Theorem odubasOLD 18059

Description: Obsolete proof of odubas 18058 as of 12-Nov-2024. Base set of an order dual structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
oduval.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
odubas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
odubasOLD	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)

Proof of Theorem odubasOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baseid 16964	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
2		1re 11025	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		1lt10 12626	. . . . 5 ⊢ 1 < ;10
4	2, 3	ltneii 11138	. . . 4 ⊢ 1 ≠ ;10
5		basendx 16970	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = 1
6		plendx 17125	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
7	5, 6	neeq12i 3008	. . . 4 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (le‘ndx) ↔ 1 ≠ ;10)
8	4, 7	mpbir 230	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (le‘ndx)
9	1, 8	setsnid 16959	. 2 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘(𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), ◡(le‘𝑂)⟩))
10		odubas.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)
11		oduval.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
12		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
13	11, 12	oduval 18055	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), ◡(le‘𝑂)⟩)
14	13	fveq2i 6807	. 2 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘(𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), ◡(le‘𝑂)⟩))
15	9, 10, 14	3eqtr4i 2774	1 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)

Syntax hints:   = wceq 1539   ≠ wne 2941  ⟨cop 4571  ^◡ccnv 5599  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  0cc0 10921  1c1 10922  ;cdc 12487   sSet csts 16913  ndxcnx 16943  Basecbs 16961  lecple 17018  ODualcodu 18053

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-nn 12024  df-2 12086  df-3 12087  df-4 12088  df-5 12089  df-6 12090  df-7 12091  df-8 12092  df-9 12093  df-dec 12488  df-sets 16914  df-slot 16932  df-ndx 16944  df-base 16962  df-ple 17031  df-odu 18054

This theorem is referenced by: (None)