Theorem ovolre 24835

Description: The measure of the real numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ovolre	⊢ (vol*‘ℝ) = +∞

Proof of Theorem ovolre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3964	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℝ
2		ovolcl 24788	. . . 4 ⊢ (ℝ ⊆ ℝ → (vol*‘ℝ) ∈ ℝ*)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (vol*‘ℝ) ∈ ℝ*
4		pnfge 13005	. . 3 ⊢ ((vol*‘ℝ) ∈ ℝ* → (vol*‘ℝ) ≤ +∞)
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (vol*‘ℝ) ≤ +∞
6		0re 11115	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
7		ovolicopnf 24834	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → (vol*‘(0[,)+∞)) = +∞)
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (vol*‘(0[,)+∞)) = +∞
9		rge0ssre 13327	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
10		ovolss 24795	. . . 4 ⊢ (((0[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ) → (vol*‘(0[,)+∞)) ≤ (vol*‘ℝ))
11	9, 1, 10	mp2an 690	. . 3 ⊢ (vol*‘(0[,)+∞)) ≤ (vol*‘ℝ)
12	8, 11	eqbrtrri 5126	. 2 ⊢ +∞ ≤ (vol*‘ℝ)
13		pnfxr 11167	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
14		xrletri3 13027	. . 3 ⊢ (((vol*‘ℝ) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((vol*‘ℝ) = +∞ ↔ ((vol*‘ℝ) ≤ +∞ ∧ +∞ ≤ (vol*‘ℝ))))
15	3, 13, 14	mp2an 690	. 2 ⊢ ((vol*‘ℝ) = +∞ ↔ ((vol*‘ℝ) ≤ +∞ ∧ +∞ ≤ (vol*‘ℝ)))
16	5, 12, 15	mpbir2an 709	1 ⊢ (vol*‘ℝ) = +∞

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3908   class class class wbr 5103  ‘cfv 6493  (class class class)co 7351  ℝcr 11008  0cc0 11009  +∞cpnf 11144  ℝ^*cxr 11146   ≤ cle 11148  [,)cico 13220  vol*covol 24772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-inf2 9535  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-map 8725  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-fi 9305  df-sup 9336  df-inf 9337  df-oi 9404  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-q 12828  df-rp 12870  df-xneg 12987  df-xadd 12988  df-xmul 12989  df-ioo 13222  df-ico 13224  df-icc 13225  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-seq 13861  df-exp 13922  df-hash 14185  df-cj 14938  df-re 14939  df-im 14940  df-sqrt 15074  df-abs 15075  df-clim 15324  df-sum 15525  df-rest 17258  df-topgen 17279  df-psmet 20735  df-xmet 20736  df-met 20737  df-bl 20738  df-mopn 20739  df-top 22189  df-topon 22206  df-bases 22242  df-cmp 22684  df-ovol 24774

This theorem is referenced by:  i1f0rn  24992  ovoliunnfl  36052  voliunnfl  36054  volsupnfl  36055