MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dyadss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dyadss 25345
Description: Two closed dyadic rational intervals are either in a subset relationship or are almost disjoint (the interiors are disjoint). (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
dyadmbl.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)
Assertion
Ref Expression
dyadss (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) → 𝐷𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem dyadss
StepHypRef Expression
1 simpr 483 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)))
2 simpllr 772 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → 𝐵 ∈ ℤ)
3 simplrr 774 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → 𝐷 ∈ ℕ0)
4 dyadmbl.1 . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)
54dyadval 25343 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐵𝐹𝐷) = ⟨(𝐵 / (2↑𝐷)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))⟩)
62, 3, 5syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → (𝐵𝐹𝐷) = ⟨(𝐵 / (2↑𝐷)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))⟩)
76fveq2d 6896 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) = ([,]‘⟨(𝐵 / (2↑𝐷)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))⟩))
8 df-ov 7416 . . . . . . . 8 ((𝐵 / (2↑𝐷))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) = ([,]‘⟨(𝐵 / (2↑𝐷)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))⟩)
97, 8eqtr4di 2788 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) = ((𝐵 / (2↑𝐷))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))))
102zred 12672 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → 𝐵 ∈ ℝ)
11 2nn 12291 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ
12 nnexpcl 14046 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (2↑𝐷) ∈ ℕ)
1311, 3, 12sylancr 585 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → (2↑𝐷) ∈ ℕ)
1410, 13nndivred 12272 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → (𝐵 / (2↑𝐷)) ∈ ℝ)
15 peano2re 11393 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
1610, 15syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
1716, 13nndivred 12272 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ∈ ℝ)
18 iccssre 13412 . . . . . . . 8 (((𝐵 / (2↑𝐷)) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ∈ ℝ) → ((𝐵 / (2↑𝐷))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) ⊆ ℝ)
1914, 17, 18syl2anc 582 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → ((𝐵 / (2↑𝐷))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) ⊆ ℝ)
209, 19eqsstrd 4021 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ⊆ ℝ)
21 ovolss 25236 . . . . . 6 ((([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ∧ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ⊆ ℝ) → (vol*‘([,]‘(𝐴𝐹𝐶))) ≤ (vol*‘([,]‘(𝐵𝐹𝐷))))
221, 20, 21syl2anc 582 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → (vol*‘([,]‘(𝐴𝐹𝐶))) ≤ (vol*‘([,]‘(𝐵𝐹𝐷))))
23 simplll 771 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → 𝐴 ∈ ℤ)
24 simplrl 773 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → 𝐶 ∈ ℕ0)
254dyadovol 25344 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (vol*‘([,]‘(𝐴𝐹𝐶))) = (1 / (2↑𝐶)))
2623, 24, 25syl2anc 582 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → (vol*‘([,]‘(𝐴𝐹𝐶))) = (1 / (2↑𝐶)))
274dyadovol 25344 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (vol*‘([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) = (1 / (2↑𝐷)))
282, 3, 27syl2anc 582 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → (vol*‘([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) = (1 / (2↑𝐷)))
2922, 26, 283brtr3d 5180 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → (1 / (2↑𝐶)) ≤ (1 / (2↑𝐷)))
30 nnexpcl 14046 . . . . . 6 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (2↑𝐶) ∈ ℕ)
3111, 24, 30sylancr 585 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → (2↑𝐶) ∈ ℕ)
32 nnre 12225 . . . . . . 7 ((2↑𝐷) ∈ ℕ → (2↑𝐷) ∈ ℝ)
33 nngt0 12249 . . . . . . 7 ((2↑𝐷) ∈ ℕ → 0 < (2↑𝐷))
3432, 33jca 510 . . . . . 6 ((2↑𝐷) ∈ ℕ → ((2↑𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐷)))
35 nnre 12225 . . . . . . 7 ((2↑𝐶) ∈ ℕ → (2↑𝐶) ∈ ℝ)
36 nngt0 12249 . . . . . . 7 ((2↑𝐶) ∈ ℕ → 0 < (2↑𝐶))
3735, 36jca 510 . . . . . 6 ((2↑𝐶) ∈ ℕ → ((2↑𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐶)))
38 lerec 12103 . . . . . 6 ((((2↑𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐷)) ∧ ((2↑𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐶))) → ((2↑𝐷) ≤ (2↑𝐶) ↔ (1 / (2↑𝐶)) ≤ (1 / (2↑𝐷))))
3934, 37, 38syl2an 594 . . . . 5 (((2↑𝐷) ∈ ℕ ∧ (2↑𝐶) ∈ ℕ) → ((2↑𝐷) ≤ (2↑𝐶) ↔ (1 / (2↑𝐶)) ≤ (1 / (2↑𝐷))))
4013, 31, 39syl2anc 582 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → ((2↑𝐷) ≤ (2↑𝐶) ↔ (1 / (2↑𝐶)) ≤ (1 / (2↑𝐷))))
4129, 40mpbird 256 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → (2↑𝐷) ≤ (2↑𝐶))
42 2re 12292 . . . . 5 2 ∈ ℝ
4342a1i 11 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → 2 ∈ ℝ)
443nn0zd 12590 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → 𝐷 ∈ ℤ)
4524nn0zd 12590 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → 𝐶 ∈ ℤ)
46 1lt2 12389 . . . . 5 1 < 2
4746a1i 11 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → 1 < 2)
4843, 44, 45, 47leexp2d 14221 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → (𝐷𝐶 ↔ (2↑𝐷) ≤ (2↑𝐶)))
4941, 48mpbird 256 . 2 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷))) → 𝐷𝐶)
5049ex 411 1 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) → 𝐷𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1539  wcel 2104  wss 3949  cop 4635   class class class wbr 5149  cfv 6544  (class class class)co 7413  cmpo 7415  cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   < clt 11254  cle 11255   / cdiv 11877  cn 12218  2c2 12273  0cn0 12478  cz 12564  [,]cicc 13333  cexp 14033  vol*covol 25213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-q 12939  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14034  df-hash 14297  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-rest 17374  df-topgen 17395  df-psmet 21138  df-xmet 21139  df-met 21140  df-bl 21141  df-mopn 21142  df-top 22618  df-topon 22635  df-bases 22671  df-cmp 23113  df-ovol 25215
This theorem is referenced by:  dyadmaxlem  25348
  Copyright terms: Public domain W3C validator