Theorem dyadss 23802

Description: Two closed dyadic rational intervals are either in a subset relationship or are almost disjoint (the interiors are disjoint). (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
dyadmbl.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)

Assertion

Ref	Expression
dyadss	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) → 𝐷 ≤ 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem dyadss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 479	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)))
2		simpllr 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → 𝐵 ∈ ℤ)
3		simplrr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → 𝐷 ∈ ℕ0)
4		dyadmbl.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)
5	4	dyadval 23800	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐵𝐹𝐷) = ⟨(𝐵 / (2↑𝐷)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))⟩)
6	2, 3, 5	syl2anc 579	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → (𝐵𝐹𝐷) = ⟨(𝐵 / (2↑𝐷)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))⟩)
7	6	fveq2d 6452	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) = ([,]‘⟨(𝐵 / (2↑𝐷)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))⟩))
8		df-ov 6927	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 / (2↑𝐷))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) = ([,]‘⟨(𝐵 / (2↑𝐷)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))⟩)
9	7, 8	syl6eqr 2832	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) = ((𝐵 / (2↑𝐷))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))))
10	2	zred 11838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → 𝐵 ∈ ℝ)
11		2nn 11452	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
12		nnexpcl 13195	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (2↑𝐷) ∈ ℕ)
13	11, 3, 12	sylancr 581	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → (2↑𝐷) ∈ ℕ)
14	10, 13	nndivred 11433	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → (𝐵 / (2↑𝐷)) ∈ ℝ)
15		peano2re 10551	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
16	10, 15	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
17	16, 13	nndivred 11433	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ∈ ℝ)
18		iccssre 12571	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 / (2↑𝐷)) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ∈ ℝ) → ((𝐵 / (2↑𝐷))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) ⊆ ℝ)
19	14, 17, 18	syl2anc 579	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → ((𝐵 / (2↑𝐷))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) ⊆ ℝ)
20	9, 19	eqsstrd 3858	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ⊆ ℝ)
21		ovolss 23693	. . . . . 6 ⊢ ((([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ∧ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ⊆ ℝ) → (vol*‘([,]‘(𝐴𝐹𝐶))) ≤ (vol*‘([,]‘(𝐵𝐹𝐷))))
22	1, 20, 21	syl2anc 579	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → (vol*‘([,]‘(𝐴𝐹𝐶))) ≤ (vol*‘([,]‘(𝐵𝐹𝐷))))
23		simplll 765	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → 𝐴 ∈ ℤ)
24		simplrl 767	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → 𝐶 ∈ ℕ0)
25	4	dyadovol 23801	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (vol*‘([,]‘(𝐴𝐹𝐶))) = (1 / (2↑𝐶)))
26	23, 24, 25	syl2anc 579	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → (vol*‘([,]‘(𝐴𝐹𝐶))) = (1 / (2↑𝐶)))
27	4	dyadovol 23801	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (vol*‘([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) = (1 / (2↑𝐷)))
28	2, 3, 27	syl2anc 579	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → (vol*‘([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) = (1 / (2↑𝐷)))
29	22, 26, 28	3brtr3d 4919	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → (1 / (2↑𝐶)) ≤ (1 / (2↑𝐷)))
30		nnexpcl 13195	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (2↑𝐶) ∈ ℕ)
31	11, 24, 30	sylancr 581	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → (2↑𝐶) ∈ ℕ)
32		nnre 11386	. . . . . . 7 ⊢ ((2↑𝐷) ∈ ℕ → (2↑𝐷) ∈ ℝ)
33		nngt0 11411	. . . . . . 7 ⊢ ((2↑𝐷) ∈ ℕ → 0 < (2↑𝐷))
34	32, 33	jca 507	. . . . . 6 ⊢ ((2↑𝐷) ∈ ℕ → ((2↑𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐷)))
35		nnre 11386	. . . . . . 7 ⊢ ((2↑𝐶) ∈ ℕ → (2↑𝐶) ∈ ℝ)
36		nngt0 11411	. . . . . . 7 ⊢ ((2↑𝐶) ∈ ℕ → 0 < (2↑𝐶))
37	35, 36	jca 507	. . . . . 6 ⊢ ((2↑𝐶) ∈ ℕ → ((2↑𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐶)))
38		lerec 11262	. . . . . 6 ⊢ ((((2↑𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐷)) ∧ ((2↑𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐶))) → ((2↑𝐷) ≤ (2↑𝐶) ↔ (1 / (2↑𝐶)) ≤ (1 / (2↑𝐷))))
39	34, 37, 38	syl2an 589	. . . . 5 ⊢ (((2↑𝐷) ∈ ℕ ∧ (2↑𝐶) ∈ ℕ) → ((2↑𝐷) ≤ (2↑𝐶) ↔ (1 / (2↑𝐶)) ≤ (1 / (2↑𝐷))))
40	13, 31, 39	syl2anc 579	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → ((2↑𝐷) ≤ (2↑𝐶) ↔ (1 / (2↑𝐶)) ≤ (1 / (2↑𝐷))))
41	29, 40	mpbird 249	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → (2↑𝐷) ≤ (2↑𝐶))
42		2re 11453	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
43	42	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → 2 ∈ ℝ)
44	3	nn0zd 11836	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → 𝐷 ∈ ℤ)
45	24	nn0zd 11836	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → 𝐶 ∈ ℤ)
46		1lt2 11557	. . . . 5 ⊢ 1 < 2
47	46	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → 1 < 2)
48	43, 44, 45, 47	leexp2d 13364	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → (𝐷 ≤ 𝐶 ↔ (2↑𝐷) ≤ (2↑𝐶)))
49	41, 48	mpbird 249	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → 𝐷 ≤ 𝐶)
50	49	ex 403	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) → 𝐷 ≤ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3792  ⟨cop 4404   class class class wbr 4888  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924   ↦ cmpt2 6926  ℝcr 10273  0cc0 10274  1c1 10275   + caddc 10277   < clt 10413   ≤ cle 10414   / cdiv 11034  ℕcn 11378  2c2 11434  ℕ₀cn0 11646  ℤcz 11732  [,]cicc 12494  ↑cexp 13182  vol*covol 23670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fi 8607  df-sup 8638  df-inf 8639  df-oi 8706  df-card 9100  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-n0 11647  df-z 11733  df-uz 11997  df-q 12100  df-rp 12142  df-xneg 12261  df-xadd 12262  df-xmul 12263  df-ioo 12495  df-ico 12497  df-icc 12498  df-fz 12648  df-fzo 12789  df-seq 13124  df-exp 13183  df-hash 13440  df-cj 14250  df-re 14251  df-im 14252  df-sqrt 14386  df-abs 14387  df-clim 14631  df-sum 14829  df-rest 16473  df-topgen 16494  df-psmet 20138  df-xmet 20139  df-met 20140  df-bl 20141  df-mopn 20142  df-top 21110  df-topon 21127  df-bases 21162  df-cmp 21603  df-ovol 23672

This theorem is referenced by:  dyadmaxlem  23805