Theorem nulmbl 25886

Description: A nullset is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nulmbl	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ dom vol)

Proof of Theorem nulmbl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		elpwi 4567	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑥 ⊆ ℝ)
3		inss2 4137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐴
4		ovolssnul 25838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) → (vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) = 0)
5	3, 4	mp3an1 1478	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) → (vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) = 0)
6	5	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) = 0)
7	6	oveq1d 7458	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ)) → ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴))) = (0 + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴))))
8		difss 4075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑥
9		ovolsscl 25837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)) ∈ ℝ)
10	8, 9	mp3an1 1478	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)) ∈ ℝ)
11	10	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11364	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)) ∈ ℂ)
13	12	addlidd 11538	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ)) → (0 + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴))) = (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)))
14	7, 13	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ)) → ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴))) = (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)))
15		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ)) → 𝑥 ⊆ ℝ)
16		ovolss 25836	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ℝ) → (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)) ≤ (vol*‘𝑥))
17	8, 15, 16	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)) ≤ (vol*‘𝑥))
18	14, 17	eqbrtrd 5130	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ)) → ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴))) ≤ (vol*‘𝑥))
19	18	expr 462	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ⊆ ℝ) → ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴))) ≤ (vol*‘𝑥)))
20	2, 19	sylan2 605	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ℝ) → ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴))) ≤ (vol*‘𝑥)))
21	20	ralrimiva 3158	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴))) ≤ (vol*‘𝑥)))
22		ismbl2 25878	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴))) ≤ (vol*‘𝑥))))
23	1, 21, 22	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ dom vol)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048   ∩ cin 4092  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5106  dom cdm 5655  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℝcr 11226  0cc0 11227   + caddc 11230   ≤ cle 11371  vol*covol 25813  volcvol 25814

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-map 8877  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-sup 9461  df-inf 9462  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-ioo 13507  df-ico 13509  df-icc 13510  df-fz 13667  df-fl 13959  df-seq 14172  df-exp 14232  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-ovol 25815  df-vol 25816

This theorem is used by:  0mbl  25890  icombl1  25914  ioombl  25916  ovolioo  25919  uniiccmbl  25941  volivth  25958  mbfeqalem1  25992  itg10a  26061  itg2uba  26094  itgss3  26165  cntnevol  34931  voliunnfl  38774  volsupnfl  38775  cnambfre  38778  snmbl  47178