Theorem ovolsscl 25420

Description: If a set is contained in another of bounded measure, it too is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ovolsscl	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem ovolsscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstr 3952	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
2	1	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		simp3 1138	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)
4		ovolss 25419	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (vol*‘𝐴) ≤ (vol*‘𝐵))
5	4	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol*‘𝐴) ≤ (vol*‘𝐵))
6		ovollecl 25417	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ≤ (vol*‘𝐵)) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
7	2, 3, 5, 6	syl3anc 1373	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  ℝcr 11043   ≤ cle 11185  vol*covol 25396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-ico 13288  df-fz 13445  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-ovol 25398

This theorem is referenced by:  ismbl2  25461  cmmbl  25468  nulmbl  25469  nulmbl2  25470  unmbl  25471  volinun  25480  voliunlem1  25484  voliunlem2  25485  volsup  25490  ioombl1lem4  25495  ioombl1  25496  ovolioo  25502  uniioombllem2  25517  uniioombllem3  25519  uniioombllem4  25520  uniioombllem5  25521  uniioombllem6  25522  uniioombl  25523  volcn  25540  vitalilem4  25545  i1fima2  25613  i1fadd  25629  i1fmul  25630  itg1addlem2  25631  i1fres  25639  itg1climres  25648  mbfi1fseqlem4  25652  ftc1lem4  25979  mblfinlem3  37646  mblfinlem4  37647  ismblfin  37648  itg2addnclem2  37659  ftc1cnnclem  37678  ismbl3  45977