Theorem rhmghm 20626

Description: A ring homomorphism is an additive group homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rhmghm	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

Proof of Theorem rhmghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
3	1, 2	isrhm 20621	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))))
4	3	simprbi 503	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))))
5	4	simpld 500	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   MndHom cmhm 18890   GrpHom cghm 19341  mulGrpcmgp 20274  Ringcrg 20373   RingHom crh 20611

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-plusg 17359  df-0g 17530  df-mhm 18892  df-ghm 19342  df-mgp 20275  df-ur 20322  df-ring 20375  df-rhm 20614

This theorem is used by:  rhmf  20627  rhmadd  20630  rhmsub  20631  rhm0  20635  rhmf1o  20639  rimgim  20646  rhmco  20651  rhmkerinj  20652  pwsco2rhm  20654  rhmopp  20670  nrhmzr  20700  rhmimasubrng  20729  resrhm  20764  rhmeql  20766  rhmima  20767  imadrhmcl  20964  srngadd  21018  srng0  21021  rhmpreimaidl  21480  rhmqusnsg  21489  mulgrhm2  21692  zrh0  21727  fermltlchr  21743  chrrhm  21745  zndvds0  21764  zzngim  21766  cygznlem3  21783  zrhpsgnodpm  21806  mplind  22287  evlslem3  22297  evlslem6  22298  evlslem1  22299  evlsgsumadd  22313  evladdval  22320  mpfind  22332  rhmcomulmpl  22341  evlsaddval  22346  selvcllem4  22355  selvvvval  22359  selvadd  22360  selvmul  22361  evls1gsumadd  22550  evl1addd  22567  evl1subd  22568  evls1maplmhm  22603  rhmmpl  22606  rhmply1vr1  22610  rhmply1vsca  22611  ply1rem  26393  plypf1  26439  fxpsubrg  33601  ricnzr1  33715  ricdomn1  33716  znfermltl  33788  rhmquskerlem  33840  rhmqusker  33841  rhmimaidl  33847  mplidomlem  34024  algextdeglem4  34217  zrhf1ker  34470  zrhneg  34475  zrhcntr  34476  qqhghm  34485  qqhrhm  34486  rhmzrhval  42825  fldhmf1  42943  aks6d1c1p2  42962  aks6d1c1p3  42963  aks6d1c5lem1  42989  aks6d1c5lem2  42991  rhmqusspan  43038  aks5lem2  43040  aks5lem3a  43042  ricdrng1  43397  rhmcomulpsr  43415  rhmpsr  43416