Theorem pythagtriplem17 16158

Description: Lemma for pythagtrip 16161. Show the relationship between 𝑀, 𝑁, and 𝐶. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pythagtriplem15.1	⊢ 𝑀 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)
pythagtriplem15.2	⊢ 𝑁 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)

Assertion

Ref	Expression
pythagtriplem17	⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝐶 = ((𝑀↑2) + (𝑁↑2)))

Proof of Theorem pythagtriplem17

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pythagtriplem15.1	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)
2	1	pythagtriplem12 16153	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (𝑀↑2) = ((𝐶 + 𝐴) / 2))
3		pythagtriplem15.2	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)
4	3	pythagtriplem14 16155	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (𝑁↑2) = ((𝐶 − 𝐴) / 2))
5	2, 4	oveq12d 7153	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((𝑀↑2) + (𝑁↑2)) = (((𝐶 + 𝐴) / 2) + ((𝐶 − 𝐴) / 2)))
6		nncn 11633	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℂ)
7	6	3ad2ant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℂ)
8	7	3ad2ant1 1130	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℂ)
9		nncn 11633	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
10	9	3ad2ant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
11	10	3ad2ant1 1130	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
12	8, 11	addcld 10649	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (𝐶 + 𝐴) ∈ ℂ)
13	8, 11	subcld 10986	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ)
14		2cnne0 11835	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
15		divdir 11312	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝐶 + 𝐴) + (𝐶 − 𝐴)) / 2) = (((𝐶 + 𝐴) / 2) + ((𝐶 − 𝐴) / 2)))
16	14, 15	mp3an3 1447	. . . 4 ⊢ (((𝐶 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ) → (((𝐶 + 𝐴) + (𝐶 − 𝐴)) / 2) = (((𝐶 + 𝐴) / 2) + ((𝐶 − 𝐴) / 2)))
17	12, 13, 16	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (((𝐶 + 𝐴) + (𝐶 − 𝐴)) / 2) = (((𝐶 + 𝐴) / 2) + ((𝐶 − 𝐴) / 2)))
18	5, 17	eqtr4d 2836	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((𝑀↑2) + (𝑁↑2)) = (((𝐶 + 𝐴) + (𝐶 − 𝐴)) / 2))
19	8, 11, 8	ppncand 11026	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((𝐶 + 𝐴) + (𝐶 − 𝐴)) = (𝐶 + 𝐶))
20	8	2timesd 11868	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (2 · 𝐶) = (𝐶 + 𝐶))
21	19, 20	eqtr4d 2836	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((𝐶 + 𝐴) + (𝐶 − 𝐴)) = (2 · 𝐶))
22	21	oveq1d 7150	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (((𝐶 + 𝐴) + (𝐶 − 𝐴)) / 2) = ((2 · 𝐶) / 2))
23		2cn 11700	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2ne0 11729	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
25		divcan3 11313	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · 𝐶) / 2) = 𝐶)
26	23, 24, 25	mp3an23 1450	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((2 · 𝐶) / 2) = 𝐶)
27	8, 26	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((2 · 𝐶) / 2) = 𝐶)
28	18, 22, 27	3eqtrrd 2838	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝐶 = ((𝑀↑2) + (𝑁↑2)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   − cmin 10859   / cdiv 11286  ℕcn 11625  2c2 11680  ↑cexp 13425  √csqrt 14584   ∥ cdvds 15599   gcd cgcd 15833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587

This theorem is referenced by:  pythagtriplem18  16159