MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolssnul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolssnul 25429
Description: A subset of a nullset is null. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
ovolssnul ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) = 0) → (vol*‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem ovolssnul
StepHypRef Expression
1 ovolss 25427 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ) → (vol*‘𝐴) ≤ (vol*‘𝐵))
213adant3 1130 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) = 0) → (vol*‘𝐴) ≤ (vol*‘𝐵))
3 simp3 1136 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) = 0) → (vol*‘𝐵) = 0)
42, 3breqtrd 5174 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) = 0) → (vol*‘𝐴) ≤ 0)
5 sstr 3988 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
653adant3 1130 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) = 0) → 𝐴 ⊆ ℝ)
7 ovolge0 25423 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘𝐴))
86, 7syl 17 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) = 0) → 0 ≤ (vol*‘𝐴))
9 ovolcl 25420 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ*)
106, 9syl 17 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) = 0) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ*)
11 0xr 11292 . . 3 0 ∈ ℝ*
12 xrletri3 13166 . . 3 (((vol*‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((vol*‘𝐴) = 0 ↔ ((vol*‘𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (vol*‘𝐴))))
1310, 11, 12sylancl 585 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) = 0) → ((vol*‘𝐴) = 0 ↔ ((vol*‘𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (vol*‘𝐴))))
144, 8, 13mpbir2and 712 1 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) = 0) → (vol*‘𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wss 3947   class class class wbr 5148  cfv 6548  cr 11138  0cc0 11139  *cxr 11278  cle 11280  vol*covol 25404
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-ico 13363  df-fz 13518  df-seq 14000  df-exp 14060  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-ovol 25406
This theorem is referenced by:  ovolctb2  25434  ovoliunnul  25449  nulmbl  25477  volivth  25549  mbfeqalem1  25583  itg10a  25653  itg1ge0a  25654  itgioo  25758  itgsplitioo  25780  voliunnfl  37137  cnambfre  37141  itgvol0  45356  ibliooicc  45359
  Copyright terms: Public domain W3C validator