Theorem cosatan 26899

Description: The cosine of an arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cosatan	⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (cos‘(arctan‘𝐴)) = (1 / (√‘(1 + (𝐴↑2)))))

Proof of Theorem cosatan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atancl 26859	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘𝐴) ∈ ℂ)
2		cosval 16060	. . 3 ⊢ ((arctan‘𝐴) ∈ ℂ → (cos‘(arctan‘𝐴)) = (((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) + (exp‘(-i · (arctan‘𝐴)))) / 2))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (cos‘(arctan‘𝐴)) = (((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) + (exp‘(-i · (arctan‘𝐴)))) / 2))
4		efiatan2 26895	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(i · (arctan‘𝐴))) = ((1 + (i · 𝐴)) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))))
5		ax-icn 11097	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
6		mulneg12 11587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (arctan‘𝐴) ∈ ℂ) → (-i · (arctan‘𝐴)) = (i · -(arctan‘𝐴)))
7	5, 1, 6	sylancr 588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (-i · (arctan‘𝐴)) = (i · -(arctan‘𝐴)))
8		atanneg 26885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘-𝐴) = -(arctan‘𝐴))
9	8	oveq2d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · (arctan‘-𝐴)) = (i · -(arctan‘𝐴)))
10	7, 9	eqtr4d 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (-i · (arctan‘𝐴)) = (i · (arctan‘-𝐴)))
11	10	fveq2d 6846	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(-i · (arctan‘𝐴))) = (exp‘(i · (arctan‘-𝐴))))
12		atandmneg 26884	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → -𝐴 ∈ dom arctan)
13		efiatan2 26895	. . . . . . 7 ⊢ (-𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(i · (arctan‘-𝐴))) = ((1 + (i · -𝐴)) / (√‘(1 + (-𝐴↑2)))))
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(i · (arctan‘-𝐴))) = ((1 + (i · -𝐴)) / (√‘(1 + (-𝐴↑2)))))
15		atandm4 26857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ≠ 0))
16	15	simplbi 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ∈ ℂ)
17		mulneg2 11586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
18	5, 16, 17	sylancr 588	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
19	18	oveq2d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · -𝐴)) = (1 + -(i · 𝐴)))
20		ax-1cn 11096	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
21		mulcl 11122	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
22	5, 16, 21	sylancr 588	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
23		negsub 11441	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + -(i · 𝐴)) = (1 − (i · 𝐴)))
24	20, 22, 23	sylancr 588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + -(i · 𝐴)) = (1 − (i · 𝐴)))
25	19, 24	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · -𝐴)) = (1 − (i · 𝐴)))
26		sqneg 14050	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴↑2) = (𝐴↑2))
27	16, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (-𝐴↑2) = (𝐴↑2))
28	27	oveq2d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (-𝐴↑2)) = (1 + (𝐴↑2)))
29	28	fveq2d 6846	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (√‘(1 + (-𝐴↑2))) = (√‘(1 + (𝐴↑2))))
30	25, 29	oveq12d 7386	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 + (i · -𝐴)) / (√‘(1 + (-𝐴↑2)))) = ((1 − (i · 𝐴)) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))))
31	11, 14, 30	3eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(-i · (arctan‘𝐴))) = ((1 − (i · 𝐴)) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))))
32	4, 31	oveq12d 7386	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) + (exp‘(-i · (arctan‘𝐴)))) = (((1 + (i · 𝐴)) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))) + ((1 − (i · 𝐴)) / (√‘(1 + (𝐴↑2))))))
33		addcl 11120	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
34	20, 22, 33	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
35		subcl 11391	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
36	20, 22, 35	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
37	16	sqcld 14079	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
38		addcl 11120	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
39	20, 37, 38	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
40	39	sqrtcld 15375	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (√‘(1 + (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
41	39	sqsqrtd 15377	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((√‘(1 + (𝐴↑2)))↑2) = (1 + (𝐴↑2)))
42	15	simprbi 497	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (𝐴↑2)) ≠ 0)
43	41, 42	eqnetrd 3000	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((√‘(1 + (𝐴↑2)))↑2) ≠ 0)
44		sqne0 14058	. . . . . . 7 ⊢ ((√‘(1 + (𝐴↑2))) ∈ ℂ → (((√‘(1 + (𝐴↑2)))↑2) ≠ 0 ↔ (√‘(1 + (𝐴↑2))) ≠ 0))
45	40, 44	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((√‘(1 + (𝐴↑2)))↑2) ≠ 0 ↔ (√‘(1 + (𝐴↑2))) ≠ 0))
46	43, 45	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (√‘(1 + (𝐴↑2))) ≠ 0)
47	34, 36, 40, 46	divdird 11967	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((1 + (i · 𝐴)) + (1 − (i · 𝐴))) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))) = (((1 + (i · 𝐴)) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))) + ((1 − (i · 𝐴)) / (√‘(1 + (𝐴↑2))))))
48	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 1 ∈ ℂ)
49	48, 22, 48	ppncand 11544	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 + (i · 𝐴)) + (1 − (i · 𝐴))) = (1 + 1))
50		df-2 12220	. . . . . 6 ⊢ 2 = (1 + 1)
51	49, 50	eqtr4di 2790	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 + (i · 𝐴)) + (1 − (i · 𝐴))) = 2)
52	51	oveq1d 7383	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((1 + (i · 𝐴)) + (1 − (i · 𝐴))) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))) = (2 / (√‘(1 + (𝐴↑2)))))
53	32, 47, 52	3eqtr2d 2778	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) + (exp‘(-i · (arctan‘𝐴)))) = (2 / (√‘(1 + (𝐴↑2)))))
54	53	oveq1d 7383	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) + (exp‘(-i · (arctan‘𝐴)))) / 2) = ((2 / (√‘(1 + (𝐴↑2)))) / 2))
55		2cnd 12235	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 2 ∈ ℂ)
56		2ne0 12261	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
57	56	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 2 ≠ 0)
58	55, 40, 55, 46, 57	divdiv32d 11954	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 / (√‘(1 + (𝐴↑2)))) / 2) = ((2 / 2) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))))
59		2div2e1 12293	. . . 4 ⊢ (2 / 2) = 1
60	59	oveq1i 7378	. . 3 ⊢ ((2 / 2) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))) = (1 / (√‘(1 + (𝐴↑2))))
61	58, 60	eqtrdi 2788	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 / (√‘(1 + (𝐴↑2)))) / 2) = (1 / (√‘(1 + (𝐴↑2)))))
62	3, 54, 61	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (cos‘(arctan‘𝐴)) = (1 / (√‘(1 + (𝐴↑2)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  dom cdm 5632  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039  ici 11040   + caddc 11041   · cmul 11043   − cmin 11376  -cneg 11377   / cdiv 11806  2c2 12212  ↑cexp 13996  √csqrt 15168  expce 15996  cosccos 15999  arctancatan 26842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209  df-bc 14238  df-hash 14266  df-shft 15002  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-limsup 15406  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-ef 16002  df-sin 16004  df-cos 16005  df-pi 16007  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-mulg 19010  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-fbas 21318  df-fg 21319  df-cnfld 21322  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-cld 22975  df-ntr 22976  df-cls 22977  df-nei 23054  df-lp 23092  df-perf 23093  df-cn 23183  df-cnp 23184  df-haus 23271  df-tx 23518  df-hmeo 23711  df-fil 23802  df-fm 23894  df-flim 23895  df-flf 23896  df-xms 24276  df-ms 24277  df-tms 24278  df-cncf 24839  df-limc 25835  df-dv 25836  df-log 26533  df-cxp 26534  df-atan 26845

This theorem is referenced by:  cosatanne0  26900