MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolssnul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolssnul 24239
Description: A subset of a nullset is null. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
ovolssnul ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) = 0) → (vol*‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem ovolssnul
StepHypRef Expression
1 ovolss 24237 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ) → (vol*‘𝐴) ≤ (vol*‘𝐵))
213adant3 1133 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) = 0) → (vol*‘𝐴) ≤ (vol*‘𝐵))
3 simp3 1139 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) = 0) → (vol*‘𝐵) = 0)
42, 3breqtrd 5056 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) = 0) → (vol*‘𝐴) ≤ 0)
5 sstr 3885 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
653adant3 1133 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) = 0) → 𝐴 ⊆ ℝ)
7 ovolge0 24233 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘𝐴))
86, 7syl 17 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) = 0) → 0 ≤ (vol*‘𝐴))
9 ovolcl 24230 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ*)
106, 9syl 17 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) = 0) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ*)
11 0xr 10766 . . 3 0 ∈ ℝ*
12 xrletri3 12630 . . 3 (((vol*‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((vol*‘𝐴) = 0 ↔ ((vol*‘𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (vol*‘𝐴))))
1310, 11, 12sylancl 589 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) = 0) → ((vol*‘𝐴) = 0 ↔ ((vol*‘𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (vol*‘𝐴))))
144, 8, 13mpbir2and 713 1 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) = 0) → (vol*‘𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wss 3843   class class class wbr 5030  cfv 6339  cr 10614  0cc0 10615  *cxr 10752  cle 10754  vol*covol 24214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-sup 8979  df-inf 8980  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-rp 12473  df-ico 12827  df-fz 12982  df-seq 13461  df-exp 13522  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-ovol 24216
This theorem is referenced by:  ovolctb2  24244  ovoliunnul  24259  nulmbl  24287  volivth  24359  mbfeqalem1  24393  itg10a  24463  itg1ge0a  24464  itgioo  24568  itgsplitioo  24590  voliunnfl  35444  cnambfre  35448  itgvol0  43051  ibliooicc  43054
  Copyright terms: Public domain W3C validator