Theorem psrmnd 43121

Description: The ring of power series is a monoid. (Contributed by SN, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrmnd.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrmnd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrmnd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)

Assertion

Ref	Expression
psrmnd	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Mnd)

Proof of Theorem psrmnd

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrmnd.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
2		ovex 7423	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
3	2	rabex 5292	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
4		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↑s {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) = (𝑅 ↑s {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
5	4	pwsmnd 18796	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V) → (𝑅 ↑s {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∈ Mnd)
6	1, 3, 5	sylancl 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↑s {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∈ Mnd)
7		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8	4, 7	pwsbas 17506	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V) → ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) = (Base‘(𝑅 ↑s {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})))
9	1, 3, 8	sylancl 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) = (Base‘(𝑅 ↑s {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})))
10		psrmnd.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
11		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
12		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
13		psrmnd.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
14	10, 7, 11, 12, 13	psrbas 21973	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
15	14	eqcomd 2767	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) = (Base‘𝑆))
16		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})) = (Base‘(𝑅 ↑s {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
17	1	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))) → 𝑅 ∈ Mnd)
18	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))) → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
19	9	eleq2d 2847	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))))
20	19	biimpa 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})) → 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})))
21	20	adantrr 727	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))) → 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})))
22	9	eleq2d 2847	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ↔ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))))
23	22	biimpa 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})) → 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})))
24	23	adantrl 726	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))) → 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})))
25		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
26		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (+g‘(𝑅 ↑s {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})) = (+g‘(𝑅 ↑s {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
27	4, 16, 17, 18, 21, 24, 25, 26	pwsplusgval 17510	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))) → (𝑥(+g‘(𝑅 ↑s {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))𝑦) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦))
28		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
29	14	eleq2d 2847	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ↔ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})))
30	29	biimpar 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑆))
31	30	adantrr 727	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑆))
32	14	eleq2d 2847	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↔ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})))
33	32	biimpar 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))
34	33	adantrl 726	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))
35	10, 12, 25, 28, 31, 34	psradd 21977	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))) → (𝑥(+g‘𝑆)𝑦) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦))
36	27, 35	eqtr4d 2799	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))) → (𝑥(+g‘(𝑅 ↑s {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))𝑦) = (𝑥(+g‘𝑆)𝑦))
37	9, 15, 36	mndpropd 18783	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 ↑s {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∈ Mnd ↔ 𝑆 ∈ Mnd))
38	6, 37	mpbid 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  {crab 3413  Vcvv 3453  ^◡ccnv 5642   “ cima 5646  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390   ∘_f cof 7652   ↑_m cmap 8801  Fincfn 8920  ℕcn 12203  ℕ₀cn0 12474  Basecbs 17235  +_gcplusg 17276   ↑_s cpws 17465  Mndcmnd 18758   mPwSer cmps 21943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7654  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-supp 8134  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-er 8671  df-map 8803  df-ixp 8873  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fsupp 9301  df-sup 9381  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12475  df-z 12562  df-dec 12682  df-uz 12833  df-fz 13506  df-struct 17173  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-hom 17300  df-cco 17301  df-0g 17460  df-prds 17466  df-pws 17468  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759  df-psr 21948

This theorem is referenced by: (None)