Theorem normlem7tALT 31210

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
normlem7t.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
normlem7t.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
normlem7tALT	⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1) → (((∗‘𝑆) · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (𝑆 · (𝐵 ·ih 𝐴))) ≤ (2 · ((√‘(𝐵 ·ih 𝐵)) · (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))))

Proof of Theorem normlem7tALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6832	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → (∗‘𝑆) = (∗‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)))
2	1	oveq1d 7373	. . . 4 ⊢ (𝑆 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → ((∗‘𝑆) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = ((∗‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) · (𝐴 ·ih 𝐵)))
3		oveq1 7365	. . . 4 ⊢ (𝑆 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → (𝑆 · (𝐵 ·ih 𝐴)) = (if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) · (𝐵 ·ih 𝐴)))
4	2, 3	oveq12d 7376	. . 3 ⊢ (𝑆 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → (((∗‘𝑆) · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (𝑆 · (𝐵 ·ih 𝐴))) = (((∗‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) · (𝐵 ·ih 𝐴))))
5	4	breq1d 5096	. 2 ⊢ (𝑆 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → ((((∗‘𝑆) · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (𝑆 · (𝐵 ·ih 𝐴))) ≤ (2 · ((√‘(𝐵 ·ih 𝐵)) · (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))) ↔ (((∗‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) · (𝐵 ·ih 𝐴))) ≤ (2 · ((√‘(𝐵 ·ih 𝐵)) · (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))))))
6		eleq1 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → (𝑆 ∈ ℂ ↔ if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) ∈ ℂ))
7		fveq2 6832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → (abs‘𝑆) = (abs‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)))
8	7	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → ((abs‘𝑆) = 1 ↔ (abs‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) = 1))
9	6, 8	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1) ↔ (if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) ∈ ℂ ∧ (abs‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) = 1)))
10		eleq1 2825	. . . . . 6 ⊢ (1 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → (1 ∈ ℂ ↔ if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) ∈ ℂ))
11		fveq2 6832	. . . . . . 7 ⊢ (1 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → (abs‘1) = (abs‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)))
12	11	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (1 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → ((abs‘1) = 1 ↔ (abs‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) = 1))
13	10, 12	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ (1 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → ((1 ∈ ℂ ∧ (abs‘1) = 1) ↔ (if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) ∈ ℂ ∧ (abs‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) = 1)))
14		ax-1cn 11085	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
15		abs1 15248	. . . . . 6 ⊢ (abs‘1) = 1
16	14, 15	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ (abs‘1) = 1)
17	9, 13, 16	elimhyp 4533	. . . 4 ⊢ (if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) ∈ ℂ ∧ (abs‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) = 1)
18	17	simpli 483	. . 3 ⊢ if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) ∈ ℂ
19		normlem7t.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
20		normlem7t.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
21	17	simpri 485	. . 3 ⊢ (abs‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) = 1
22	18, 19, 20, 21	normlem7 31207	. 2 ⊢ (((∗‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) · (𝐵 ·ih 𝐴))) ≤ (2 · ((√‘(𝐵 ·ih 𝐵)) · (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))))
23	5, 22	dedth 4526	1 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1) → (((∗‘𝑆) · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (𝑆 · (𝐵 ·ih 𝐴))) ≤ (2 · ((√‘(𝐵 ·ih 𝐵)) · (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4467   class class class wbr 5086  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ℂcc 11025  1c1 11028   + caddc 11030   · cmul 11032   ≤ cle 11169  2c2 12225  ∗ccj 15047  √csqrt 15184  abscabs 15185   ℋchba 31010   ·_ih csp 31013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105  ax-hfvadd 31091  ax-hv0cl 31094  ax-hfvmul 31096  ax-hvmulass 31098  ax-hvmul0 31101  ax-hfi 31170  ax-his1 31173  ax-his2 31174  ax-his3 31175  ax-his4 31176

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9346  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-rp 12932  df-seq 13953  df-exp 14013  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-hvsub 31062

This theorem is referenced by:  bcsiALT  31270