Theorem evenprm2 48300

Description: A prime number is even iff it is 2. (Contributed by AV, 21-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
evenprm2	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ Even ↔ 𝑃 = 2))

Proof of Theorem evenprm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2a1 28	. . 3 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ Even → 𝑃 = 2)))
2		df-ne 2957	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ≠ 2 ↔ ¬ 𝑃 = 2)
3	2	biimpri 230	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑃 = 2 → 𝑃 ≠ 2)
4	3	anim2i 626	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
5	4	ancoms 462	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑃 = 2 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
6		eldifsn 4745	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
7	5, 6	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑃 = 2 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
8		oddprmALTV 48273	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ Odd )
9		oddneven 48230	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Odd → ¬ 𝑃 ∈ Even )
10	9	pm2.21d 121	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Odd → (𝑃 ∈ Even → 𝑃 = 2))
11	7, 8, 10	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑃 = 2 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∈ Even → 𝑃 = 2))
12	11	ex 416	. . 3 ⊢ (¬ 𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ Even → 𝑃 = 2)))
13	1, 12	pm2.61i 183	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ Even → 𝑃 = 2))
14		2evenALTV 48278	. . 3 ⊢ 2 ∈ Even
15		eleq1 2849	. . 3 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ Even ↔ 2 ∈ Even ))
16	14, 15	mpbiri 260	. 2 ⊢ (𝑃 = 2 → 𝑃 ∈ Even )
17	13, 16	impbid1 227	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ Even ↔ 𝑃 = 2))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ∖ cdif 3901  {csn 4581  2c2 12269  ℙcprime 16688   Even ceven 48210   Odd codd 48211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-sup 9385  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-rp 12991  df-seq 14012  df-exp 14072  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-dvds 16270  df-prm 16689  df-even 48212  df-odd 48213

This theorem is referenced by:  oddprmne2  48301  sbgoldbaltlem1  48365