Theorem normlem7tALT 31261

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
normlem7t.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
normlem7t.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
normlem7tALT	⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1) → (((∗‘𝑆) · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (𝑆 · (𝐵 ·ih 𝐴))) ≤ (2 · ((√‘(𝐵 ·ih 𝐵)) · (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))))

Proof of Theorem normlem7tALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6856	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → (∗‘𝑆) = (∗‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)))
2	1	oveq1d 7400	. . . 4 ⊢ (𝑆 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → ((∗‘𝑆) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = ((∗‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) · (𝐴 ·ih 𝐵)))
3		oveq1 7392	. . . 4 ⊢ (𝑆 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → (𝑆 · (𝐵 ·ih 𝐴)) = (if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) · (𝐵 ·ih 𝐴)))
4	2, 3	oveq12d 7403	. . 3 ⊢ (𝑆 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → (((∗‘𝑆) · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (𝑆 · (𝐵 ·ih 𝐴))) = (((∗‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) · (𝐵 ·ih 𝐴))))
5	4	breq1d 5104	. 2 ⊢ (𝑆 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → ((((∗‘𝑆) · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (𝑆 · (𝐵 ·ih 𝐴))) ≤ (2 · ((√‘(𝐵 ·ih 𝐵)) · (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))) ↔ (((∗‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) · (𝐵 ·ih 𝐴))) ≤ (2 · ((√‘(𝐵 ·ih 𝐵)) · (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))))))
6		eleq1 2844	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → (𝑆 ∈ ℂ ↔ if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) ∈ ℂ))
7		fveq2 6856	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → (abs‘𝑆) = (abs‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)))
8	7	eqeq1d 2758	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → ((abs‘𝑆) = 1 ↔ (abs‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) = 1))
9	6, 8	anbi12d 640	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1) ↔ (if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) ∈ ℂ ∧ (abs‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) = 1)))
10		eleq1 2844	. . . . . 6 ⊢ (1 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → (1 ∈ ℂ ↔ if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) ∈ ℂ))
11		fveq2 6856	. . . . . . 7 ⊢ (1 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → (abs‘1) = (abs‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)))
12	11	eqeq1d 2758	. . . . . 6 ⊢ (1 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → ((abs‘1) = 1 ↔ (abs‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) = 1))
13	10, 12	anbi12d 640	. . . . 5 ⊢ (1 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → ((1 ∈ ℂ ∧ (abs‘1) = 1) ↔ (if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) ∈ ℂ ∧ (abs‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) = 1)))
14		ax-1cn 11121	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
15		abs1 15300	. . . . . 6 ⊢ (abs‘1) = 1
16	14, 15	pm3.2i 473	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ (abs‘1) = 1)
17	9, 13, 16	elimhyp 4540	. . . 4 ⊢ (if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) ∈ ℂ ∧ (abs‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) = 1)
18	17	simpli 486	. . 3 ⊢ if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) ∈ ℂ
19		normlem7t.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
20		normlem7t.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
21	17	simpri 488	. . 3 ⊢ (abs‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) = 1
22	18, 19, 20, 21	normlem7 31258	. 2 ⊢ (((∗‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) · (𝐵 ·ih 𝐴))) ≤ (2 · ((√‘(𝐵 ·ih 𝐵)) · (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))))
23	5, 22	dedth 4533	1 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1) → (((∗‘𝑆) · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (𝑆 · (𝐵 ·ih 𝐴))) ≤ (2 · ((√‘(𝐵 ·ih 𝐵)) · (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  ifcif 4474   class class class wbr 5094  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  ℂcc 11061  1c1 11064   + caddc 11066   · cmul 11068   ≤ cle 11207  2c2 12262  ∗ccj 15099  √csqrt 15236  abscabs 15237   ℋchba 31061   ·_ih csp 31064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140  ax-pre-sup 11141  ax-hfvadd 31142  ax-hv0cl 31145  ax-hfvmul 31147  ax-hvmulass 31149  ax-hvmul0 31152  ax-hfi 31221  ax-his1 31224  ax-his2 31225  ax-his3 31226  ax-his4 31227

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-sup 9378  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-div 11835  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-n0 12472  df-z 12559  df-uz 12830  df-rp 12984  df-seq 14005  df-exp 14065  df-cj 15102  df-re 15103  df-im 15104  df-sqrt 15238  df-abs 15239  df-hvsub 31113

This theorem is referenced by:  bcsiALT  31321