| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | oveq2 7439 |
. . . . 5
⊢ (𝑥 = (𝑤 + (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2))) → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · (𝑤 + (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2))))) |
| 2 | 1 | oveq1d 7446 |
. . . 4
⊢ (𝑥 = (𝑤 + (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2))) → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) = ((𝐴 · (𝑤 + (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)))) + (𝐵 · 𝑦))) |
| 3 | 2 | eqeq2d 2748 |
. . 3
⊢ (𝑥 = (𝑤 + (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2))) → ((𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · (𝑤 + (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)))) + (𝐵 · 𝑦)))) |
| 4 | | oveq2 7439 |
. . . . 5
⊢ (𝑦 = (𝑧 − (𝐴 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2))) → (𝐵 · 𝑦) = (𝐵 · (𝑧 − (𝐴 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2))))) |
| 5 | 4 | oveq2d 7447 |
. . . 4
⊢ (𝑦 = (𝑧 − (𝐴 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2))) → ((𝐴 · (𝑤 + (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)))) + (𝐵 · 𝑦)) = ((𝐴 · (𝑤 + (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)))) + (𝐵 · (𝑧 − (𝐴 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)))))) |
| 6 | 5 | eqeq2d 2748 |
. . 3
⊢ (𝑦 = (𝑧 − (𝐴 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2))) → ((𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · (𝑤 + (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)))) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · (𝑤 + (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)))) + (𝐵 · (𝑧 − (𝐴 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2))))))) |
| 7 | | simplr 769 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑤 ∈
ℤ) |
| 8 | | simpllr 776 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈
ℕ) |
| 9 | 8 | nnzd 12640 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈
ℤ) |
| 10 | 7, 7 | zmulcld 12728 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑤 · 𝑤) ∈ ℤ) |
| 11 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈
ℤ) |
| 12 | 11, 11 | zmulcld 12728 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 · 𝑧) ∈ ℤ) |
| 13 | 10, 12 | zaddcld 12726 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) ∈ ℤ) |
| 14 | | 2z 12649 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 2 ∈
ℤ |
| 15 | 14 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 2 ∈
ℤ) |
| 16 | 13, 15 | zaddcld 12726 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2) ∈ ℤ) |
| 17 | 9, 16 | zmulcld 12728 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)) ∈ ℤ) |
| 18 | 7, 17 | zaddcld 12726 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑤 + (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2))) ∈ ℤ) |
| 19 | 7 | zred 12722 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑤 ∈
ℝ) |
| 20 | 19 | renegcld 11690 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → -𝑤 ∈
ℝ) |
| 21 | 20 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑤)
→ -𝑤 ∈
ℝ) |
| 22 | | 0red 11264 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑤)
→ 0 ∈ ℝ) |
| 23 | 17 | zred 12722 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)) ∈ ℝ) |
| 24 | 23 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑤)
→ (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)) ∈ ℝ) |
| 25 | | df-neg 11495 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ -𝑤 = (0 − 𝑤) |
| 26 | 25 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑤)
→ -𝑤 = (0 −
𝑤)) |
| 27 | 19 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑤)
→ 𝑤 ∈
ℝ) |
| 28 | 22 | leidd 11829 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑤)
→ 0 ≤ 0) |
| 29 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑤)
→ 0 ≤ 𝑤) |
| 30 | 22, 27, 28, 29 | addge0d 11839 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑤)
→ 0 ≤ (0 + 𝑤)) |
| 31 | 22, 27, 22 | lesubaddd 11860 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑤)
→ ((0 − 𝑤) ≤
0 ↔ 0 ≤ (0 + 𝑤))) |
| 32 | 30, 31 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑤)
→ (0 − 𝑤) ≤
0) |
| 33 | 26, 32 | eqbrtrd 5165 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑤)
→ -𝑤 ≤
0) |
| 34 | 8 | nnred 12281 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈
ℝ) |
| 35 | 16 | zred 12722 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2) ∈ ℝ) |
| 36 | 8 | nngt0d 12315 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 0 <
𝐵) |
| 37 | | 0red 11264 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 0 ∈
ℝ) |
| 38 | | 2re 12340 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 2 ∈
ℝ |
| 39 | 38 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 2 ∈
ℝ) |
| 40 | 37, 39 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (0 + 2)
∈ ℝ) |
| 41 | | 2pos 12369 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 0 <
2 |
| 42 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 2 =
2 |
| 43 | | 2cn 12341 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 2 ∈
ℂ |
| 44 | 43 | addlidi 11449 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (0 + 2) =
2 |
| 45 | 42, 44 | eqtr4i 2768 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 2 = (0 +
2) |
| 46 | 41, 45 | breqtri 5168 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 0 < (0
+ 2) |
| 47 | 46 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 0 <
(0 + 2)) |
| 48 | 13 | zred 12722 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) ∈ ℝ) |
| 49 | 19, 19 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑤 · 𝑤) ∈ ℝ) |
| 50 | 12 | zred 12722 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 · 𝑧) ∈ ℝ) |
| 51 | 19 | msqge0d 11831 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 0 ≤
(𝑤 · 𝑤)) |
| 52 | 11 | zred 12722 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈
ℝ) |
| 53 | 52 | msqge0d 11831 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 0 ≤
(𝑧 · 𝑧)) |
| 54 | 49, 50, 51, 53 | addge0d 11839 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 0 ≤
((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧))) |
| 55 | 39 | leidd 11829 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 2 ≤
2) |
| 56 | 37, 39, 48, 39, 54, 55 | le2addd 11882 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (0 + 2)
≤ (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)) |
| 57 | 37, 40, 35, 47, 56 | ltletrd 11421 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 0 <
(((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)) |
| 58 | 34, 35, 36, 57 | mulgt0d 11416 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 0 <
(𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2))) |
| 59 | 58 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑤)
→ 0 < (𝐵 ·
(((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2))) |
| 60 | 21, 22, 24, 33, 59 | lelttrd 11419 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑤)
→ -𝑤 < (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2))) |
| 61 | 25 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ -𝑤 = (0 −
𝑤)) |
| 62 | 37 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ 0 ∈ ℝ) |
| 63 | 34 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ 𝐵 ∈
ℝ) |
| 64 | 52 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ 𝑧 ∈
ℝ) |
| 65 | 64, 64 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ (𝑧 · 𝑧) ∈
ℝ) |
| 66 | 63, 65 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ (𝐵 · (𝑧 · 𝑧)) ∈ ℝ) |
| 67 | 19 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ 𝑤 ∈
ℝ) |
| 68 | 67, 67 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ (𝑤 · 𝑤) ∈
ℝ) |
| 69 | 38 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ 2 ∈ ℝ) |
| 70 | 68, 69 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ ((𝑤 · 𝑤) + 2) ∈
ℝ) |
| 71 | 63, 70 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ (𝐵 · ((𝑤 · 𝑤) + 2)) ∈ ℝ) |
| 72 | 71, 67 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ ((𝐵 · ((𝑤 · 𝑤) + 2)) + 𝑤) ∈ ℝ) |
| 73 | 66, 72 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ ((𝐵 · (𝑧 · 𝑧)) + ((𝐵 · ((𝑤 · 𝑤) + 2)) + 𝑤)) ∈ ℝ) |
| 74 | 8 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ 𝐵 ∈
ℕ) |
| 75 | 74 | nnnn0d 12587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ 𝐵 ∈
ℕ0) |
| 76 | 75 | nn0ge0d 12590 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ 0 ≤ 𝐵) |
| 77 | 64 | msqge0d 11831 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ 0 ≤ (𝑧 ·
𝑧)) |
| 78 | 63, 65, 76, 77 | mulge0d 11840 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ 0 ≤ (𝐵 ·
(𝑧 · 𝑧))) |
| 79 | 63 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ 𝐵 ∈
ℂ) |
| 80 | 64 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ 𝑧 ∈
ℂ) |
| 81 | 80, 80 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ (𝑧 · 𝑧) ∈
ℂ) |
| 82 | 79, 81 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ (𝐵 · (𝑧 · 𝑧)) ∈ ℂ) |
| 83 | 82 | subidd 11608 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ ((𝐵 · (𝑧 · 𝑧)) − (𝐵 · (𝑧 · 𝑧))) = 0) |
| 84 | | 1red 11262 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ 1 ∈ ℝ) |
| 85 | 84, 70 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ (1 · ((𝑤
· 𝑤) + 2)) ∈
ℝ) |
| 86 | 85, 67 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ ((1 · ((𝑤
· 𝑤) + 2)) + 𝑤) ∈
ℝ) |
| 87 | 20 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 1 ≤ -𝑤)
→ -𝑤 ∈
ℝ) |
| 88 | 19 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 1 ≤ -𝑤)
→ 𝑤 ∈
ℝ) |
| 89 | 88, 88 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 1 ≤ -𝑤)
→ (𝑤 · 𝑤) ∈
ℝ) |
| 90 | 38 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 1 ≤ -𝑤)
→ 2 ∈ ℝ) |
| 91 | 89, 90 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 1 ≤ -𝑤)
→ ((𝑤 · 𝑤) + 2) ∈
ℝ) |
| 92 | 37 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 1 ≤ -𝑤)
→ 0 ∈ ℝ) |
| 93 | 87, 87 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 1 ≤ -𝑤)
→ (-𝑤 · -𝑤) ∈
ℝ) |
| 94 | 93, 90 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 1 ≤ -𝑤)
→ ((-𝑤 · -𝑤) + 2) ∈
ℝ) |
| 95 | | 1red 11262 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 1 ∈
ℝ) |
| 96 | 95 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 1 ≤ -𝑤)
→ 1 ∈ ℝ) |
| 97 | | 0le1 11786 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ 0 ≤
1 |
| 98 | 97 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 1 ≤ -𝑤)
→ 0 ≤ 1) |
| 99 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 1 ≤ -𝑤)
→ 1 ≤ -𝑤) |
| 100 | 92, 96, 87, 98, 99 | letrd 11418 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 1 ≤ -𝑤)
→ 0 ≤ -𝑤) |
| 101 | 87, 87, 100, 99 | lemulge11d 12205 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 1 ≤ -𝑤)
→ -𝑤 ≤ (-𝑤 · -𝑤)) |
| 102 | 93, 92 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 1 ≤ -𝑤)
→ ((-𝑤 · -𝑤) + 0) ∈
ℝ) |
| 103 | 93 | leidd 11829 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 1 ≤ -𝑤)
→ (-𝑤 · -𝑤) ≤ (-𝑤 · -𝑤)) |
| 104 | 88 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 1 ≤ -𝑤)
→ 𝑤 ∈
ℂ) |
| 105 | 104 | negcld 11607 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 1 ≤ -𝑤)
→ -𝑤 ∈
ℂ) |
| 106 | 105, 105 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 1 ≤ -𝑤)
→ (-𝑤 · -𝑤) ∈
ℂ) |
| 107 | 106 | addridd 11461 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 1 ≤ -𝑤)
→ ((-𝑤 · -𝑤) + 0) = (-𝑤 · -𝑤)) |
| 108 | 107 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 1 ≤ -𝑤)
→ (-𝑤 · -𝑤) = ((-𝑤 · -𝑤) + 0)) |
| 109 | 103, 108 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 1 ≤ -𝑤)
→ (-𝑤 · -𝑤) ≤ ((-𝑤 · -𝑤) + 0)) |
| 110 | 41 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 1 ≤ -𝑤)
→ 0 < 2) |
| 111 | 92, 90, 93, 110 | ltadd2dd 11420 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 1 ≤ -𝑤)
→ ((-𝑤 · -𝑤) + 0) < ((-𝑤 · -𝑤) + 2)) |
| 112 | 93, 102, 94, 109, 111 | lelttrd 11419 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 1 ≤ -𝑤)
→ (-𝑤 · -𝑤) < ((-𝑤 · -𝑤) + 2)) |
| 113 | 87, 93, 94, 101, 112 | lelttrd 11419 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 1 ≤ -𝑤)
→ -𝑤 < ((-𝑤 · -𝑤) + 2)) |
| 114 | 104, 104 | mul2negd 11718 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 1 ≤ -𝑤)
→ (-𝑤 · -𝑤) = (𝑤 · 𝑤)) |
| 115 | 114 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 1 ≤ -𝑤)
→ ((-𝑤 · -𝑤) + 2) = ((𝑤 · 𝑤) + 2)) |
| 116 | 113, 115 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 1 ≤ -𝑤)
→ -𝑤 < ((𝑤 · 𝑤) + 2)) |
| 117 | 91 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 1 ≤ -𝑤)
→ ((𝑤 · 𝑤) + 2) ∈
ℂ) |
| 118 | 117 | subid1d 11609 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 1 ≤ -𝑤)
→ (((𝑤 · 𝑤) + 2) − 0) = ((𝑤 · 𝑤) + 2)) |
| 119 | 118 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 1 ≤ -𝑤)
→ ((𝑤 · 𝑤) + 2) = (((𝑤 · 𝑤) + 2) − 0)) |
| 120 | 116, 119 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 1 ≤ -𝑤)
→ -𝑤 < (((𝑤 · 𝑤) + 2) − 0)) |
| 121 | 87, 91, 92, 120 | ltsub13d 11869 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 1 ≤ -𝑤)
→ 0 < (((𝑤 ·
𝑤) + 2) − -𝑤)) |
| 122 | 7 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 1 ≤ -𝑤)
→ 𝑤 ∈
ℤ) |
| 123 | 122 | zcnd 12723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 1 ≤ -𝑤)
→ 𝑤 ∈
ℂ) |
| 124 | 123, 123 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 1 ≤ -𝑤)
→ (𝑤 · 𝑤) ∈
ℂ) |
| 125 | | 2cnd 12344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 1 ≤ -𝑤)
→ 2 ∈ ℂ) |
| 126 | 124, 125 | addcld 11280 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 1 ≤ -𝑤)
→ ((𝑤 · 𝑤) + 2) ∈
ℂ) |
| 127 | 126, 123 | subnegd 11627 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 1 ≤ -𝑤)
→ (((𝑤 · 𝑤) + 2) − -𝑤) = (((𝑤 · 𝑤) + 2) + 𝑤)) |
| 128 | 121, 127 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 1 ≤ -𝑤)
→ 0 < (((𝑤 ·
𝑤) + 2) + 𝑤)) |
| 129 | 128 | ex 412 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (1 ≤
-𝑤 → 0 < (((𝑤 · 𝑤) + 2) + 𝑤))) |
| 130 | | 0zd 12625 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 0 ∈
ℤ) |
| 131 | 7, 130 | zltlem1d 12671 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑤 < 0 ↔ 𝑤 ≤ (0 −
1))) |
| 132 | | df-neg 11495 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ -1 = (0
− 1) |
| 133 | 132 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (0
− 1) = -1 |
| 134 | 133 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (0
− 1) = -1) |
| 135 | 134 | breq2d 5155 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑤 ≤ (0 − 1) ↔ 𝑤 ≤ -1)) |
| 136 | 131, 135 | bitrd 279 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑤 < 0 ↔ 𝑤 ≤ -1)) |
| 137 | 95 | renegcld 11690 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → -1
∈ ℝ) |
| 138 | 19, 137 | lenegd 11842 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑤 ≤ -1 ↔ --1 ≤ -𝑤)) |
| 139 | 136, 138 | bitrd 279 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑤 < 0 ↔ --1 ≤ -𝑤)) |
| 140 | | 1cnd 11256 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 1 ∈
ℂ) |
| 141 | 140 | negnegd 11611 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → --1 =
1) |
| 142 | 141 | breq1d 5153 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (--1
≤ -𝑤 ↔ 1 ≤
-𝑤)) |
| 143 | 139, 142 | bitrd 279 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑤 < 0 ↔ 1 ≤ -𝑤)) |
| 144 | 143 | biimpd 229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑤 < 0 → 1 ≤ -𝑤)) |
| 145 | 144 | imim1d 82 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((1 ≤
-𝑤 → 0 < (((𝑤 · 𝑤) + 2) + 𝑤)) → (𝑤 < 0 → 0 < (((𝑤 · 𝑤) + 2) + 𝑤)))) |
| 146 | 129, 145 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑤 < 0 → 0 < (((𝑤 · 𝑤) + 2) + 𝑤))) |
| 147 | 146 | imp 406 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ 0 < (((𝑤 ·
𝑤) + 2) + 𝑤)) |
| 148 | 70 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ ((𝑤 · 𝑤) + 2) ∈
ℂ) |
| 149 | 148 | mullidd 11279 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ (1 · ((𝑤
· 𝑤) + 2)) = ((𝑤 · 𝑤) + 2)) |
| 150 | 149 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ ((𝑤 · 𝑤) + 2) = (1 · ((𝑤 · 𝑤) + 2))) |
| 151 | 150 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ (((𝑤 · 𝑤) + 2) + 𝑤) = ((1 · ((𝑤 · 𝑤) + 2)) + 𝑤)) |
| 152 | 147, 151 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ 0 < ((1 · ((𝑤 · 𝑤) + 2)) + 𝑤)) |
| 153 | 40 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ (0 + 2) ∈ ℝ) |
| 154 | 62 | leidd 11829 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ 0 ≤ 0) |
| 155 | | 0le2 12368 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ 0 ≤
2 |
| 156 | 155 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ 0 ≤ 2) |
| 157 | 62, 69, 154, 156 | addge0d 11839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ 0 ≤ (0 + 2)) |
| 158 | 51 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ 0 ≤ (𝑤 ·
𝑤)) |
| 159 | 62, 68, 69, 158 | leadd1dd 11877 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ (0 + 2) ≤ ((𝑤
· 𝑤) +
2)) |
| 160 | 62, 153, 70, 157, 159 | letrd 11418 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ 0 ≤ ((𝑤 ·
𝑤) + 2)) |
| 161 | 74 | nnge1d 12314 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ 1 ≤ 𝐵) |
| 162 | 84, 63, 70, 160, 161 | lemul1ad 12207 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ (1 · ((𝑤
· 𝑤) + 2)) ≤
(𝐵 · ((𝑤 · 𝑤) + 2))) |
| 163 | 85, 71, 67, 162 | leadd1dd 11877 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ ((1 · ((𝑤
· 𝑤) + 2)) + 𝑤) ≤ ((𝐵 · ((𝑤 · 𝑤) + 2)) + 𝑤)) |
| 164 | 62, 86, 72, 152, 163 | ltletrd 11421 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ 0 < ((𝐵 ·
((𝑤 · 𝑤) + 2)) + 𝑤)) |
| 165 | 83, 164 | eqbrtrd 5165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ ((𝐵 · (𝑧 · 𝑧)) − (𝐵 · (𝑧 · 𝑧))) < ((𝐵 · ((𝑤 · 𝑤) + 2)) + 𝑤)) |
| 166 | 66, 66, 72 | ltsubadd2d 11861 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ (((𝐵 · (𝑧 · 𝑧)) − (𝐵 · (𝑧 · 𝑧))) < ((𝐵 · ((𝑤 · 𝑤) + 2)) + 𝑤) ↔ (𝐵 · (𝑧 · 𝑧)) < ((𝐵 · (𝑧 · 𝑧)) + ((𝐵 · ((𝑤 · 𝑤) + 2)) + 𝑤)))) |
| 167 | 165, 166 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ (𝐵 · (𝑧 · 𝑧)) < ((𝐵 · (𝑧 · 𝑧)) + ((𝐵 · ((𝑤 · 𝑤) + 2)) + 𝑤))) |
| 168 | 62, 66, 73, 78, 167 | lelttrd 11419 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ 0 < ((𝐵 ·
(𝑧 · 𝑧)) + ((𝐵 · ((𝑤 · 𝑤) + 2)) + 𝑤))) |
| 169 | 74 | nncnd 12282 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ 𝐵 ∈
ℂ) |
| 170 | 11 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ 𝑧 ∈
ℤ) |
| 171 | 170 | zcnd 12723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ 𝑧 ∈
ℂ) |
| 172 | 171, 171 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ (𝑧 · 𝑧) ∈
ℂ) |
| 173 | 169, 172 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ (𝐵 · (𝑧 · 𝑧)) ∈ ℂ) |
| 174 | 67 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ 𝑤 ∈
ℂ) |
| 175 | 174, 174 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ (𝑤 · 𝑤) ∈
ℂ) |
| 176 | | 2cnd 12344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ 2 ∈ ℂ) |
| 177 | 175, 176 | addcld 11280 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ ((𝑤 · 𝑤) + 2) ∈
ℂ) |
| 178 | 169, 177 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ (𝐵 · ((𝑤 · 𝑤) + 2)) ∈ ℂ) |
| 179 | 173, 178,
174 | addassd 11283 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ (((𝐵 · (𝑧 · 𝑧)) + (𝐵 · ((𝑤 · 𝑤) + 2))) + 𝑤) = ((𝐵 · (𝑧 · 𝑧)) + ((𝐵 · ((𝑤 · 𝑤) + 2)) + 𝑤))) |
| 180 | 179 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ ((𝐵 · (𝑧 · 𝑧)) + ((𝐵 · ((𝑤 · 𝑤) + 2)) + 𝑤)) = (((𝐵 · (𝑧 · 𝑧)) + (𝐵 · ((𝑤 · 𝑤) + 2))) + 𝑤)) |
| 181 | 169, 172,
177 | adddid 11285 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ (𝐵 · ((𝑧 · 𝑧) + ((𝑤 · 𝑤) + 2))) = ((𝐵 · (𝑧 · 𝑧)) + (𝐵 · ((𝑤 · 𝑤) + 2)))) |
| 182 | 181 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ ((𝐵 · (𝑧 · 𝑧)) + (𝐵 · ((𝑤 · 𝑤) + 2))) = (𝐵 · ((𝑧 · 𝑧) + ((𝑤 · 𝑤) + 2)))) |
| 183 | 182 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ (((𝐵 · (𝑧 · 𝑧)) + (𝐵 · ((𝑤 · 𝑤) + 2))) + 𝑤) = ((𝐵 · ((𝑧 · 𝑧) + ((𝑤 · 𝑤) + 2))) + 𝑤)) |
| 184 | 180, 183 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ ((𝐵 · (𝑧 · 𝑧)) + ((𝐵 · ((𝑤 · 𝑤) + 2)) + 𝑤)) = ((𝐵 · ((𝑧 · 𝑧) + ((𝑤 · 𝑤) + 2))) + 𝑤)) |
| 185 | 43 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ 2 ∈ ℂ) |
| 186 | 172, 175,
185 | addassd 11283 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ (((𝑧 · 𝑧) + (𝑤 · 𝑤)) + 2) = ((𝑧 · 𝑧) + ((𝑤 · 𝑤) + 2))) |
| 187 | 186 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ ((𝑧 · 𝑧) + ((𝑤 · 𝑤) + 2)) = (((𝑧 · 𝑧) + (𝑤 · 𝑤)) + 2)) |
| 188 | 172, 175 | addcomd 11463 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ ((𝑧 · 𝑧) + (𝑤 · 𝑤)) = ((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧))) |
| 189 | 188 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ (((𝑧 · 𝑧) + (𝑤 · 𝑤)) + 2) = (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)) |
| 190 | 187, 189 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ ((𝑧 · 𝑧) + ((𝑤 · 𝑤) + 2)) = (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)) |
| 191 | 190 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ (𝐵 · ((𝑧 · 𝑧) + ((𝑤 · 𝑤) + 2))) = (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2))) |
| 192 | 191 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ ((𝐵 · ((𝑧 · 𝑧) + ((𝑤 · 𝑤) + 2))) + 𝑤) = ((𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)) + 𝑤)) |
| 193 | 184, 192 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ ((𝐵 · (𝑧 · 𝑧)) + ((𝐵 · ((𝑤 · 𝑤) + 2)) + 𝑤)) = ((𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)) + 𝑤)) |
| 194 | 168, 193 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ 0 < ((𝐵 ·
(((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)) + 𝑤)) |
| 195 | 23 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)) ∈ ℝ) |
| 196 | 62, 67, 195 | ltsubaddd 11859 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ ((0 − 𝑤) <
(𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)) ↔ 0 < ((𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)) + 𝑤))) |
| 197 | 194, 196 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ (0 − 𝑤) <
(𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2))) |
| 198 | 61, 197 | eqbrtrd 5165 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ 𝑤 < 0)
→ -𝑤 < (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2))) |
| 199 | 198 | ex 412 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑤 < 0 → -𝑤 < (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)))) |
| 200 | 19, 37 | ltnled 11408 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑤 < 0 ↔ ¬ 0 ≤
𝑤)) |
| 201 | 200 | bicomd 223 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (¬ 0
≤ 𝑤 ↔ 𝑤 < 0)) |
| 202 | 201 | biimpd 229 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (¬ 0
≤ 𝑤 → 𝑤 < 0)) |
| 203 | 202 | imim1d 82 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑤 < 0 → -𝑤 < (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2))) → (¬ 0 ≤ 𝑤 → -𝑤 < (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2))))) |
| 204 | 199, 203 | mpd 15 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (¬ 0
≤ 𝑤 → -𝑤 < (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)))) |
| 205 | 204 | imp 406 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑤) → -𝑤 < (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2))) |
| 206 | 60, 205 | pm2.61dan 813 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → -𝑤 < (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2))) |
| 207 | 20, 23 | posdifd 11850 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (-𝑤 < (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)) ↔ 0 < ((𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)) − -𝑤))) |
| 208 | 206, 207 | mpbid 232 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 0 <
((𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)) − -𝑤)) |
| 209 | 17 | zcnd 12723 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)) ∈ ℂ) |
| 210 | 7 | zcnd 12723 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑤 ∈
ℂ) |
| 211 | 209, 210 | subnegd 11627 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)) − -𝑤) = ((𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)) + 𝑤)) |
| 212 | 209, 210 | addcomd 11463 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)) + 𝑤) = (𝑤 + (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)))) |
| 213 | 211, 212 | eqtrd 2777 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)) − -𝑤) = (𝑤 + (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)))) |
| 214 | 208, 213 | breqtrd 5169 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 0 <
(𝑤 + (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)))) |
| 215 | 18, 214 | jca 511 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2))) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑤 + (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2))))) |
| 216 | | elnnz 12623 |
. . . . 5
⊢ ((𝑤 + (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2))) ∈ ℕ ↔ ((𝑤 + (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2))) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑤 + (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2))))) |
| 217 | 215, 216 | sylibr 234 |
. . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑤 + (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2))) ∈ ℕ) |
| 218 | 217 | adantr 480 |
. . 3
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑤) + (𝐵 · 𝑧))) → (𝑤 + (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2))) ∈ ℕ) |
| 219 | | simplr 769 |
. . . 4
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑤) + (𝐵 · 𝑧))) → 𝑧 ∈ ℤ) |
| 220 | | simp-4l 783 |
. . . . . 6
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑤) + (𝐵 · 𝑧))) → 𝐴 ∈ ℕ) |
| 221 | 220 | nnzd 12640 |
. . . . 5
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑤) + (𝐵 · 𝑧))) → 𝐴 ∈ ℤ) |
| 222 | | simpllr 776 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑤) + (𝐵 · 𝑧))) → 𝑤 ∈ ℤ) |
| 223 | 222, 222 | zmulcld 12728 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑤) + (𝐵 · 𝑧))) → (𝑤 · 𝑤) ∈ ℤ) |
| 224 | 219, 219 | zmulcld 12728 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑤) + (𝐵 · 𝑧))) → (𝑧 · 𝑧) ∈ ℤ) |
| 225 | 223, 224 | zaddcld 12726 |
. . . . . 6
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑤) + (𝐵 · 𝑧))) → ((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) ∈ ℤ) |
| 226 | 14 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑤) + (𝐵 · 𝑧))) → 2 ∈ ℤ) |
| 227 | 225, 226 | zaddcld 12726 |
. . . . 5
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑤) + (𝐵 · 𝑧))) → (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2) ∈ ℤ) |
| 228 | 221, 227 | zmulcld 12728 |
. . . 4
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑤) + (𝐵 · 𝑧))) → (𝐴 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)) ∈ ℤ) |
| 229 | 219, 228 | zsubcld 12727 |
. . 3
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑤) + (𝐵 · 𝑧))) → (𝑧 − (𝐴 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2))) ∈ ℤ) |
| 230 | | simpr 484 |
. . . 4
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑤) + (𝐵 · 𝑧))) → (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑤) + (𝐵 · 𝑧))) |
| 231 | | simplll 775 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈
ℕ) |
| 232 | 231 | nncnd 12282 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈
ℂ) |
| 233 | 232, 210 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝑤) ∈ ℂ) |
| 234 | 8 | nncnd 12282 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈
ℂ) |
| 235 | 210, 210 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑤 · 𝑤) ∈ ℂ) |
| 236 | 11 | zcnd 12723 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈
ℂ) |
| 237 | 236, 236 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 · 𝑧) ∈ ℂ) |
| 238 | 235, 237 | addcld 11280 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) ∈ ℂ) |
| 239 | | 2cnd 12344 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 2 ∈
ℂ) |
| 240 | 238, 239 | addcld 11280 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2) ∈ ℂ) |
| 241 | 234, 240 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)) ∈ ℂ) |
| 242 | 232, 241 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝐴 · (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2))) ∈ ℂ) |
| 243 | 234, 236 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝑧) ∈ ℂ) |
| 244 | 233, 242,
243 | ppncand 11660 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝐴 · 𝑤) + (𝐴 · (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)))) + ((𝐵 · 𝑧) − (𝐴 · (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2))))) = ((𝐴 · 𝑤) + (𝐵 · 𝑧))) |
| 245 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑤) + (𝐵 · 𝑧)) = ((𝐴 · 𝑤) + (𝐵 · 𝑧))) |
| 246 | 244, 245 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑤) + (𝐵 · 𝑧)) = (((𝐴 · 𝑤) + (𝐴 · (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)))) + ((𝐵 · 𝑧) − (𝐴 · (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)))))) |
| 247 | 16 | zcnd 12723 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2) ∈ ℂ) |
| 248 | 232, 234,
247 | mul12d 11470 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝐴 · (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2))) = (𝐵 · (𝐴 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)))) |
| 249 | 248 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝐵 · 𝑧) − (𝐴 · (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)))) = ((𝐵 · 𝑧) − (𝐵 · (𝐴 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2))))) |
| 250 | 249 | oveq2d 7447 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝐴 · 𝑤) + (𝐴 · (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)))) + ((𝐵 · 𝑧) − (𝐴 · (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2))))) = (((𝐴 · 𝑤) + (𝐴 · (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)))) + ((𝐵 · 𝑧) − (𝐵 · (𝐴 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)))))) |
| 251 | 246, 250 | eqtrd 2777 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑤) + (𝐵 · 𝑧)) = (((𝐴 · 𝑤) + (𝐴 · (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)))) + ((𝐵 · 𝑧) − (𝐵 · (𝐴 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)))))) |
| 252 | 232, 210,
209 | adddid 11285 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝐴 · (𝑤 + (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)))) = ((𝐴 · 𝑤) + (𝐴 · (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2))))) |
| 253 | 252 | eqcomd 2743 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑤) + (𝐴 · (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)))) = (𝐴 · (𝑤 + (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2))))) |
| 254 | 232, 240 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝐴 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)) ∈ ℂ) |
| 255 | 234, 236,
254 | subdid 11719 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝐵 · (𝑧 − (𝐴 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)))) = ((𝐵 · 𝑧) − (𝐵 · (𝐴 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2))))) |
| 256 | 255 | eqcomd 2743 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝐵 · 𝑧) − (𝐵 · (𝐴 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)))) = (𝐵 · (𝑧 − (𝐴 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2))))) |
| 257 | 253, 256 | oveq12d 7449 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝐴 · 𝑤) + (𝐴 · (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)))) + ((𝐵 · 𝑧) − (𝐵 · (𝐴 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2))))) = ((𝐴 · (𝑤 + (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)))) + (𝐵 · (𝑧 − (𝐴 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)))))) |
| 258 | 251, 257 | eqtrd 2777 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑤) + (𝐵 · 𝑧)) = ((𝐴 · (𝑤 + (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)))) + (𝐵 · (𝑧 − (𝐴 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)))))) |
| 259 | 258 | adantr 480 |
. . . 4
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑤) + (𝐵 · 𝑧))) → ((𝐴 · 𝑤) + (𝐵 · 𝑧)) = ((𝐴 · (𝑤 + (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)))) + (𝐵 · (𝑧 − (𝐴 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)))))) |
| 260 | 230, 259 | eqtrd 2777 |
. . 3
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑤) + (𝐵 · 𝑧))) → (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · (𝑤 + (𝐵 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)))) + (𝐵 · (𝑧 − (𝐴 · (((𝑤 · 𝑤) + (𝑧 · 𝑧)) + 2)))))) |
| 261 | 3, 6, 218, 229, 260 | 2rspcedvdw 3636 |
. 2
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ ∧ 𝐵 ∈
ℕ) ∧ 𝑤 ∈
ℤ) ∧ 𝑧 ∈
ℤ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑤) + (𝐵 · 𝑧))) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) |
| 262 | | nnz 12634 |
. . . . 5
⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈
ℤ) |
| 263 | 262 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈
ℤ) |
| 264 | | nnz 12634 |
. . . . 5
⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈
ℤ) |
| 265 | 264 | adantl 481 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈
ℤ) |
| 266 | 263, 265 | jca 511 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ)) |
| 267 | | bezout 16580 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) →
∃𝑤 ∈ ℤ
∃𝑧 ∈ ℤ
(𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑤) + (𝐵 · 𝑧))) |
| 268 | 266, 267 | syl 17 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) →
∃𝑤 ∈ ℤ
∃𝑧 ∈ ℤ
(𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑤) + (𝐵 · 𝑧))) |
| 269 | 261, 268 | r19.29vva 3216 |
1
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) →
∃𝑥 ∈ ℕ
∃𝑦 ∈ ℤ
(𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) |