Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evenprm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evenprm2 45996
Description: A prime number is even iff it is 2. (Contributed by AV, 21-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
evenprm2 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ Even ↔ 𝑃 = 2))

Proof of Theorem evenprm2
StepHypRef Expression
1 2a1 28 . . 3 (𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ Even → 𝑃 = 2)))
2 df-ne 2941 . . . . . . . . 9 (𝑃 ≠ 2 ↔ ¬ 𝑃 = 2)
32biimpri 227 . . . . . . . 8 𝑃 = 2 → 𝑃 ≠ 2)
43anim2i 618 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 = 2) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
54ancoms 460 . . . . . 6 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
6 eldifsn 4751 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
75, 6sylibr 233 . . . . 5 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
8 oddprmALTV 45969 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ Odd )
9 oddneven 45926 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Odd → ¬ 𝑃 ∈ Even )
109pm2.21d 121 . . . . 5 (𝑃 ∈ Odd → (𝑃 ∈ Even → 𝑃 = 2))
117, 8, 103syl 18 . . . 4 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∈ Even → 𝑃 = 2))
1211ex 414 . . 3 𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ Even → 𝑃 = 2)))
131, 12pm2.61i 182 . 2 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ Even → 𝑃 = 2))
14 2evenALTV 45974 . . 3 2 ∈ Even
15 eleq1 2822 . . 3 (𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ Even ↔ 2 ∈ Even ))
1614, 15mpbiri 258 . 2 (𝑃 = 2 → 𝑃 ∈ Even )
1713, 16impbid1 224 1 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ Even ↔ 𝑃 = 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  cdif 3911  {csn 4590  2c2 12216  cprime 16555   Even ceven 45906   Odd codd 45907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-dvds 16145  df-prm 16556  df-even 45908  df-odd 45909
This theorem is referenced by:  oddprmne2  45997  sbgoldbaltlem1  46061
  Copyright terms: Public domain W3C validator