Theorem sinmulcos 46637

Description: Multiplication formula for sine and cosine. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
sinmulcos	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) = (((sin‘(𝐴 + 𝐵)) + (sin‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))

Proof of Theorem sinmulcos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	sincld 16208	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
3		cosf 16203	. . . . . . . 8 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → cos:ℂ⟶ℂ)
5	4	ffvelcdmda 7083	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘𝐵) ∈ ℂ)
6	2, 5	mulcld 11244	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ)
7	1	coscld 16209	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
8		sinf 16202	. . . . . . . 8 ⊢ sin:ℂ⟶ℂ
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → sin:ℂ⟶ℂ)
10	9	ffvelcdmda 7083	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘𝐵) ∈ ℂ)
11	7, 10	mulcld 11244	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ)
12	6, 11, 6	ppncand 11624	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))) + (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)))) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵))))
13		sinadd 16242	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 + 𝐵)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
14		sinsub 16246	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 − 𝐵)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
15	13, 14	oveq12d 7437	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘(𝐴 + 𝐵)) + (sin‘(𝐴 − 𝐵))) = ((((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))) + (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)))))
16	6	2timesd 12502	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵))) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵))))
17	12, 15, 16	3eqtr4d 2810	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘(𝐴 + 𝐵)) + (sin‘(𝐴 − 𝐵))) = (2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵))))
18	17	oveq1d 7434	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((sin‘(𝐴 + 𝐵)) + (sin‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) = ((2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵))) / 2))
19		2cnd 12334	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
20		2ne0 12362	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 2 ≠ 0)
22	6, 19, 21	divcan3d 12011	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵))) / 2) = ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)))
23	18, 22	eqtr2d 2801	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) = (((sin‘(𝐴 + 𝐵)) + (sin‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11113  0cc0 11115   + caddc 11118   · cmul 11120   − cmin 11456   / cdiv 11886  2c2 12310  sincsin 16139  cosccos 16140

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-rp 13033  df-ico 13394  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-fl 13843  df-seq 14056  df-exp 14116  df-fac 14328  df-bc 14357  df-hash 14385  df-shft 15128  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-limsup 15546  df-clim 15563  df-rlim 15564  df-sum 15762  df-ef 16143  df-sin 16145  df-cos 16146

This theorem is used by:  dirkertrigeqlem2  46871