Theorem cosatan 26910

Description: The cosine of an arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cosatan	⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (cos‘(arctan‘𝐴)) = (1 / (√‘(1 + (𝐴↑2)))))

Proof of Theorem cosatan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atancl 26870	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘𝐴) ∈ ℂ)
2		cosval 16088	. . 3 ⊢ ((arctan‘𝐴) ∈ ℂ → (cos‘(arctan‘𝐴)) = (((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) + (exp‘(-i · (arctan‘𝐴)))) / 2))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (cos‘(arctan‘𝐴)) = (((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) + (exp‘(-i · (arctan‘𝐴)))) / 2))
4		efiatan2 26906	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(i · (arctan‘𝐴))) = ((1 + (i · 𝐴)) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))))
5		ax-icn 11095	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
6		mulneg12 11586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (arctan‘𝐴) ∈ ℂ) → (-i · (arctan‘𝐴)) = (i · -(arctan‘𝐴)))
7	5, 1, 6	sylancr 593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (-i · (arctan‘𝐴)) = (i · -(arctan‘𝐴)))
8		atanneg 26896	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘-𝐴) = -(arctan‘𝐴))
9	8	oveq2d 7379	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · (arctan‘-𝐴)) = (i · -(arctan‘𝐴)))
10	7, 9	eqtr4d 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (-i · (arctan‘𝐴)) = (i · (arctan‘-𝐴)))
11	10	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(-i · (arctan‘𝐴))) = (exp‘(i · (arctan‘-𝐴))))
12		atandmneg 26895	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → -𝐴 ∈ dom arctan)
13		efiatan2 26906	. . . . . . 7 ⊢ (-𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(i · (arctan‘-𝐴))) = ((1 + (i · -𝐴)) / (√‘(1 + (-𝐴↑2)))))
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(i · (arctan‘-𝐴))) = ((1 + (i · -𝐴)) / (√‘(1 + (-𝐴↑2)))))
15		atandm4 26868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ≠ 0))
16	15	simplbi 497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ∈ ℂ)
17		mulneg2 11585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
18	5, 16, 17	sylancr 593	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
19	18	oveq2d 7379	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · -𝐴)) = (1 + -(i · 𝐴)))
20		ax-1cn 11094	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
21		mulcl 11120	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
22	5, 16, 21	sylancr 593	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
23		negsub 11440	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + -(i · 𝐴)) = (1 − (i · 𝐴)))
24	20, 22, 23	sylancr 593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + -(i · 𝐴)) = (1 − (i · 𝐴)))
25	19, 24	eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · -𝐴)) = (1 − (i · 𝐴)))
26		sqneg 14075	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴↑2) = (𝐴↑2))
27	16, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (-𝐴↑2) = (𝐴↑2))
28	27	oveq2d 7379	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (-𝐴↑2)) = (1 + (𝐴↑2)))
29	28	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (√‘(1 + (-𝐴↑2))) = (√‘(1 + (𝐴↑2))))
30	25, 29	oveq12d 7381	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 + (i · -𝐴)) / (√‘(1 + (-𝐴↑2)))) = ((1 − (i · 𝐴)) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))))
31	11, 14, 30	3eqtrd 2779	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(-i · (arctan‘𝐴))) = ((1 − (i · 𝐴)) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))))
32	4, 31	oveq12d 7381	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) + (exp‘(-i · (arctan‘𝐴)))) = (((1 + (i · 𝐴)) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))) + ((1 − (i · 𝐴)) / (√‘(1 + (𝐴↑2))))))
33		addcl 11118	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
34	20, 22, 33	sylancr 593	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
35		subcl 11390	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
36	20, 22, 35	sylancr 593	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
37	16	sqcld 14104	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
38		addcl 11118	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
39	20, 37, 38	sylancr 593	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
40	39	sqrtcld 15400	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (√‘(1 + (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
41	39	sqsqrtd 15402	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((√‘(1 + (𝐴↑2)))↑2) = (1 + (𝐴↑2)))
42	15	simprbi 498	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (𝐴↑2)) ≠ 0)
43	41, 42	eqnetrd 3002	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((√‘(1 + (𝐴↑2)))↑2) ≠ 0)
44		sqne0 14083	. . . . . . 7 ⊢ ((√‘(1 + (𝐴↑2))) ∈ ℂ → (((√‘(1 + (𝐴↑2)))↑2) ≠ 0 ↔ (√‘(1 + (𝐴↑2))) ≠ 0))
45	40, 44	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((√‘(1 + (𝐴↑2)))↑2) ≠ 0 ↔ (√‘(1 + (𝐴↑2))) ≠ 0))
46	43, 45	mpbid 233	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (√‘(1 + (𝐴↑2))) ≠ 0)
47	34, 36, 40, 46	divdird 11967	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((1 + (i · 𝐴)) + (1 − (i · 𝐴))) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))) = (((1 + (i · 𝐴)) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))) + ((1 − (i · 𝐴)) / (√‘(1 + (𝐴↑2))))))
48	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 1 ∈ ℂ)
49	48, 22, 48	ppncand 11543	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 + (i · 𝐴)) + (1 − (i · 𝐴))) = (1 + 1))
50		df-2 12242	. . . . . 6 ⊢ 2 = (1 + 1)
51	49, 50	eqtr4di 2793	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 + (i · 𝐴)) + (1 − (i · 𝐴))) = 2)
52	51	oveq1d 7378	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((1 + (i · 𝐴)) + (1 − (i · 𝐴))) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))) = (2 / (√‘(1 + (𝐴↑2)))))
53	32, 47, 52	3eqtr2d 2781	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) + (exp‘(-i · (arctan‘𝐴)))) = (2 / (√‘(1 + (𝐴↑2)))))
54	53	oveq1d 7378	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) + (exp‘(-i · (arctan‘𝐴)))) / 2) = ((2 / (√‘(1 + (𝐴↑2)))) / 2))
55		2cnd 12257	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 2 ∈ ℂ)
56		2ne0 12283	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
57	56	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 2 ≠ 0)
58	55, 40, 55, 46, 57	divdiv32d 11954	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 / (√‘(1 + (𝐴↑2)))) / 2) = ((2 / 2) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))))
59		2div2e1 12315	. . . 4 ⊢ (2 / 2) = 1
60	59	oveq1i 7373	. . 3 ⊢ ((2 / 2) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))) = (1 / (√‘(1 + (𝐴↑2))))
61	58, 60	eqtrdi 2791	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 / (√‘(1 + (𝐴↑2)))) / 2) = (1 / (√‘(1 + (𝐴↑2)))))
62	3, 54, 61	3eqtrd 2779	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (cos‘(arctan‘𝐴)) = (1 / (√‘(1 + (𝐴↑2)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  dom cdm 5625  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  0cc0 11036  1c1 11037  ici 11038   + caddc 11039   · cmul 11041   − cmin 11375  -cneg 11376   / cdiv 11805  2c2 12234  ↑cexp 14021  √csqrt 15193  expce 16024  cosccos 16027  arctancatan 26853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114  ax-addf 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-fi 9321  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-q 12897  df-rp 12941  df-xneg 13061  df-xadd 13062  df-xmul 13063  df-ioo 13300  df-ioc 13301  df-ico 13302  df-icc 13303  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-fl 13749  df-mod 13827  df-seq 13962  df-exp 14022  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15027  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-limsup 15431  df-clim 15448  df-rlim 15449  df-sum 15647  df-ef 16030  df-sin 16032  df-cos 16033  df-pi 16035  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17383  df-topn 17384  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-topgen 17404  df-pt 17405  df-prds 17408  df-xrs 17464  df-qtop 17469  df-imas 17470  df-xps 17472  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-submnd 18750  df-mulg 19042  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-psmet 21346  df-xmet 21347  df-met 21348  df-bl 21349  df-mopn 21350  df-fbas 21351  df-fg 21352  df-cnfld 21355  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923  df-bases 22936  df-cld 23009  df-ntr 23010  df-cls 23011  df-nei 23088  df-lp 23126  df-perf 23127  df-cn 23217  df-cnp 23218  df-haus 23305  df-tx 23552  df-hmeo 23745  df-fil 23836  df-fm 23928  df-flim 23929  df-flf 23930  df-xms 24310  df-ms 24311  df-tms 24312  df-cncf 24870  df-limc 25858  df-dv 25859  df-log 26545  df-cxp 26546  df-atan 26856

This theorem is referenced by:  cosatanne0  26911