Theorem cosatan 26963

Description: The cosine of an arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cosatan	⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (cos‘(arctan‘𝐴)) = (1 / (√‘(1 + (𝐴↑2)))))

Proof of Theorem cosatan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atancl 26923	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘𝐴) ∈ ℂ)
2		cosval 16138	. . 3 ⊢ ((arctan‘𝐴) ∈ ℂ → (cos‘(arctan‘𝐴)) = (((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) + (exp‘(-i · (arctan‘𝐴)))) / 2))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (cos‘(arctan‘𝐴)) = (((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) + (exp‘(-i · (arctan‘𝐴)))) / 2))
4		efiatan2 26959	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(i · (arctan‘𝐴))) = ((1 + (i · 𝐴)) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))))
5		ax-icn 11129	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
6		mulneg12 11622	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (arctan‘𝐴) ∈ ℂ) → (-i · (arctan‘𝐴)) = (i · -(arctan‘𝐴)))
7	5, 1, 6	sylancr 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (-i · (arctan‘𝐴)) = (i · -(arctan‘𝐴)))
8		atanneg 26949	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘-𝐴) = -(arctan‘𝐴))
9	8	oveq2d 7408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · (arctan‘-𝐴)) = (i · -(arctan‘𝐴)))
10	7, 9	eqtr4d 2799	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (-i · (arctan‘𝐴)) = (i · (arctan‘-𝐴)))
11	10	fveq2d 6867	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(-i · (arctan‘𝐴))) = (exp‘(i · (arctan‘-𝐴))))
12		atandmneg 26948	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → -𝐴 ∈ dom arctan)
13		efiatan2 26959	. . . . . . 7 ⊢ (-𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(i · (arctan‘-𝐴))) = ((1 + (i · -𝐴)) / (√‘(1 + (-𝐴↑2)))))
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(i · (arctan‘-𝐴))) = ((1 + (i · -𝐴)) / (√‘(1 + (-𝐴↑2)))))
15		atandm4 26921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ≠ 0))
16	15	simplbi 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ∈ ℂ)
17		mulneg2 11621	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
18	5, 16, 17	sylancr 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
19	18	oveq2d 7408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · -𝐴)) = (1 + -(i · 𝐴)))
20		ax-1cn 11128	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
21		mulcl 11154	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
22	5, 16, 21	sylancr 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
23		negsub 11476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + -(i · 𝐴)) = (1 − (i · 𝐴)))
24	20, 22, 23	sylancr 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + -(i · 𝐴)) = (1 − (i · 𝐴)))
25	19, 24	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · -𝐴)) = (1 − (i · 𝐴)))
26		sqneg 14125	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴↑2) = (𝐴↑2))
27	16, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (-𝐴↑2) = (𝐴↑2))
28	27	oveq2d 7408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (-𝐴↑2)) = (1 + (𝐴↑2)))
29	28	fveq2d 6867	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (√‘(1 + (-𝐴↑2))) = (√‘(1 + (𝐴↑2))))
30	25, 29	oveq12d 7410	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 + (i · -𝐴)) / (√‘(1 + (-𝐴↑2)))) = ((1 − (i · 𝐴)) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))))
31	11, 14, 30	3eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(-i · (arctan‘𝐴))) = ((1 − (i · 𝐴)) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))))
32	4, 31	oveq12d 7410	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) + (exp‘(-i · (arctan‘𝐴)))) = (((1 + (i · 𝐴)) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))) + ((1 − (i · 𝐴)) / (√‘(1 + (𝐴↑2))))))
33		addcl 11152	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
34	20, 22, 33	sylancr 596	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
35		subcl 11426	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
36	20, 22, 35	sylancr 596	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
37	16	sqcld 14154	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
38		addcl 11152	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
39	20, 37, 38	sylancr 596	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
40	39	sqrtcld 15450	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (√‘(1 + (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
41	39	sqsqrtd 15452	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((√‘(1 + (𝐴↑2)))↑2) = (1 + (𝐴↑2)))
42	15	simprbi 501	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (𝐴↑2)) ≠ 0)
43	41, 42	eqnetrd 3023	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((√‘(1 + (𝐴↑2)))↑2) ≠ 0)
44		sqne0 14133	. . . . . . 7 ⊢ ((√‘(1 + (𝐴↑2))) ∈ ℂ → (((√‘(1 + (𝐴↑2)))↑2) ≠ 0 ↔ (√‘(1 + (𝐴↑2))) ≠ 0))
45	40, 44	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((√‘(1 + (𝐴↑2)))↑2) ≠ 0 ↔ (√‘(1 + (𝐴↑2))) ≠ 0))
46	43, 45	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (√‘(1 + (𝐴↑2))) ≠ 0)
47	34, 36, 40, 46	divdird 12002	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((1 + (i · 𝐴)) + (1 − (i · 𝐴))) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))) = (((1 + (i · 𝐴)) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))) + ((1 − (i · 𝐴)) / (√‘(1 + (𝐴↑2))))))
48	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 1 ∈ ℂ)
49	48, 22, 48	ppncand 11579	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 + (i · 𝐴)) + (1 − (i · 𝐴))) = (1 + 1))
50		df-2 12277	. . . . . 6 ⊢ 2 = (1 + 1)
51	49, 50	eqtr4di 2814	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 + (i · 𝐴)) + (1 − (i · 𝐴))) = 2)
52	51	oveq1d 7407	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((1 + (i · 𝐴)) + (1 − (i · 𝐴))) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))) = (2 / (√‘(1 + (𝐴↑2)))))
53	32, 47, 52	3eqtr2d 2802	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) + (exp‘(-i · (arctan‘𝐴)))) = (2 / (√‘(1 + (𝐴↑2)))))
54	53	oveq1d 7407	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) + (exp‘(-i · (arctan‘𝐴)))) / 2) = ((2 / (√‘(1 + (𝐴↑2)))) / 2))
55		2cnd 12293	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 2 ∈ ℂ)
56		2ne0 12321	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
57	56	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 2 ≠ 0)
58	55, 40, 55, 46, 57	divdiv32d 11989	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 / (√‘(1 + (𝐴↑2)))) / 2) = ((2 / 2) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))))
59		2div2e1 12355	. . . 4 ⊢ (2 / 2) = 1
60	59	oveq1i 7402	. . 3 ⊢ ((2 / 2) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))) = (1 / (√‘(1 + (𝐴↑2))))
61	58, 60	eqtrdi 2812	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 / (√‘(1 + (𝐴↑2)))) / 2) = (1 / (√‘(1 + (𝐴↑2)))))
62	3, 54, 61	3eqtrd 2800	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (cos‘(arctan‘𝐴)) = (1 / (√‘(1 + (𝐴↑2)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  dom cdm 5645  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  0cc0 11070  1c1 11071  ici 11072   + caddc 11073   · cmul 11075   − cmin 11411  -cneg 11412   / cdiv 11841  2c2 12269  ↑cexp 14071  √csqrt 15243  expce 16074  cosccos 16077  arctancatan 26906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-inf2 9593  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148  ax-addf 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8876  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fsupp 9305  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9455  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-q 12947  df-rp 12991  df-xneg 13111  df-xadd 13112  df-xmul 13113  df-ioo 13350  df-ioc 13351  df-ico 13352  df-icc 13353  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14012  df-exp 14072  df-fac 14284  df-bc 14313  df-hash 14341  df-shft 15077  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-limsup 15481  df-clim 15498  df-rlim 15499  df-sum 15697  df-ef 16080  df-sin 16082  df-cos 16083  df-pi 16085  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-rest 17434  df-topn 17435  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-topgen 17455  df-pt 17456  df-prds 17459  df-xrs 17515  df-qtop 17520  df-imas 17521  df-xps 17523  df-mre 17597  df-mrc 17598  df-acs 17600  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-submnd 18801  df-mulg 19093  df-cntz 19340  df-cmn 19805  df-psmet 21396  df-xmet 21397  df-met 21398  df-bl 21399  df-mopn 21400  df-fbas 21401  df-fg 21402  df-cnfld 21405  df-top 22934  df-topon 22951  df-topsp 22973  df-bases 22986  df-cld 23059  df-ntr 23060  df-cls 23061  df-nei 23138  df-lp 23176  df-perf 23177  df-cn 23267  df-cnp 23268  df-haus 23355  df-tx 23602  df-hmeo 23795  df-fil 23886  df-fm 23978  df-flim 23979  df-flf 23980  df-xms 24360  df-ms 24361  df-tms 24362  df-cncf 24920  df-limc 25908  df-dv 25909  df-log 26598  df-cxp 26599  df-atan 26909

This theorem is referenced by:  cosatanne0  26964