HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normlem7tALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem normlem7tALT 30968
Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem7t.1 ๐ด โˆˆ โ„‹
normlem7t.2 ๐ต โˆˆ โ„‹
Assertion
Ref Expression
normlem7tALT ((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1) โ†’ (((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) + (๐‘† ยท (๐ต ยทih ๐ด))) โ‰ค (2 ยท ((โˆšโ€˜(๐ต ยทih ๐ต)) ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด)))))

Proof of Theorem normlem7tALT
StepHypRef Expression
1 fveq2 6890 . . . . 5 (๐‘† = if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1) โ†’ (โˆ—โ€˜๐‘†) = (โˆ—โ€˜if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1)))
21oveq1d 7428 . . . 4 (๐‘† = if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1) โ†’ ((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) = ((โˆ—โ€˜if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1)) ยท (๐ด ยทih ๐ต)))
3 oveq1 7420 . . . 4 (๐‘† = if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1) โ†’ (๐‘† ยท (๐ต ยทih ๐ด)) = (if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1) ยท (๐ต ยทih ๐ด)))
42, 3oveq12d 7431 . . 3 (๐‘† = if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1) โ†’ (((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) + (๐‘† ยท (๐ต ยทih ๐ด))) = (((โˆ—โ€˜if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1)) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) + (if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1) ยท (๐ต ยทih ๐ด))))
54breq1d 5154 . 2 (๐‘† = if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1) โ†’ ((((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) + (๐‘† ยท (๐ต ยทih ๐ด))) โ‰ค (2 ยท ((โˆšโ€˜(๐ต ยทih ๐ต)) ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด)))) โ†” (((โˆ—โ€˜if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1)) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) + (if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1) ยท (๐ต ยทih ๐ด))) โ‰ค (2 ยท ((โˆšโ€˜(๐ต ยทih ๐ต)) ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด))))))
6 eleq1 2813 . . . . . 6 (๐‘† = if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1) โ†’ (๐‘† โˆˆ โ„‚ โ†” if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1) โˆˆ โ„‚))
7 fveq2 6890 . . . . . . 7 (๐‘† = if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1) โ†’ (absโ€˜๐‘†) = (absโ€˜if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1)))
87eqeq1d 2727 . . . . . 6 (๐‘† = if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1) โ†’ ((absโ€˜๐‘†) = 1 โ†” (absโ€˜if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1)) = 1))
96, 8anbi12d 630 . . . . 5 (๐‘† = if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1) โ†’ ((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1) โ†” (if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1) โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1)) = 1)))
10 eleq1 2813 . . . . . 6 (1 = if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1) โ†’ (1 โˆˆ โ„‚ โ†” if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1) โˆˆ โ„‚))
11 fveq2 6890 . . . . . . 7 (1 = if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1) โ†’ (absโ€˜1) = (absโ€˜if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1)))
1211eqeq1d 2727 . . . . . 6 (1 = if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1) โ†’ ((absโ€˜1) = 1 โ†” (absโ€˜if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1)) = 1))
1310, 12anbi12d 630 . . . . 5 (1 = if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1) โ†’ ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜1) = 1) โ†” (if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1) โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1)) = 1)))
14 ax-1cn 11191 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„‚
15 abs1 15271 . . . . . 6 (absโ€˜1) = 1
1614, 15pm3.2i 469 . . . . 5 (1 โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜1) = 1)
179, 13, 16elimhyp 4590 . . . 4 (if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1) โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1)) = 1)
1817simpli 482 . . 3 if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1) โˆˆ โ„‚
19 normlem7t.1 . . 3 ๐ด โˆˆ โ„‹
20 normlem7t.2 . . 3 ๐ต โˆˆ โ„‹
2117simpri 484 . . 3 (absโ€˜if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1)) = 1
2218, 19, 20, 21normlem7 30965 . 2 (((โˆ—โ€˜if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1)) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) + (if((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1), ๐‘†, 1) ยท (๐ต ยทih ๐ด))) โ‰ค (2 ยท ((โˆšโ€˜(๐ต ยทih ๐ต)) ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด))))
235, 22dedth 4583 1 ((๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘†) = 1) โ†’ (((โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐ด ยทih ๐ต)) + (๐‘† ยท (๐ต ยทih ๐ด))) โ‰ค (2 ยท ((โˆšโ€˜(๐ต ยทih ๐ต)) ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยทih ๐ด)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  ifcif 4525   class class class wbr 5144  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  โ„‚cc 11131  1c1 11134   + caddc 11136   ยท cmul 11138   โ‰ค cle 11274  2c2 12292  โˆ—ccj 15070  โˆšcsqrt 15207  abscabs 15208   โ„‹chba 30768   ยทih csp 30771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-hfvadd 30849  ax-hv0cl 30852  ax-hfvmul 30854  ax-hvmulass 30856  ax-hvmul0 30859  ax-hfi 30928  ax-his1 30931  ax-his2 30932  ax-his3 30933  ax-his4 30934
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9460  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-seq 13994  df-exp 14054  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-hvsub 30820
This theorem is referenced by:  bcsiALT  31028
  Copyright terms: Public domain W3C validator