Theorem normlem7tALT 31601

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
normlem7t.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
normlem7t.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
normlem7tALT	⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1) → (((∗‘𝑆) · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (𝑆 · (𝐵 ·ih 𝐴))) ≤ (2 · ((√‘(𝐵 ·ih 𝐵)) · (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))))

Proof of Theorem normlem7tALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6882	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → (∗‘𝑆) = (∗‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)))
2	1	oveq1d 7431	. . . 4 ⊢ (𝑆 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → ((∗‘𝑆) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = ((∗‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) · (𝐴 ·ih 𝐵)))
3		oveq1 7423	. . . 4 ⊢ (𝑆 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → (𝑆 · (𝐵 ·ih 𝐴)) = (if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) · (𝐵 ·ih 𝐴)))
4	2, 3	oveq12d 7434	. . 3 ⊢ (𝑆 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → (((∗‘𝑆) · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (𝑆 · (𝐵 ·ih 𝐴))) = (((∗‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) · (𝐵 ·ih 𝐴))))
5	4	breq1d 5117	. 2 ⊢ (𝑆 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → ((((∗‘𝑆) · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (𝑆 · (𝐵 ·ih 𝐴))) ≤ (2 · ((√‘(𝐵 ·ih 𝐵)) · (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))) ↔ (((∗‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) · (𝐵 ·ih 𝐴))) ≤ (2 · ((√‘(𝐵 ·ih 𝐵)) · (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))))))
6		eleq1 2850	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → (𝑆 ∈ ℂ ↔ if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) ∈ ℂ))
7		fveq2 6882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → (abs‘𝑆) = (abs‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)))
8	7	eqeq1d 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → ((abs‘𝑆) = 1 ↔ (abs‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) = 1))
9	6, 8	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1) ↔ (if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) ∈ ℂ ∧ (abs‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) = 1)))
10		eleq1 2850	. . . . . 6 ⊢ (1 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → (1 ∈ ℂ ↔ if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) ∈ ℂ))
11		fveq2 6882	. . . . . . 7 ⊢ (1 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → (abs‘1) = (abs‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)))
12	11	eqeq1d 2764	. . . . . 6 ⊢ (1 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → ((abs‘1) = 1 ↔ (abs‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) = 1))
13	10, 12	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (1 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → ((1 ∈ ℂ ∧ (abs‘1) = 1) ↔ (if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) ∈ ℂ ∧ (abs‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) = 1)))
14		ax-1cn 11185	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
15		abs1 15386	. . . . . 6 ⊢ (abs‘1) = 1
16	14, 15	pm3.2i 476	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ (abs‘1) = 1)
17	9, 13, 16	elimhyp 4551	. . . 4 ⊢ (if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) ∈ ℂ ∧ (abs‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) = 1)
18	17	simpli 489	. . 3 ⊢ if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) ∈ ℂ
19		normlem7t.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
20		normlem7t.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
21	17	simpri 491	. . 3 ⊢ (abs‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) = 1
22	18, 19, 20, 21	normlem7 31598	. 2 ⊢ (((∗‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) · (𝐵 ·ih 𝐴))) ≤ (2 · ((√‘(𝐵 ·ih 𝐵)) · (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))))
23	5, 22	dedth 4544	1 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1) → (((∗‘𝑆) · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (𝑆 · (𝐵 ·ih 𝐴))) ≤ (2 · ((√‘(𝐵 ·ih 𝐵)) · (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ifcif 4485   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  1c1 11128   + caddc 11130   · cmul 11132   ≤ cle 11271  2c2 12322  ∗ccj 15185  √csqrt 15322  abscabs 15323   ℋchba 31401   ·_ih csp 31404

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-hfvadd 31482  ax-hv0cl 31485  ax-hfvmul 31487  ax-hvmulass 31489  ax-hvmul0 31492  ax-hfi 31561  ax-his1 31564  ax-his2 31565  ax-his3 31566  ax-his4 31567

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13045  df-seq 14068  df-exp 14128  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-hvsub 31453

This theorem is used by:  bcsiALT  31661