Theorem odubasOLD 18281

Description: Obsolete proof of odubas 18280 as of 12-Nov-2024. Base set of an order dual structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
oduval.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
odubas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
odubasOLD	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)

Proof of Theorem odubasOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baseid 17180	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
2		1re 11242	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		1lt10 12844	. . . . 5 ⊢ 1 < ;10
4	2, 3	ltneii 11355	. . . 4 ⊢ 1 ≠ ;10
5		basendx 17186	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = 1
6		plendx 17344	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
7	5, 6	neeq12i 2997	. . . 4 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (le‘ndx) ↔ 1 ≠ ;10)
8	4, 7	mpbir 230	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (le‘ndx)
9	1, 8	setsnid 17175	. 2 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘(𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), ◡(le‘𝑂)⟩))
10		odubas.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)
11		oduval.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
12		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
13	11, 12	oduval 18277	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), ◡(le‘𝑂)⟩)
14	13	fveq2i 6893	. 2 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘(𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), ◡(le‘𝑂)⟩))
15	9, 10, 14	3eqtr4i 2763	1 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)

Syntax hints:   = wceq 1533   ≠ wne 2930  ⟨cop 4628  ^◡ccnv 5669  ‘cfv 6541  (class class class)co 7414  0cc0 11136  1c1 11137  ;cdc 12705   sSet csts 17129  ndxcnx 17159  Basecbs 17177  lecple 17237  ODualcodu 18275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-dec 12706  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ple 17250  df-odu 18276

This theorem is referenced by: (None)