19663  efgredlem  19676  srgbinomlem4  20164  freshmansdream  21529  psdpw  22113  chfacfisf  22798  chfacfisfcpmat  22799  cpmadugsumlemF  22820  lebnumii  24921  ovolunlem1  25454  dvexp  25913  dgreq0  26227  dvply1  26247  vieta1lem2  26275  aaliou3lem8  26309  dvtaylp  26334  taylthlem1  26337  pserdvlem2  26394  pserdv2  26396  abelthlem6  26402  logtayl  26625  logtayl2  26627  cxpeq  26723  gamfac  27033  wilthlem1  27034  wilthlem2  27035  wilthlem3  27036  wilth  27037  wilthimp  27038  ftalem1  27039  basellem5  27051  1sgm2ppw  27167  chtublem  27178  perfect1  27195  perfect  27198  bcmono  27244  lgslem1  27264  lgsquadlem1  27347  lgsquad2lem2  27352  m1lgs  27355  selberg2lem  27517  logdivbnd  27523  pntrsumo1  27532  cusgrsize2inds  29527  cusgrrusgr  29655  pthdlem2  29841  crctcshwlkn0lem4  29886  wlkiswwlks2lem1  29942  wlkiswwlksupgr2  29950  clwwlkccatlem  30064  clwlkclwwlklem2a2  30068  clwwlknwwlksn  30113  clwwlkel  30121  clwwlkwwlksb  30129  wwlksubclwwlk  30133  oexpled  32928  1arithidomlem1  33616  1arithidomlem2  33617  1arithidom  33618  esplyind  33731  fibp1  34558  plymulx0  34704  plymulx  34705  signstfvn  34726  signsvtn0  34727  subfacp1lem6  35379  erdszelem10  35394  erdsze2lem1  35397  erdsze2lem2  35398  cvmliftlem2  35480  bcprod  35932  poimirlem5  37826  poimirlem6  37827  poimirlem7  37828  poimirlem10  37831  poimirlem11  37832  poimirlem13  37834  poimirlem14  37835  poimirlem20  37841  poimirlem21  37842  poimirlem22  37843  poimirlem23  37844  poimirlem25  37846  poimirlem26  37847  poimirlem31  37852  lcmfunnnd  42266  lcmineqlem2  42284  lcmineqlem3  42285  lcmineqlem8  42290  lcmineqlem10  42292  lcmineqlem12  42294  dvrelogpow2b  42322  primrootsunit1  42351  sticksstones12a  42411  sticksstones16  42416  sticksstones22  42422  fltnltalem  42905  irrapxlem1  43064  rmspecsqrtnq  43148  jm2.24nn  43201  jm2.17a  43202  acongeq  43225  jm2.18  43230  jm2.22  43237  jm2.23  43238  jm2.20nn  43239  jm2.27c  43249  bccm1k  44583  binomcxplemwb  44589  binomcxplemnotnn0  44597  dvsinexp  46155  dvxpaek  46184  dvnxpaek  46186  itgsinexplem1  46198  itgsinexp  46199  wallispilem5  46313  stirlinglem5  46322  fourierdlem48  46398  fourierdlem49  46399  fourierdlem52  46402  fourierdlem54  46404  fourierdlem103  46453  fourierdlem104  46454  etransclem1  46479  etransclem4  46482  etransclem8  46486  etransclem10  46488  etransclem14  46492  etransclem15  46493  etransclem17  46495  etransclem18  46496  etransclem19  46497  etransclem20  46498  etransclem21  46499  etransclem22  46500  etransclem23  46501  etransclem24  46502  etransclem27  46505  etransclem28  46506  etransclem32  46510  etransclem35  46513  etransclem37  46515  etransclem38  46516  etransclem41  46519  etransclem44  46522  etransclem45  46523  etransclem46  46524  etransclem47  46525  etransclem48  46526  lswn0  47690  fmtnoodd  47779  sqrtpwpw2p  47784  fmtnosqrt  47785  fmtnodvds  47790  fmtnorec3  47794  fmtnorec4  47795  2pwp1prm  47835  lighneallem3  47853  lighneallem4a  47854  lighneallem4  47856  oexpnegALTV  47923  perfectALTV  47969  fpprmod  47973  fppr2odd  47977  fpprwppr  47985  fpprwpprb  47986  bgoldbtbndlem4  48054  bcpascm1  48597  altgsumbcALT  48599  pw2m1lepw2m1  48766  nnpw2even  48775  logbpw2m1  48813  nnpw2blenfzo  48827  nnpw2pmod  48829  nnpw2p  48832  nnolog2flm1  48836  dignn0fr  48847  dig2nn1st  48851  digexp  48853  dignn0flhalflem1  48861