Theorem nnm1nn0 12454

Description: A positive integer minus 1 is a nonnegative integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnm1nn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nnm1nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn1m1nn 12178	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
2		oveq1 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = (1 − 1))
3		1m1e0 12229	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
4	2, 3	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = 0)
5	4	orim1i 910	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) = 0 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) = 0 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
7	6	orcomd 872	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 1) = 0))
8		elnn0 12415	. 2 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 1) = 0))
9	7, 8	sylibr 234	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  0cc0 11038  1c1 11039   − cmin 11376  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-sub 11378  df-nn 12158  df-n0 12414

This theorem is referenced by:  elnn0nn  12455  nn0n0n1ge2  12481  nnaddm1cl  12561  fseq1m1p1  13527  elfznelfzo  13701  nn0ennn  13914  expm1t  14025  expgt1  14035  digit1  14172  bcn1  14248  bcm1k  14250  bcn2m1  14259  cshwidxn  14744  isercoll2  15604  iseralt  15620  binomlem  15764  incexc  15772  incexc2  15773  arisum  15795  arisum2  15796  pwdif  15803  mertenslem2  15820  risefallfac  15959  fallfacfwd  15971  0fallfac  15972  bpolydiflem  15989  ruclem12  16178  iddvdsexp  16218  dvdsfac  16265  oexpneg  16284  pwp1fsum  16330  bitsfzolem  16373  bitsf1  16385  phibnd  16710  phiprmpw  16715  prmdiv  16724  oddprm  16750  iserodd  16775  fldivp1  16837  prmpwdvds  16844  4sqlem12  16896  4sqlem19  16903  vdwapid1  16915  vdwlem1  16921  vdwlem3  16923  vdwlem5  16925  vdwlem6  16926  vdwlem9  16929  0ram  16960  ram0  16962  ramub1lem1  16966  ramub1lem2  16967  ramcl  16969  prmonn2  16979  1259lem5  17074  2503lem3  17078  4001lem4  17083  chnrev  18562  gsumwsubmcl  18774  gsumsgrpccat  18777  gsumwmhm  18782  finodsubmsubg  19508  sylow1lem1  19539  efgsrel  19675  efgredlem  19688  srgbinomlem4  20176  freshmansdream  21541  psdpw  22125  chfacfisf  22810  chfacfisfcpmat  22811  cpmadugsumlemF  22832  lebnumii  24933  ovolunlem1  25466  dvexp  25925  dgreq0  26239  dvply1  26259  vieta1lem2  26287  aaliou3lem8  26321  dvtaylp  26346  taylthlem1  26349  pserdvlem2  26406  pserdv2  26408  abelthlem6  26414  logtayl  26637  logtayl2  26639  cxpeq  26735  gamfac  27045  wilthlem1  27046  wilthlem2  27047  wilthlem3  27048  wilth  27049  wilthimp  27050  ftalem1  27051  basellem5  27063  1sgm2ppw  27179  chtublem  27190  perfect1  27207  perfect  27210  bcmono  27256  lgslem1  27276  lgsquadlem1  27359  lgsquad2lem2  27364  m1lgs  27367  selberg2lem  27529  logdivbnd  27535  pntrsumo1  27544  cusgrsize2inds  29539  cusgrrusgr  29667  pthdlem2  29853  crctcshwlkn0lem4  29898  wlkiswwlks2lem1  29954  wlkiswwlksupgr2  29962  clwwlkccatlem  30076  clwlkclwwlklem2a2  30080  clwwlknwwlksn  30125  clwwlkel  30133  clwwlkwwlksb  30141  wwlksubclwwlk  30145  oexpled  32938  1arithidomlem1  33627  1arithidomlem2  33628  1arithidom  33629  esplyind  33751  fibp1  34578  plymulx0  34724  plymulx  34725  signstfvn  34746  signsvtn0  34747  subfacp1lem6  35398  erdszelem10  35413  erdsze2lem1  35416  erdsze2lem2  35417  cvmliftlem2  35499  bcprod  35951  poimirlem5  37873  poimirlem6  37874  poimirlem7  37875  poimirlem10  37878  poimirlem11  37879  poimirlem13  37881  poimirlem14  37882  poimirlem20  37888  poimirlem21  37889  poimirlem22  37890  poimirlem23  37891  poimirlem25  37893  poimirlem26  37894  poimirlem31  37899  lcmfunnnd  42379  lcmineqlem2  42397  lcmineqlem3  42398  lcmineqlem8  42403  lcmineqlem10  42405  lcmineqlem12  42407  dvrelogpow2b  42435  primrootsunit1  42464  sticksstones12a  42524  sticksstones16  42529  sticksstones22  42535  fltnltalem  43017  irrapxlem1  43176  rmspecsqrtnq  43260  jm2.24nn  43313  jm2.17a  43314  acongeq  43337  jm2.18  43342  jm2.22  43349  jm2.23  43350  jm2.20nn  43351  jm2.27c  43361  bccm1k  44695  binomcxplemwb  44701  binomcxplemnotnn0  44709  dvsinexp  46266  dvxpaek  46295  dvnxpaek  46297  itgsinexplem1  46309  itgsinexp  46310  wallispilem5  46424  stirlinglem5  46433  fourierdlem48  46509  fourierdlem49  46510  fourierdlem52  46513  fourierdlem54  46515  fourierdlem103  46564  fourierdlem104  46565  etransclem1  46590  etransclem4  46593  etransclem8  46597  etransclem10  46599  etransclem14  46603  etransclem15  46604  etransclem17  46606  etransclem18  46607  etransclem19  46608  etransclem20  46609  etransclem21  46610  etransclem22  46611  etransclem23  46612  etransclem24  46613  etransclem27  46616  etransclem28  46617  etransclem32  46621  etransclem35  46624  etransclem37  46626  etransclem38  46627  etransclem41  46630  etransclem44  46633  etransclem45  46634  etransclem46  46635  etransclem47  46636  etransclem48  46637  lswn0  47801  fmtnoodd  47890  sqrtpwpw2p  47895  fmtnosqrt  47896  fmtnodvds  47901  fmtnorec3  47905  fmtnorec4  47906  2pwp1prm  47946  lighneallem3  47964  lighneallem4a  47965  lighneallem4  47967  oexpnegALTV  48034  perfectALTV  48080  fpprmod  48084  fppr2odd  48088  fpprwppr  48096  fpprwpprb  48097  bgoldbtbndlem4  48165  bcpascm1  48708  altgsumbcALT  48710  pw2m1lepw2m1  48877  nnpw2even  48886  logbpw2m1  48924  nnpw2blenfzo  48938  nnpw2pmod  48940  nnpw2p  48943  nnolog2flm1  48947  dignn0fr  48958  dig2nn1st  48962  digexp  48964  dignn0flhalflem1  48972