Theorem nnm1nn0 12565

Description: A positive integer minus 1 is a nonnegative integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnm1nn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nnm1nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn1m1nn 12285	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
2		oveq1 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = (1 − 1))
3		1m1e0 12336	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
4	2, 3	eqtrdi 2791	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = 0)
5	4	orim1i 909	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) = 0 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) = 0 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
7	6	orcomd 871	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 1) = 0))
8		elnn0 12526	. 2 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 1) = 0))
9	7, 8	sylibr 234	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 847   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   − cmin 11490  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-nn 12265  df-n0 12525

This theorem is referenced by:  elnn0nn  12566  nn0n0n1ge2  12592  nnaddm1cl  12673  fseq1m1p1  13636  elfznelfzo  13808  nn0ennn  14017  expm1t  14128  expgt1  14138  digit1  14273  bcn1  14349  bcm1k  14351  bcn2m1  14360  cshwidxn  14844  isercoll2  15702  iseralt  15718  binomlem  15862  incexc  15870  incexc2  15871  arisum  15893  arisum2  15894  pwdif  15901  mertenslem2  15918  risefallfac  16057  fallfacfwd  16069  0fallfac  16070  bpolydiflem  16087  ruclem12  16274  iddvdsexp  16314  dvdsfac  16360  oexpneg  16379  pwp1fsum  16425  bitsfzolem  16468  bitsf1  16480  phibnd  16805  phiprmpw  16810  prmdiv  16819  oddprm  16844  iserodd  16869  fldivp1  16931  prmpwdvds  16938  4sqlem12  16990  4sqlem19  16997  vdwapid1  17009  vdwlem1  17015  vdwlem3  17017  vdwlem5  17019  vdwlem6  17020  vdwlem9  17023  0ram  17054  ram0  17056  ramub1lem1  17060  ramub1lem2  17061  ramcl  17063  prmonn2  17073  1259lem5  17169  2503lem3  17173  4001lem4  17178  gsumwsubmcl  18863  gsumsgrpccat  18866  gsumwmhm  18871  finodsubmsubg  19600  sylow1lem1  19631  efgsrel  19767  efgredlem  19780  srgbinomlem4  20247  freshmansdream  21611  chfacfisf  22876  chfacfisfcpmat  22877  cpmadugsumlemF  22898  lebnumii  25012  ovolunlem1  25546  dvexp  26006  dgreq0  26320  dvply1  26340  vieta1lem2  26368  aaliou3lem8  26402  dvtaylp  26427  taylthlem1  26430  pserdvlem2  26487  pserdv2  26489  abelthlem6  26495  logtayl  26717  logtayl2  26719  cxpeq  26815  gamfac  27125  wilthlem1  27126  wilthlem2  27127  wilthlem3  27128  wilth  27129  wilthimp  27130  ftalem1  27131  basellem5  27143  1sgm2ppw  27259  chtublem  27270  perfect1  27287  perfect  27290  bcmono  27336  lgslem1  27356  lgsquadlem1  27439  lgsquad2lem2  27444  m1lgs  27447  selberg2lem  27609  logdivbnd  27615  pntrsumo1  27624  cusgrsize2inds  29486  cusgrrusgr  29614  pthdlem2  29801  crctcshwlkn0lem4  29843  wlkiswwlks2lem1  29899  wlkiswwlksupgr2  29907  clwwlkccatlem  30018  clwlkclwwlklem2a2  30022  clwwlknwwlksn  30067  clwwlkel  30075  clwwlkwwlksb  30083  wwlksubclwwlk  30087  1arithidomlem1  33543  1arithidomlem2  33544  1arithidom  33545  fibp1  34383  plymulx0  34541  plymulx  34542  signstfvn  34563  signsvtn0  34564  subfacp1lem6  35170  erdszelem10  35185  erdsze2lem1  35188  erdsze2lem2  35189  cvmliftlem2  35271  bcprod  35718  poimirlem5  37612  poimirlem6  37613  poimirlem7  37614  poimirlem10  37617  poimirlem11  37618  poimirlem13  37620  poimirlem14  37621  poimirlem20  37627  poimirlem21  37628  poimirlem22  37629  poimirlem23  37630  poimirlem25  37632  poimirlem26  37633  poimirlem31  37638  lcmfunnnd  41994  lcmineqlem2  42012  lcmineqlem3  42013  lcmineqlem8  42018  lcmineqlem10  42020  lcmineqlem12  42022  dvrelogpow2b  42050  primrootsunit1  42079  sticksstones12a  42139  sticksstones16  42144  sticksstones22  42150  fltnltalem  42649  irrapxlem1  42810  rmspecsqrtnq  42894  jm2.24nn  42948  jm2.17a  42949  acongeq  42972  jm2.18  42977  jm2.22  42984  jm2.23  42985  jm2.20nn  42986  jm2.27c  42996  bccm1k  44338  binomcxplemwb  44344  binomcxplemnotnn0  44352  dvsinexp  45867  dvxpaek  45896  dvnxpaek  45898  itgsinexplem1  45910  itgsinexp  45911  wallispilem5  46025  stirlinglem5  46034  fourierdlem48  46110  fourierdlem49  46111  fourierdlem52  46114  fourierdlem54  46116  fourierdlem103  46165  fourierdlem104  46166  etransclem1  46191  etransclem4  46194  etransclem8  46198  etransclem10  46200  etransclem14  46204  etransclem15  46205  etransclem17  46207  etransclem18  46208  etransclem19  46209  etransclem20  46210  etransclem21  46211  etransclem22  46212  etransclem23  46213  etransclem24  46214  etransclem27  46217  etransclem28  46218  etransclem32  46222  etransclem35  46225  etransclem37  46227  etransclem38  46228  etransclem41  46231  etransclem44  46234  etransclem45  46235  etransclem46  46236  etransclem47  46237  etransclem48  46238  lswn0  47369  fmtnoodd  47458  sqrtpwpw2p  47463  fmtnosqrt  47464  fmtnodvds  47469  fmtnorec3  47473  fmtnorec4  47474  2pwp1prm  47514  lighneallem3  47532  lighneallem4a  47533  lighneallem4  47535  oexpnegALTV  47602  perfectALTV  47648  fpprmod  47652  fppr2odd  47656  fpprwppr  47664  fpprwpprb  47665  bgoldbtbndlem4  47733  bcpascm1  48196  altgsumbcALT  48198  pw2m1lepw2m1  48366  nnpw2even  48379  logbpw2m1  48417  nnpw2blenfzo  48431  nnpw2pmod  48433  nnpw2p  48436  nnolog2flm1  48440  dignn0fr  48451  dig2nn1st  48455  digexp  48457  dignn0flhalflem1  48465