Theorem rhmkerinj 20642

Description: A ring homomorphism is injective if and only if its kernel is zero. (Contributed by Jeff Madsen, 16-Jun-2011.) (Revised by AV, 24-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmkerinj.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rhmkerinj.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
rhmkerinj.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
rhmkerinj.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmkerinj	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹:𝐵–1-1→𝐶 ↔ (◡𝐹 “ {𝑍}) = { 0 }))

Proof of Theorem rhmkerinj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmghm 20616	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
2		rhmkerinj.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rhmkerinj.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
4		rhmkerinj.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		rhmkerinj.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑆)
6	2, 3, 4, 5	kerf1ghm 19365	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹:𝐵–1-1→𝐶 ↔ (◡𝐹 “ {𝑍}) = { 0 }))
7	1, 6	syl 18	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹:𝐵–1-1→𝐶 ↔ (◡𝐹 “ {𝑍}) = { 0 }))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {csn 4591  ^◡ccnv 5662   “ cima 5666  –1-1→wf1 6537  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17295  0_gc0g 17518   GrpHom cghm 19331   RingHom crh 20601

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12253  df-2 12322  df-sets 17250  df-slot 17268  df-ndx 17280  df-base 17296  df-plusg 17349  df-0g 17520  df-mgm 18724  df-sgrp 18813  df-mnd 18829  df-mhm 18882  df-grp 19051  df-minusg 19052  df-sbg 19053  df-ghm 19332  df-mgp 20265  df-ur 20312  df-ring 20365  df-rhm 20604

This theorem is used by: (None)