Theorem ovolre 25807

Description: The measure of the real numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ovolre	⊢ (vol*‘ℝ) = +∞

Proof of Theorem ovolre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3952	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℝ
2		ovolcl 25760	. . . 4 ⊢ (ℝ ⊆ ℝ → (vol*‘ℝ) ∈ ℝ*)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (vol*‘ℝ) ∈ ℝ*
4		pnfge 13228	. . 3 ⊢ ((vol*‘ℝ) ∈ ℝ* → (vol*‘ℝ) ≤ +∞)
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (vol*‘ℝ) ≤ +∞
6		0re 11281	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
7		ovolicopnf 25806	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → (vol*‘(0[,)+∞)) = +∞)
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (vol*‘(0[,)+∞)) = +∞
9		rge0ssre 13556	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
10		ovolss 25767	. . . 4 ⊢ (((0[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ) → (vol*‘(0[,)+∞)) ≤ (vol*‘ℝ))
11	9, 1, 10	mp2an 705	. . 3 ⊢ (vol*‘(0[,)+∞)) ≤ (vol*‘ℝ)
12	8, 11	eqbrtrri 5127	. 2 ⊢ +∞ ≤ (vol*‘ℝ)
13		pnfxr 11334	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
14		xrletri3 13252	. . 3 ⊢ (((vol*‘ℝ) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((vol*‘ℝ) = +∞ ↔ ((vol*‘ℝ) ≤ +∞ ∧ +∞ ≤ (vol*‘ℝ))))
15	3, 13, 14	mp2an 705	. 2 ⊢ ((vol*‘ℝ) = +∞ ↔ ((vol*‘ℝ) ≤ +∞ ∧ +∞ ≤ (vol*‘ℝ)))
16	5, 12, 15	mpbir2an 724	1 ⊢ (vol*‘ℝ) = +∞

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ℝcr 11170  0cc0 11171  +∞cpnf 11311  ℝ^*cxr 11313   ≤ cle 11315  [,)cico 13447  vol*covol 25744

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-inf2 9620  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-pre-sup 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-n0 12576  df-z 12663  df-uz 12935  df-q 13045  df-rp 13090  df-xneg 13210  df-xadd 13211  df-xmul 13212  df-ioo 13449  df-ico 13451  df-icc 13452  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-seq 14113  df-exp 14173  df-hash 14442  df-cj 15233  df-re 15234  df-im 15235  df-sqrt 15369  df-abs 15370  df-clim 15622  df-sum 15821  df-rest 17554  df-topgen 17575  df-psmet 21631  df-xmet 21632  df-met 21633  df-bl 21634  df-mopn 21635  df-top 23173  df-topon 23190  df-bases 23225  df-cmp 23666  df-ovol 25746

This theorem is used by:  i1f0rn  25964  ovoliunnfl  38500  voliunnfl  38502  volsupnfl  38503