Theorem normlem7tALT 31751

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
normlem7t.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
normlem7t.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
normlem7tALT	⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1) → (((∗‘𝑆) · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (𝑆 · (𝐵 ·ih 𝐴))) ≤ (2 · ((√‘(𝐵 ·ih 𝐵)) · (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))))

Proof of Theorem normlem7tALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6908	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → (∗‘𝑆) = (∗‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)))
2	1	oveq1d 7458	. . . 4 ⊢ (𝑆 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → ((∗‘𝑆) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = ((∗‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) · (𝐴 ·ih 𝐵)))
3		oveq1 7450	. . . 4 ⊢ (𝑆 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → (𝑆 · (𝐵 ·ih 𝐴)) = (if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) · (𝐵 ·ih 𝐴)))
4	2, 3	oveq12d 7461	. . 3 ⊢ (𝑆 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → (((∗‘𝑆) · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (𝑆 · (𝐵 ·ih 𝐴))) = (((∗‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) · (𝐵 ·ih 𝐴))))
5	4	breq1d 5116	. 2 ⊢ (𝑆 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → ((((∗‘𝑆) · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (𝑆 · (𝐵 ·ih 𝐴))) ≤ (2 · ((√‘(𝐵 ·ih 𝐵)) · (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))) ↔ (((∗‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) · (𝐵 ·ih 𝐴))) ≤ (2 · ((√‘(𝐵 ·ih 𝐵)) · (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))))))
6		eleq1 2852	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → (𝑆 ∈ ℂ ↔ if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) ∈ ℂ))
7		fveq2 6908	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → (abs‘𝑆) = (abs‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)))
8	7	eqeq1d 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → ((abs‘𝑆) = 1 ↔ (abs‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) = 1))
9	6, 8	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1) ↔ (if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) ∈ ℂ ∧ (abs‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) = 1)))
10		eleq1 2852	. . . . . 6 ⊢ (1 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → (1 ∈ ℂ ↔ if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) ∈ ℂ))
11		fveq2 6908	. . . . . . 7 ⊢ (1 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → (abs‘1) = (abs‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)))
12	11	eqeq1d 2765	. . . . . 6 ⊢ (1 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → ((abs‘1) = 1 ↔ (abs‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) = 1))
13	10, 12	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (1 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → ((1 ∈ ℂ ∧ (abs‘1) = 1) ↔ (if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) ∈ ℂ ∧ (abs‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) = 1)))
14		ax-1cn 11285	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
15		abs1 15493	. . . . . 6 ⊢ (abs‘1) = 1
16	14, 15	pm3.2i 476	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ (abs‘1) = 1)
17	9, 13, 16	elimhyp 4551	. . . 4 ⊢ (if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) ∈ ℂ ∧ (abs‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) = 1)
18	17	simpli 489	. . 3 ⊢ if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) ∈ ℂ
19		normlem7t.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
20		normlem7t.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
21	17	simpri 491	. . 3 ⊢ (abs‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) = 1
22	18, 19, 20, 21	normlem7 31748	. 2 ⊢ (((∗‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) · (𝐵 ·ih 𝐴))) ≤ (2 · ((√‘(𝐵 ·ih 𝐵)) · (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))))
23	5, 22	dedth 4544	1 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1) → (((∗‘𝑆) · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (𝑆 · (𝐵 ·ih 𝐴))) ≤ (2 · ((√‘(𝐵 ·ih 𝐵)) · (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ifcif 4485   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  1c1 11228   + caddc 11230   · cmul 11232   ≤ cle 11371  2c2 12424  ∗ccj 15292  √csqrt 15429  abscabs 15430   ℋchba 31551   ·_ih csp 31554

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305  ax-hfvadd 31632  ax-hv0cl 31635  ax-hfvmul 31637  ax-hvmulass 31639  ax-hvmul0 31642  ax-hfi 31711  ax-his1 31714  ax-his2 31715  ax-his3 31716  ax-his4 31717

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-sup 9461  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-seq 14172  df-exp 14232  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-hvsub 31603

This theorem is used by:  bcsiALT  31811