Theorem psrmnd 43427

Description: The ring of power series is a monoid. (Contributed by SN, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrmnd.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrmnd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrmnd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)

Assertion

Ref	Expression
psrmnd	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Mnd)

Proof of Theorem psrmnd

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrmnd.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
2		ovex 7449	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
3	2	rabex 5307	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
4		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↑s {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) = (𝑅 ↑s {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
5	4	pwsmnd 18883	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V) → (𝑅 ↑s {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∈ Mnd)
6	1, 3, 5	sylancl 598	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↑s {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∈ Mnd)
7		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8	4, 7	pwsbas 17576	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V) → ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) = (Base‘(𝑅 ↑s {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})))
9	1, 3, 8	sylancl 598	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) = (Base‘(𝑅 ↑s {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})))
10		psrmnd.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
11		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
12		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
13		psrmnd.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
14	10, 7, 11, 12, 13	psrbas 22153	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
15	14	eqcomd 2768	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) = (Base‘𝑆))
16		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})) = (Base‘(𝑅 ↑s {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
17	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))) → 𝑅 ∈ Mnd)
18	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))) → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
19	9	eleq2d 2848	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))))
20	19	biimpa 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})) → 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})))
21	20	adantrr 730	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))) → 𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})))
22	9	eleq2d 2848	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ↔ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))))
23	22	biimpa 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})) → 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})))
24	23	adantrl 729	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))) → 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})))
25		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
26		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (+g‘(𝑅 ↑s {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})) = (+g‘(𝑅 ↑s {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
27	4, 16, 17, 18, 21, 24, 25, 26	pwsplusgval 17580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))) → (𝑥(+g‘(𝑅 ↑s {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))𝑦) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦))
28		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
29	14	eleq2d 2848	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ↔ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})))
30	29	biimpar 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑆))
31	30	adantrr 730	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑆))
32	14	eleq2d 2848	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↔ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})))
33	32	biimpar 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))
34	33	adantrl 729	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))
35	10, 12, 25, 28, 31, 34	psradd 22157	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))) → (𝑥(+g‘𝑆)𝑦) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦))
36	27, 35	eqtr4d 2800	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))) → (𝑥(+g‘(𝑅 ↑s {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))𝑦) = (𝑥(+g‘𝑆)𝑦))
37	9, 15, 36	mndpropd 18868	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 ↑s {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∈ Mnd ↔ 𝑆 ∈ Mnd))
38	6, 37	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Mnd)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3414  Vcvv 3453  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ∘_f cof 7679   ↑_m cmap 8829  Fincfn 8955  ℕcn 12260  ℕ₀cn0 12531  Basecbs 17305  +_gcplusg 17346   ↑_s cpws 17535  Mndcmnd 18840   mPwSer cmps 22123

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13564  df-struct 17243  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-hom 17370  df-cco 17371  df-0g 17530  df-prds 17536  df-pws 17538  df-mgm 18734  df-sgrp 18825  df-mnd 18841  df-psr 22128

This theorem is used by: (None)