Theorem nulmbl 25861

Description: A nullset is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nulmbl	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ dom vol)

Proof of Theorem nulmbl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		elpwi 4563	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑥 ⊆ ℝ)
3		inss2 4134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐴
4		ovolssnul 25813	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) → (vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) = 0)
5	3, 4	mp3an1 1477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) → (vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) = 0)
6	5	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) = 0)
7	6	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ)) → ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴))) = (0 + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴))))
8		difss 4072	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑥
9		ovolsscl 25812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)) ∈ ℝ)
10	8, 9	mp3an1 1477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)) ∈ ℝ)
11	10	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11340	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)) ∈ ℂ)
13	12	addlidd 11514	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ)) → (0 + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴))) = (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)))
14	7, 13	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ)) → ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴))) = (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)))
15		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ)) → 𝑥 ⊆ ℝ)
16		ovolss 25811	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ℝ) → (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)) ≤ (vol*‘𝑥))
17	8, 15, 16	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)) ≤ (vol*‘𝑥))
18	14, 17	eqbrtrd 5126	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) ∧ (𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ)) → ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴))) ≤ (vol*‘𝑥))
19	18	expr 462	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ⊆ ℝ) → ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴))) ≤ (vol*‘𝑥)))
20	2, 19	sylan2 605	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ℝ) → ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴))) ≤ (vol*‘𝑥)))
21	20	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴))) ≤ (vol*‘𝑥)))
22		ismbl2 25853	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴))) ≤ (vol*‘𝑥))))
23	1, 21, 22	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ dom vol)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045   ∩ cin 4089  𝒫 cpw 4556   class class class wbr 5102  dom cdm 5650  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11202  0cc0 11203   + caddc 11206   ≤ cle 11347  vol*covol 25788  volcvol 25789

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-q 13079  df-rp 13124  df-ioo 13483  df-ico 13485  df-icc 13486  df-fz 13643  df-fl 13935  df-seq 14148  df-exp 14208  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-ovol 25790  df-vol 25791

This theorem is used by:  0mbl  25865  icombl1  25889  ioombl  25891  ovolioo  25894  uniiccmbl  25916  volivth  25933  mbfeqalem1  25967  itg10a  26036  itg2uba  26069  itgss3  26140  cntnevol  34907  voliunnfl  38675  volsupnfl  38676  cnambfre  38679  snmbl  47066