MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnm1nn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnm1nn0 12388
Description: A positive integer minus 1 is a nonnegative integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnm1nn0 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nnm1nn0
StepHypRef Expression
1 nn1m1nn 12108 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
2 oveq1 7357 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = (1 − 1))
3 1m1e0 12159 . . . . . 6 (1 − 1) = 0
42, 3eqtrdi 2794 . . . . 5 (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = 0)
54orim1i 909 . . . 4 ((𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) = 0 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
61, 5syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) = 0 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
76orcomd 870 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 1) = 0))
8 elnn0 12349 . 2 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 1) = 0))
97, 8sylibr 233 1 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  (class class class)co 7350  0cc0 10985  1c1 10986  cmin 11319  cn 12087  0cn0 12347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-ltxr 11128  df-sub 11321  df-nn 12088  df-n0 12348
This theorem is referenced by:  elnn0nn  12389  nn0n0n1ge2  12414  nnaddm1cl  12494  fseq1m1p1  13446  elfznelfzo  13607  nn0ennn  13814  expm1t  13926  expgt1  13936  digit1  14067  bcn1  14142  bcm1k  14144  bcn2m1  14153  cshwidxn  14630  isercoll2  15489  iseralt  15505  binomlem  15650  incexc  15658  incexc2  15659  arisum  15681  arisum2  15682  pwdif  15689  mertenslem2  15706  risefallfac  15843  fallfacfwd  15855  0fallfac  15856  bpolydiflem  15873  ruclem12  16059  iddvdsexp  16098  dvdsfac  16144  oexpneg  16163  pwp1fsum  16209  bitsfzolem  16250  bitsf1  16262  phibnd  16579  phiprmpw  16584  prmdiv  16593  oddprm  16618  iserodd  16643  fldivp1  16705  prmpwdvds  16712  4sqlem12  16764  4sqlem19  16771  vdwapid1  16783  vdwlem1  16789  vdwlem3  16791  vdwlem5  16793  vdwlem6  16794  vdwlem9  16797  0ram  16828  ram0  16830  ramub1lem1  16834  ramub1lem2  16835  ramcl  16837  prmonn2  16847  1259lem5  16943  2503lem3  16947  4001lem4  16952  gsumwsubmcl  18583  gsumsgrpccat  18586  gsumwmhm  18591  finodsubmsubg  19284  sylow1lem1  19315  efgsrel  19451  efgredlem  19464  srgbinomlem4  19890  chfacfisf  22131  chfacfisfcpmat  22132  cpmadugsumlemF  22153  lebnumii  24257  ovolunlem1  24789  dvexp  25245  dgreq0  25554  dvply1  25572  vieta1lem2  25599  aaliou3lem8  25633  dvtaylp  25657  taylthlem1  25660  pserdvlem2  25715  pserdv2  25717  abelthlem6  25723  logtayl  25943  logtayl2  25945  cxpeq  26038  gamfac  26344  wilthlem1  26345  wilthlem2  26346  wilthlem3  26347  wilth  26348  wilthimp  26349  ftalem1  26350  basellem5  26362  1sgm2ppw  26476  chtublem  26487  perfect1  26504  perfect  26507  bcmono  26553  lgslem1  26573  lgsquadlem1  26656  lgsquad2lem2  26661  m1lgs  26664  selberg2lem  26826  logdivbnd  26832  pntrsumo1  26841  cusgrsize2inds  28206  cusgrrusgr  28334  pthdlem2  28521  crctcshwlkn0lem4  28563  wlkiswwlks2lem1  28619  wlkiswwlksupgr2  28627  clwwlkccatlem  28738  clwlkclwwlklem2a2  28742  clwwlknwwlksn  28787  clwwlkel  28795  clwwlkwwlksb  28803  wwlksubclwwlk  28807  freshmansdream  31867  fibp1  32781  plymulx0  32939  plymulx  32940  signstfvn  32961  signsvtn0  32962  subfacp1lem6  33559  erdszelem10  33574  erdsze2lem1  33577  erdsze2lem2  33578  cvmliftlem2  33660  bcprod  34105  poimirlem5  36014  poimirlem6  36015  poimirlem7  36016  poimirlem10  36019  poimirlem11  36020  poimirlem13  36022  poimirlem14  36023  poimirlem20  36029  poimirlem21  36030  poimirlem22  36031  poimirlem23  36032  poimirlem25  36034  poimirlem26  36035  poimirlem31  36040  lcmfunnnd  40400  lcmineqlem2  40418  lcmineqlem3  40419  lcmineqlem8  40424  lcmineqlem10  40426  lcmineqlem12  40428  dvrelogpow2b  40456  sticksstones12a  40496  sticksstones16  40501  sticksstones22  40507  fltnltalem  40902  irrapxlem1  41047  rmspecsqrtnq  41131  jm2.24nn  41185  jm2.17a  41186  acongeq  41209  jm2.18  41214  jm2.22  41221  jm2.23  41222  jm2.20nn  41223  jm2.27c  41233  bccm1k  42423  binomcxplemwb  42429  binomcxplemnotnn0  42437  dvsinexp  43943  dvxpaek  43972  dvnxpaek  43974  itgsinexplem1  43986  itgsinexp  43987  wallispilem5  44101  stirlinglem5  44110  fourierdlem48  44186  fourierdlem49  44187  fourierdlem52  44190  fourierdlem54  44192  fourierdlem103  44241  fourierdlem104  44242  etransclem1  44267  etransclem4  44270  etransclem8  44274  etransclem10  44276  etransclem14  44280  etransclem15  44281  etransclem17  44283  etransclem18  44284  etransclem19  44285  etransclem20  44286  etransclem21  44287  etransclem22  44288  etransclem23  44289  etransclem24  44290  etransclem27  44293  etransclem28  44294  etransclem32  44298  etransclem35  44301  etransclem37  44303  etransclem38  44304  etransclem41  44307  etransclem44  44310  etransclem45  44311  etransclem46  44312  etransclem47  44313  etransclem48  44314  lswn0  45427  fmtnoodd  45516  sqrtpwpw2p  45521  fmtnosqrt  45522  fmtnodvds  45527  fmtnorec3  45531  fmtnorec4  45532  2pwp1prm  45572  lighneallem3  45590  lighneallem4a  45591  lighneallem4  45593  oexpnegALTV  45660  perfectALTV  45706  fpprmod  45710  fppr2odd  45714  fpprwppr  45722  fpprwpprb  45723  bgoldbtbndlem4  45791  bcpascm1  46218  altgsumbcALT  46220  pw2m1lepw2m1  46392  nnpw2even  46406  logbpw2m1  46444  nnpw2blenfzo  46458  nnpw2pmod  46460  nnpw2p  46463  nnolog2flm1  46467  dignn0fr  46478  dig2nn1st  46482  digexp  46484  dignn0flhalflem1  46492
  Copyright terms: Public domain W3C validator