MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolre 25034
Description: The measure of the real numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
ovolre (vol*‘ℝ) = +∞

Proof of Theorem ovolre
StepHypRef Expression
1 ssid 4004 . . . 4 ℝ ⊆ ℝ
2 ovolcl 24987 . . . 4 (ℝ ⊆ ℝ → (vol*‘ℝ) ∈ ℝ*)
31, 2ax-mp 5 . . 3 (vol*‘ℝ) ∈ ℝ*
4 pnfge 13107 . . 3 ((vol*‘ℝ) ∈ ℝ* → (vol*‘ℝ) ≤ +∞)
53, 4ax-mp 5 . 2 (vol*‘ℝ) ≤ +∞
6 0re 11213 . . . 4 0 ∈ ℝ
7 ovolicopnf 25033 . . . 4 (0 ∈ ℝ → (vol*‘(0[,)+∞)) = +∞)
86, 7ax-mp 5 . . 3 (vol*‘(0[,)+∞)) = +∞
9 rge0ssre 13430 . . . 4 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
10 ovolss 24994 . . . 4 (((0[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ) → (vol*‘(0[,)+∞)) ≤ (vol*‘ℝ))
119, 1, 10mp2an 691 . . 3 (vol*‘(0[,)+∞)) ≤ (vol*‘ℝ)
128, 11eqbrtrri 5171 . 2 +∞ ≤ (vol*‘ℝ)
13 pnfxr 11265 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
14 xrletri3 13130 . . 3 (((vol*‘ℝ) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((vol*‘ℝ) = +∞ ↔ ((vol*‘ℝ) ≤ +∞ ∧ +∞ ≤ (vol*‘ℝ))))
153, 13, 14mp2an 691 . 2 ((vol*‘ℝ) = +∞ ↔ ((vol*‘ℝ) ≤ +∞ ∧ +∞ ≤ (vol*‘ℝ)))
165, 12, 15mpbir2an 710 1 (vol*‘ℝ) = +∞
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wss 3948   class class class wbr 5148  cfv 6541  (class class class)co 7406  cr 11106  0cc0 11107  +∞cpnf 11242  *cxr 11244  cle 11246  [,)cico 13323  vol*covol 24971
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-sum 15630  df-rest 17365  df-topgen 17386  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-top 22388  df-topon 22405  df-bases 22441  df-cmp 22883  df-ovol 24973
This theorem is referenced by:  i1f0rn  25191  ovoliunnfl  36519  voliunnfl  36521  volsupnfl  36522
  Copyright terms: Public domain W3C validator