Theorem normlem7tALT 31048

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
normlem7t.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
normlem7t.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
normlem7tALT	⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1) → (((∗‘𝑆) · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (𝑆 · (𝐵 ·ih 𝐴))) ≤ (2 · ((√‘(𝐵 ·ih 𝐵)) · (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))))

Proof of Theorem normlem7tALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6858	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → (∗‘𝑆) = (∗‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)))
2	1	oveq1d 7402	. . . 4 ⊢ (𝑆 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → ((∗‘𝑆) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = ((∗‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) · (𝐴 ·ih 𝐵)))
3		oveq1 7394	. . . 4 ⊢ (𝑆 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → (𝑆 · (𝐵 ·ih 𝐴)) = (if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) · (𝐵 ·ih 𝐴)))
4	2, 3	oveq12d 7405	. . 3 ⊢ (𝑆 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → (((∗‘𝑆) · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (𝑆 · (𝐵 ·ih 𝐴))) = (((∗‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) · (𝐵 ·ih 𝐴))))
5	4	breq1d 5117	. 2 ⊢ (𝑆 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → ((((∗‘𝑆) · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (𝑆 · (𝐵 ·ih 𝐴))) ≤ (2 · ((√‘(𝐵 ·ih 𝐵)) · (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))) ↔ (((∗‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) · (𝐵 ·ih 𝐴))) ≤ (2 · ((√‘(𝐵 ·ih 𝐵)) · (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))))))
6		eleq1 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → (𝑆 ∈ ℂ ↔ if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) ∈ ℂ))
7		fveq2 6858	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → (abs‘𝑆) = (abs‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)))
8	7	eqeq1d 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → ((abs‘𝑆) = 1 ↔ (abs‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) = 1))
9	6, 8	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1) ↔ (if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) ∈ ℂ ∧ (abs‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) = 1)))
10		eleq1 2816	. . . . . 6 ⊢ (1 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → (1 ∈ ℂ ↔ if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) ∈ ℂ))
11		fveq2 6858	. . . . . . 7 ⊢ (1 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → (abs‘1) = (abs‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)))
12	11	eqeq1d 2731	. . . . . 6 ⊢ (1 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → ((abs‘1) = 1 ↔ (abs‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) = 1))
13	10, 12	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (1 = if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) → ((1 ∈ ℂ ∧ (abs‘1) = 1) ↔ (if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) ∈ ℂ ∧ (abs‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) = 1)))
14		ax-1cn 11126	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
15		abs1 15263	. . . . . 6 ⊢ (abs‘1) = 1
16	14, 15	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ (abs‘1) = 1)
17	9, 13, 16	elimhyp 4554	. . . 4 ⊢ (if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) ∈ ℂ ∧ (abs‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) = 1)
18	17	simpli 483	. . 3 ⊢ if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) ∈ ℂ
19		normlem7t.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
20		normlem7t.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
21	17	simpri 485	. . 3 ⊢ (abs‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) = 1
22	18, 19, 20, 21	normlem7 31045	. 2 ⊢ (((∗‘if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1)) · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (if((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1), 𝑆, 1) · (𝐵 ·ih 𝐴))) ≤ (2 · ((√‘(𝐵 ·ih 𝐵)) · (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))))
23	5, 22	dedth 4547	1 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑆) = 1) → (((∗‘𝑆) · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (𝑆 · (𝐵 ·ih 𝐴))) ≤ (2 · ((√‘(𝐵 ·ih 𝐵)) · (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4488   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   ≤ cle 11209  2c2 12241  ∗ccj 15062  √csqrt 15199  abscabs 15200   ℋchba 30848   ·_ih csp 30851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-hfvadd 30929  ax-hv0cl 30932  ax-hfvmul 30934  ax-hvmulass 30936  ax-hvmul0 30939  ax-hfi 31008  ax-his1 31011  ax-his2 31012  ax-his3 31013  ax-his4 31014

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-hvsub 30900

This theorem is referenced by:  bcsiALT  31108