Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evenprm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evenprm2 45122
Description: A prime number is even iff it is 2. (Contributed by AV, 21-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
evenprm2 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ Even ↔ 𝑃 = 2))

Proof of Theorem evenprm2
StepHypRef Expression
1 2a1 28 . . 3 (𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ Even → 𝑃 = 2)))
2 df-ne 2944 . . . . . . . . 9 (𝑃 ≠ 2 ↔ ¬ 𝑃 = 2)
32biimpri 227 . . . . . . . 8 𝑃 = 2 → 𝑃 ≠ 2)
43anim2i 617 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
54ancoms 459 . . . . . 6 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
6 eldifsn 4721 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
75, 6sylibr 233 . . . . 5 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
8 oddprmALTV 45095 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ Odd )
9 oddneven 45052 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Odd → ¬ 𝑃 ∈ Even )
109pm2.21d 121 . . . . 5 (𝑃 ∈ Odd → (𝑃 ∈ Even → 𝑃 = 2))
117, 8, 103syl 18 . . . 4 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∈ Even → 𝑃 = 2))
1211ex 413 . . 3 𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ Even → 𝑃 = 2)))
131, 12pm2.61i 182 . 2 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ Even → 𝑃 = 2))
14 2evenALTV 45100 . . 3 2 ∈ Even
15 eleq1 2826 . . 3 (𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ Even ↔ 2 ∈ Even ))
1614, 15mpbiri 257 . 2 (𝑃 = 2 → 𝑃 ∈ Even )
1713, 16impbid1 224 1 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ Even ↔ 𝑃 = 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  cdif 3884  {csn 4562  2c2 12016  cprime 16364   Even ceven 45032   Odd codd 45033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936  ax-pre-sup 10937
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7704  df-2nd 7822  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-1o 8285  df-2o 8286  df-er 8486  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-fin 8725  df-sup 9189  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-div 11621  df-nn 11962  df-2 12024  df-3 12025  df-n0 12222  df-z 12308  df-uz 12571  df-rp 12719  df-seq 13710  df-exp 13771  df-cj 14798  df-re 14799  df-im 14800  df-sqrt 14934  df-abs 14935  df-dvds 15952  df-prm 16365  df-even 45034  df-odd 45035
This theorem is referenced by:  oddprmne2  45123  sbgoldbaltlem1  45187
  Copyright terms: Public domain W3C validator