Theorem rhmghm 20436

Description: A ring homomorphism is an additive group homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rhmghm	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

Proof of Theorem rhmghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
3	1, 2	isrhm 20431	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))))
4	3	simprbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))))
5	4	simpld 494	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370   MndHom cmhm 18720   GrpHom cghm 19158  mulGrpcmgp 20092  Ringcrg 20185   RingHom crh 20422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-map 8779  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-plusg 17204  df-0g 17375  df-mhm 18722  df-ghm 19159  df-mgp 20093  df-ur 20134  df-ring 20187  df-rhm 20425

This theorem is referenced by:  rhmf  20437  rhmf1o  20443  rimgim  20447  rhmco  20451  pwsco2rhm  20453  rhmopp  20459  nrhmzr  20487  rhmimasubrng  20516  resrhm  20551  rhmeql  20553  rhmima  20554  imadrhmcl  20747  srngadd  20801  srng0  20804  rhmpreimaidl  21249  rhmqusnsg  21257  mulgrhm2  21450  zrh0  21485  fermltlchr  21501  chrrhm  21503  zndvds0  21522  zzngim  21524  cygznlem3  21541  zrhpsgnodpm  21564  mplind  22042  evlslem3  22052  evlslem6  22053  evlslem1  22054  evlsgsumadd  22068  evladdval  22075  mpfind  22087  evls1gsumadd  22285  evl1addd  22302  evl1subd  22303  evls1maplmhm  22338  rhmcomulmpl  22343  rhmmpl  22344  rhmply1vr1  22348  rhmply1vsca  22349  ply1rem  26144  plypf1  26190  fxpsubrg  33274  znfermltl  33465  rhmquskerlem  33524  rhmqusker  33525  rhmimaidl  33531  algextdeglem4  33904  zrhf1ker  34157  zrhneg  34162  zrhcntr  34163  qqhghm  34172  qqhrhm  34173  rhmzrhval  42370  fldhmf1  42489  aks6d1c1p2  42508  aks6d1c1p3  42509  aks6d1c5lem1  42535  aks6d1c5lem2  42537  rhmqusspan  42584  aks5lem2  42586  aks5lem3a  42588  ricdrng1  42927  rhmcomulpsr  42948  rhmpsr  42949  evlsaddval  42958  selvcllem4  42968  selvvvval  42972  selvadd  42975  selvmul  42976