Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sinmulcos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sinmulcos 45153
Description: Multiplication formula for sine and cosine. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
sinmulcos ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) = (((sinβ€˜(𝐴 + 𝐡)) + (sinβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))) / 2))

Proof of Theorem sinmulcos
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
21sincld 16080 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜π΄) ∈ β„‚)
3 cosf 16075 . . . . . . . 8 cos:β„‚βŸΆβ„‚
43a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ cos:β„‚βŸΆβ„‚)
54ffvelcdmda 7080 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜π΅) ∈ β„‚)
62, 5mulcld 11238 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) ∈ β„‚)
71coscld 16081 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜π΄) ∈ β„‚)
8 sinf 16074 . . . . . . . 8 sin:β„‚βŸΆβ„‚
98a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ sin:β„‚βŸΆβ„‚)
109ffvelcdmda 7080 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜π΅) ∈ β„‚)
117, 10mulcld 11238 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅)) ∈ β„‚)
126, 11, 6ppncand 11615 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅))) + (((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) βˆ’ ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅)))) = (((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + ((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅))))
13 sinadd 16114 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜(𝐴 + 𝐡)) = (((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅))))
14 sinsub 16118 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)) = (((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) βˆ’ ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅))))
1513, 14oveq12d 7423 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((sinβ€˜(𝐴 + 𝐡)) + (sinβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))) = ((((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅))) + (((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) βˆ’ ((cosβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΅)))))
1662timesd 12459 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (2 Β· ((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅))) = (((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) + ((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅))))
1712, 15, 163eqtr4d 2776 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((sinβ€˜(𝐴 + 𝐡)) + (sinβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))) = (2 Β· ((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅))))
1817oveq1d 7420 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (((sinβ€˜(𝐴 + 𝐡)) + (sinβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))) / 2) = ((2 Β· ((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅))) / 2))
19 2cnd 12294 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ 2 ∈ β„‚)
20 2ne0 12320 . . . 4 2 β‰  0
2120a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ 2 β‰  0)
226, 19, 21divcan3d 11999 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((2 Β· ((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅))) / 2) = ((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)))
2318, 22eqtr2d 2767 1 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((sinβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΅)) = (((sinβ€˜(𝐴 + 𝐡)) + (sinβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  0cc0 11112   + caddc 11115   Β· cmul 11117   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  2c2 12271  sincsin 16013  cosccos 16014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-ico 13336  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020
This theorem is referenced by:  dirkertrigeqlem2  45387
  Copyright terms: Public domain W3C validator