Theorem nnm1nn0 12490

Description: A positive integer minus 1 is a nonnegative integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnm1nn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nnm1nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn1m1nn 12214	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
2		oveq1 7397	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = (1 − 1))
3		1m1e0 12265	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
4	2, 3	eqtrdi 2781	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = 0)
5	4	orim1i 909	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) = 0 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) = 0 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
7	6	orcomd 871	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 1) = 0))
8		elnn0 12451	. 2 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 1) = 0))
9	7, 8	sylibr 234	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076   − cmin 11412  ℕcn 12193  ℕ₀cn0 12449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220  df-sub 11414  df-nn 12194  df-n0 12450

This theorem is referenced by:  elnn0nn  12491  nn0n0n1ge2  12517  nnaddm1cl  12598  fseq1m1p1  13567  elfznelfzo  13740  nn0ennn  13951  expm1t  14062  expgt1  14072  digit1  14209  bcn1  14285  bcm1k  14287  bcn2m1  14296  cshwidxn  14781  isercoll2  15642  iseralt  15658  binomlem  15802  incexc  15810  incexc2  15811  arisum  15833  arisum2  15834  pwdif  15841  mertenslem2  15858  risefallfac  15997  fallfacfwd  16009  0fallfac  16010  bpolydiflem  16027  ruclem12  16216  iddvdsexp  16256  dvdsfac  16303  oexpneg  16322  pwp1fsum  16368  bitsfzolem  16411  bitsf1  16423  phibnd  16748  phiprmpw  16753  prmdiv  16762  oddprm  16788  iserodd  16813  fldivp1  16875  prmpwdvds  16882  4sqlem12  16934  4sqlem19  16941  vdwapid1  16953  vdwlem1  16959  vdwlem3  16961  vdwlem5  16963  vdwlem6  16964  vdwlem9  16967  0ram  16998  ram0  17000  ramub1lem1  17004  ramub1lem2  17005  ramcl  17007  prmonn2  17017  1259lem5  17112  2503lem3  17116  4001lem4  17121  gsumwsubmcl  18771  gsumsgrpccat  18774  gsumwmhm  18779  finodsubmsubg  19504  sylow1lem1  19535  efgsrel  19671  efgredlem  19684  srgbinomlem4  20145  freshmansdream  21491  psdpw  22064  chfacfisf  22748  chfacfisfcpmat  22749  cpmadugsumlemF  22770  lebnumii  24872  ovolunlem1  25405  dvexp  25864  dgreq0  26178  dvply1  26198  vieta1lem2  26226  aaliou3lem8  26260  dvtaylp  26285  taylthlem1  26288  pserdvlem2  26345  pserdv2  26347  abelthlem6  26353  logtayl  26576  logtayl2  26578  cxpeq  26674  gamfac  26984  wilthlem1  26985  wilthlem2  26986  wilthlem3  26987  wilth  26988  wilthimp  26989  ftalem1  26990  basellem5  27002  1sgm2ppw  27118  chtublem  27129  perfect1  27146  perfect  27149  bcmono  27195  lgslem1  27215  lgsquadlem1  27298  lgsquad2lem2  27303  m1lgs  27306  selberg2lem  27468  logdivbnd  27474  pntrsumo1  27483  cusgrsize2inds  29388  cusgrrusgr  29516  pthdlem2  29705  crctcshwlkn0lem4  29750  wlkiswwlks2lem1  29806  wlkiswwlksupgr2  29814  clwwlkccatlem  29925  clwlkclwwlklem2a2  29929  clwwlknwwlksn  29974  clwwlkel  29982  clwwlkwwlksb  29990  wwlksubclwwlk  29994  oexpled  32779  1arithidomlem1  33513  1arithidomlem2  33514  1arithidom  33515  fibp1  34399  plymulx0  34545  plymulx  34546  signstfvn  34567  signsvtn0  34568  subfacp1lem6  35179  erdszelem10  35194  erdsze2lem1  35197  erdsze2lem2  35198  cvmliftlem2  35280  bcprod  35732  poimirlem5  37626  poimirlem6  37627  poimirlem7  37628  poimirlem10  37631  poimirlem11  37632  poimirlem13  37634  poimirlem14  37635  poimirlem20  37641  poimirlem21  37642  poimirlem22  37643  poimirlem23  37644  poimirlem25  37646  poimirlem26  37647  poimirlem31  37652  lcmfunnnd  42007  lcmineqlem2  42025  lcmineqlem3  42026  lcmineqlem8  42031  lcmineqlem10  42033  lcmineqlem12  42035  dvrelogpow2b  42063  primrootsunit1  42092  sticksstones12a  42152  sticksstones16  42157  sticksstones22  42163  fltnltalem  42657  irrapxlem1  42817  rmspecsqrtnq  42901  jm2.24nn  42955  jm2.17a  42956  acongeq  42979  jm2.18  42984  jm2.22  42991  jm2.23  42992  jm2.20nn  42993  jm2.27c  43003  bccm1k  44338  binomcxplemwb  44344  binomcxplemnotnn0  44352  dvsinexp  45916  dvxpaek  45945  dvnxpaek  45947  itgsinexplem1  45959  itgsinexp  45960  wallispilem5  46074  stirlinglem5  46083  fourierdlem48  46159  fourierdlem49  46160  fourierdlem52  46163  fourierdlem54  46165  fourierdlem103  46214  fourierdlem104  46215  etransclem1  46240  etransclem4  46243  etransclem8  46247  etransclem10  46249  etransclem14  46253  etransclem15  46254  etransclem17  46256  etransclem18  46257  etransclem19  46258  etransclem20  46259  etransclem21  46260  etransclem22  46261  etransclem23  46262  etransclem24  46263  etransclem27  46266  etransclem28  46267  etransclem32  46271  etransclem35  46274  etransclem37  46276  etransclem38  46277  etransclem41  46280  etransclem44  46283  etransclem45  46284  etransclem46  46285  etransclem47  46286  etransclem48  46287  lswn0  47449  fmtnoodd  47538  sqrtpwpw2p  47543  fmtnosqrt  47544  fmtnodvds  47549  fmtnorec3  47553  fmtnorec4  47554  2pwp1prm  47594  lighneallem3  47612  lighneallem4a  47613  lighneallem4  47615  oexpnegALTV  47682  perfectALTV  47728  fpprmod  47732  fppr2odd  47736  fpprwppr  47744  fpprwpprb  47745  bgoldbtbndlem4  47813  bcpascm1  48343  altgsumbcALT  48345  pw2m1lepw2m1  48513  nnpw2even  48522  logbpw2m1  48560  nnpw2blenfzo  48574  nnpw2pmod  48576  nnpw2p  48579  nnolog2flm1  48583  dignn0fr  48594  dig2nn1st  48598  digexp  48600  dignn0flhalflem1  48608