HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normlem7tALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem normlem7tALT 30903
Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem7t.1 ๐ด โˆˆ โ„‹
normlem7t.2 ๐ต โˆˆ โ„‹
Assertion
Ref Expression
normlem7tALT ((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1) โ†’ (((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) + (๐‘† ยท (๐ต ยทih ๐ด))) โ‰ค (2 ยท ((โˆšโ€˜(๐ต ยทih ๐ต)) ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด)))))

Proof of Theorem normlem7tALT
StepHypRef Expression
1 fveq2 6891 . . . . 5 (๐‘† = if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1) โ†’ (โˆ—โ€˜๐‘†) = (โˆ—โ€˜if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1)))
21oveq1d 7429 . . . 4 (๐‘† = if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1) โ†’ ((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) = ((โˆ—โ€˜if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1)) ยท (๐ด ยทih ๐ต)))
3 oveq1 7421 . . . 4 (๐‘† = if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1) โ†’ (๐‘† ยท (๐ต ยทih ๐ด)) = (if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1) ยท (๐ต ยทih ๐ด)))
42, 3oveq12d 7432 . . 3 (๐‘† = if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1) โ†’ (((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) + (๐‘† ยท (๐ต ยทih ๐ด))) = (((โˆ—โ€˜if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1)) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) + (if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1) ยท (๐ต ยทih ๐ด))))
54breq1d 5152 . 2 (๐‘† = if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1) โ†’ ((((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) + (๐‘† ยท (๐ต ยทih ๐ด))) โ‰ค (2 ยท ((โˆšโ€˜(๐ต ยทih ๐ต)) ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด)))) โ†” (((โˆ—โ€˜if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1)) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) + (if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1) ยท (๐ต ยทih ๐ด))) โ‰ค (2 ยท ((โˆšโ€˜(๐ต ยทih ๐ต)) ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด))))))
6 eleq1 2816 . . . . . 6 (๐‘† = if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1) โ†’ (๐‘† โˆˆ โ„‚ โ†” if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1) โˆˆ โ„‚))
7 fveq2 6891 . . . . . . 7 (๐‘† = if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1) โ†’ (absโ€˜๐‘†) = (absโ€˜if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1)))
87eqeq1d 2729 . . . . . 6 (๐‘† = if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1) โ†’ ((absโ€˜๐‘†) = 1 โ†” (absโ€˜if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1)) = 1))
96, 8anbi12d 630 . . . . 5 (๐‘† = if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1) โ†’ ((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1) โ†” (if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1) โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1)) = 1)))
10 eleq1 2816 . . . . . 6 (1 = if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1) โ†’ (1 โˆˆ โ„‚ โ†” if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1) โˆˆ โ„‚))
11 fveq2 6891 . . . . . . 7 (1 = if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1) โ†’ (absโ€˜1) = (absโ€˜if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1)))
1211eqeq1d 2729 . . . . . 6 (1 = if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1) โ†’ ((absโ€˜1) = 1 โ†” (absโ€˜if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1)) = 1))
1310, 12anbi12d 630 . . . . 5 (1 = if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1) โ†’ ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜1) = 1) โ†” (if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1) โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1)) = 1)))
14 ax-1cn 11182 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„‚
15 abs1 15262 . . . . . 6 (absโ€˜1) = 1
1614, 15pm3.2i 470 . . . . 5 (1 โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜1) = 1)
179, 13, 16elimhyp 4589 . . . 4 (if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1) โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1)) = 1)
1817simpli 483 . . 3 if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1) โˆˆ โ„‚
19 normlem7t.1 . . 3 ๐ด โˆˆ โ„‹
20 normlem7t.2 . . 3 ๐ต โˆˆ โ„‹
2117simpri 485 . . 3 (absโ€˜if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1)) = 1
2218, 19, 20, 21normlem7 30900 . 2 (((โˆ—โ€˜if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1)) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) + (if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1) ยท (๐ต ยทih ๐ด))) โ‰ค (2 ยท ((โˆšโ€˜(๐ต ยทih ๐ต)) ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด))))
235, 22dedth 4582 1 ((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1) โ†’ (((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) + (๐‘† ยท (๐ต ยทih ๐ด))) โ‰ค (2 ยท ((โˆšโ€˜(๐ต ยทih ๐ต)) ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  ifcif 4524   class class class wbr 5142  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11122  1c1 11125   + caddc 11127   ยท cmul 11129   โ‰ค cle 11265  2c2 12283  โˆ—ccj 15061  โˆšcsqrt 15198  abscabs 15199   โ„‹chba 30703   ยทih csp 30706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-hfvadd 30784  ax-hv0cl 30787  ax-hfvmul 30789  ax-hvmulass 30791  ax-hvmul0 30794  ax-hfi 30863  ax-his1 30866  ax-his2 30867  ax-his3 30868  ax-his4 30869
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9451  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-seq 13985  df-exp 14045  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-hvsub 30755
This theorem is referenced by:  bcsiALT  30963
  Copyright terms: Public domain W3C validator