Theorem evenprm2 46927

Description: A prime number is even iff it is 2. (Contributed by AV, 21-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
evenprm2	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ Even ↔ 𝑃 = 2))

Proof of Theorem evenprm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2a1 28	. . 3 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ Even → 𝑃 = 2)))
2		df-ne 2933	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ≠ 2 ↔ ¬ 𝑃 = 2)
3	2	biimpri 227	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑃 = 2 → 𝑃 ≠ 2)
4	3	anim2i 616	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
5	4	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑃 = 2 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
6		eldifsn 4783	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
7	5, 6	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑃 = 2 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
8		oddprmALTV 46900	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ Odd )
9		oddneven 46857	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Odd → ¬ 𝑃 ∈ Even )
10	9	pm2.21d 121	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Odd → (𝑃 ∈ Even → 𝑃 = 2))
11	7, 8, 10	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑃 = 2 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∈ Even → 𝑃 = 2))
12	11	ex 412	. . 3 ⊢ (¬ 𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ Even → 𝑃 = 2)))
13	1, 12	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ Even → 𝑃 = 2))
14		2evenALTV 46905	. . 3 ⊢ 2 ∈ Even
15		eleq1 2813	. . 3 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ Even ↔ 2 ∈ Even ))
16	14, 15	mpbiri 258	. 2 ⊢ (𝑃 = 2 → 𝑃 ∈ Even )
17	13, 16	impbid1 224	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ Even ↔ 𝑃 = 2))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932   ∖ cdif 3938  {csn 4621  2c2 12266  ℙcprime 16611   Even ceven 46837   Odd codd 46838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12976  df-seq 13968  df-exp 14029  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-dvds 16201  df-prm 16612  df-even 46839  df-odd 46840

This theorem is referenced by:  oddprmne2  46928  sbgoldbaltlem1  46992