Theorem ovolsscl 25715

Description: If a set is contained in another of bounded measure, it too is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ovolsscl	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem ovolsscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstr 3939	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
2	1	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		simp3 1156	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)
4		ovolss 25714	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (vol*‘𝐴) ≤ (vol*‘𝐵))
5	4	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol*‘𝐴) ≤ (vol*‘𝐵))
6		ovollecl 25712	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ≤ (vol*‘𝐵)) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
7	2, 3, 5, 6	syl3anc 1398	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  ℝcr 11124   ≤ cle 11269  vol*covol 25691

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9413  df-inf 9414  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-rp 13044  df-ico 13405  df-fz 13563  df-seq 14067  df-exp 14127  df-cj 15187  df-re 15188  df-im 15189  df-sqrt 15323  df-abs 15324  df-ovol 25693

This theorem is used by:  ismbl2  25756  cmmbl  25763  nulmbl  25764  nulmbl2  25765  unmbl  25766  volinun  25775  voliunlem1  25779  voliunlem2  25780  volsup  25785  ioombl1lem4  25790  ioombl1  25791  ovolioo  25797  uniioombllem2  25812  uniioombllem3  25814  uniioombllem4  25815  uniioombllem5  25816  uniioombllem6  25817  uniioombl  25818  volcn  25835  vitalilem4  25840  i1fima2  25908  i1fadd  25924  i1fmul  25925  itg1addlem2  25926  i1fres  25934  itg1climres  25943  mbfi1fseqlem4  25947  ftc1lem4  26267  mblfinlem3  38409  mblfinlem4  38410  ismblfin  38411  itg2addnclem2  38422  ftc1cnnclem  38441  ismbl3  46815