Proof of Theorem dyadss
| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | simpr 484 | . . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0
∧ 𝐷 ∈
ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) | 
| 2 |  | simpllr 776 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0
∧ 𝐷 ∈
ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → 𝐵 ∈ ℤ) | 
| 3 |  | simplrr 778 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0
∧ 𝐷 ∈
ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → 𝐷 ∈
ℕ0) | 
| 4 |  | dyadmbl.1 | . . . . . . . . . . 11
⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦
〈(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))〉) | 
| 5 | 4 | dyadval 25627 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)
→ (𝐵𝐹𝐷) = 〈(𝐵 / (2↑𝐷)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))〉) | 
| 6 | 2, 3, 5 | syl2anc 584 | . . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0
∧ 𝐷 ∈
ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → (𝐵𝐹𝐷) = 〈(𝐵 / (2↑𝐷)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))〉) | 
| 7 | 6 | fveq2d 6910 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0
∧ 𝐷 ∈
ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) = ([,]‘〈(𝐵 / (2↑𝐷)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))〉)) | 
| 8 |  | df-ov 7434 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐵 / (2↑𝐷))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) = ([,]‘〈(𝐵 / (2↑𝐷)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))〉) | 
| 9 | 7, 8 | eqtr4di 2795 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0
∧ 𝐷 ∈
ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) = ((𝐵 / (2↑𝐷))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)))) | 
| 10 | 2 | zred 12722 | . . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0
∧ 𝐷 ∈
ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → 𝐵 ∈ ℝ) | 
| 11 |  | 2nn 12339 | . . . . . . . . . 10
⊢ 2 ∈
ℕ | 
| 12 |  | nnexpcl 14115 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((2
∈ ℕ ∧ 𝐷
∈ ℕ0) → (2↑𝐷) ∈ ℕ) | 
| 13 | 11, 3, 12 | sylancr 587 | . . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0
∧ 𝐷 ∈
ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → (2↑𝐷) ∈ ℕ) | 
| 14 | 10, 13 | nndivred 12320 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0
∧ 𝐷 ∈
ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → (𝐵 / (2↑𝐷)) ∈ ℝ) | 
| 15 |  | peano2re 11434 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈
ℝ) | 
| 16 | 10, 15 | syl 17 | . . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0
∧ 𝐷 ∈
ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ) | 
| 17 | 16, 13 | nndivred 12320 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0
∧ 𝐷 ∈
ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ∈ ℝ) | 
| 18 |  | iccssre 13469 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐵 / (2↑𝐷)) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ∈ ℝ) → ((𝐵 / (2↑𝐷))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) ⊆ ℝ) | 
| 19 | 14, 17, 18 | syl2anc 584 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0
∧ 𝐷 ∈
ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → ((𝐵 / (2↑𝐷))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) ⊆ ℝ) | 
| 20 | 9, 19 | eqsstrd 4018 | . . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0
∧ 𝐷 ∈
ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ⊆ ℝ) | 
| 21 |  | ovolss 25520 | . . . . . 6
⊢
((([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ∧ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ⊆ ℝ) →
(vol*‘([,]‘(𝐴𝐹𝐶))) ≤ (vol*‘([,]‘(𝐵𝐹𝐷)))) | 
| 22 | 1, 20, 21 | syl2anc 584 | . . . . 5
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0
∧ 𝐷 ∈
ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → (vol*‘([,]‘(𝐴𝐹𝐶))) ≤ (vol*‘([,]‘(𝐵𝐹𝐷)))) | 
| 23 |  | simplll 775 | . . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0
∧ 𝐷 ∈
ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → 𝐴 ∈ ℤ) | 
| 24 |  | simplrl 777 | . . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0
∧ 𝐷 ∈
ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → 𝐶 ∈
ℕ0) | 
| 25 | 4 | dyadovol 25628 | . . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0)
→ (vol*‘([,]‘(𝐴𝐹𝐶))) = (1 / (2↑𝐶))) | 
| 26 | 23, 24, 25 | syl2anc 584 | . . . . 5
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0
∧ 𝐷 ∈
ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → (vol*‘([,]‘(𝐴𝐹𝐶))) = (1 / (2↑𝐶))) | 
| 27 | 4 | dyadovol 25628 | . . . . . 6
⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)
→ (vol*‘([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) = (1 / (2↑𝐷))) | 
| 28 | 2, 3, 27 | syl2anc 584 | . . . . 5
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0
∧ 𝐷 ∈
ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → (vol*‘([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) = (1 / (2↑𝐷))) | 
| 29 | 22, 26, 28 | 3brtr3d 5174 | . . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0
∧ 𝐷 ∈
ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → (1 / (2↑𝐶)) ≤ (1 / (2↑𝐷))) | 
| 30 |  | nnexpcl 14115 | . . . . . 6
⊢ ((2
∈ ℕ ∧ 𝐶
∈ ℕ0) → (2↑𝐶) ∈ ℕ) | 
| 31 | 11, 24, 30 | sylancr 587 | . . . . 5
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0
∧ 𝐷 ∈
ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → (2↑𝐶) ∈ ℕ) | 
| 32 |  | nnre 12273 | . . . . . . 7
⊢
((2↑𝐷) ∈
ℕ → (2↑𝐷)
∈ ℝ) | 
| 33 |  | nngt0 12297 | . . . . . . 7
⊢
((2↑𝐷) ∈
ℕ → 0 < (2↑𝐷)) | 
| 34 | 32, 33 | jca 511 | . . . . . 6
⊢
((2↑𝐷) ∈
ℕ → ((2↑𝐷)
∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐷))) | 
| 35 |  | nnre 12273 | . . . . . . 7
⊢
((2↑𝐶) ∈
ℕ → (2↑𝐶)
∈ ℝ) | 
| 36 |  | nngt0 12297 | . . . . . . 7
⊢
((2↑𝐶) ∈
ℕ → 0 < (2↑𝐶)) | 
| 37 | 35, 36 | jca 511 | . . . . . 6
⊢
((2↑𝐶) ∈
ℕ → ((2↑𝐶)
∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐶))) | 
| 38 |  | lerec 12151 | . . . . . 6
⊢
((((2↑𝐷) ∈
ℝ ∧ 0 < (2↑𝐷)) ∧ ((2↑𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐶))) → ((2↑𝐷) ≤ (2↑𝐶) ↔ (1 / (2↑𝐶)) ≤ (1 / (2↑𝐷)))) | 
| 39 | 34, 37, 38 | syl2an 596 | . . . . 5
⊢
(((2↑𝐷) ∈
ℕ ∧ (2↑𝐶)
∈ ℕ) → ((2↑𝐷) ≤ (2↑𝐶) ↔ (1 / (2↑𝐶)) ≤ (1 / (2↑𝐷)))) | 
| 40 | 13, 31, 39 | syl2anc 584 | . . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0
∧ 𝐷 ∈
ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → ((2↑𝐷) ≤ (2↑𝐶) ↔ (1 / (2↑𝐶)) ≤ (1 / (2↑𝐷)))) | 
| 41 | 29, 40 | mpbird 257 | . . 3
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0
∧ 𝐷 ∈
ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → (2↑𝐷) ≤ (2↑𝐶)) | 
| 42 |  | 2re 12340 | . . . . 5
⊢ 2 ∈
ℝ | 
| 43 | 42 | a1i 11 | . . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0
∧ 𝐷 ∈
ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → 2 ∈
ℝ) | 
| 44 | 3 | nn0zd 12639 | . . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0
∧ 𝐷 ∈
ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → 𝐷 ∈ ℤ) | 
| 45 | 24 | nn0zd 12639 | . . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0
∧ 𝐷 ∈
ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → 𝐶 ∈ ℤ) | 
| 46 |  | 1lt2 12437 | . . . . 5
⊢ 1 <
2 | 
| 47 | 46 | a1i 11 | . . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0
∧ 𝐷 ∈
ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → 1 < 2) | 
| 48 | 43, 44, 45, 47 | leexp2d 14291 | . . 3
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0
∧ 𝐷 ∈
ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → (𝐷 ≤ 𝐶 ↔ (2↑𝐷) ≤ (2↑𝐶))) | 
| 49 | 41, 48 | mpbird 257 | . 2
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0
∧ 𝐷 ∈
ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → 𝐷 ≤ 𝐶) | 
| 50 | 49 | ex 412 | 1
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0
∧ 𝐷 ∈
ℕ0)) → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) → 𝐷 ≤ 𝐶)) |