Theorem rhmghm 20400

Description: A ring homomorphism is an additive group homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rhmghm	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

Proof of Theorem rhmghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
3	1, 2	isrhm 20394	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))))
4	3	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))))
5	4	simpld 494	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   MndHom cmhm 18715   GrpHom cghm 19151  mulGrpcmgp 20056  Ringcrg 20149   RingHom crh 20385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-0g 17411  df-mhm 18717  df-ghm 19152  df-mgp 20057  df-ur 20098  df-ring 20151  df-rhm 20388

This theorem is referenced by:  rhmf  20401  rhmf1o  20407  rimgim  20413  rhmco  20417  pwsco2rhm  20419  rhmopp  20425  nrhmzr  20453  rhmimasubrng  20482  resrhm  20517  rhmeql  20519  rhmima  20520  imadrhmcl  20713  srngadd  20767  srng0  20770  rhmpreimaidl  21194  rhmqusnsg  21202  mulgrhm2  21395  zrh0  21430  fermltlchr  21446  chrrhm  21448  zndvds0  21467  zzngim  21469  cygznlem3  21486  zrhpsgnodpm  21508  mplind  21984  evlslem3  21994  evlslem6  21995  evlslem1  21996  evlsgsumadd  22005  mpfind  22021  evls1gsumadd  22218  evl1addd  22235  evl1subd  22236  evls1maplmhm  22271  rhmcomulmpl  22276  rhmmpl  22277  rhmply1vr1  22281  rhmply1vsca  22282  ply1rem  26078  plypf1  26124  znfermltl  33344  rhmquskerlem  33403  rhmqusker  33404  rhmimaidl  33410  algextdeglem4  33717  zrhf1ker  33970  zrhneg  33975  zrhcntr  33976  qqhghm  33985  qqhrhm  33986  rhmzrhval  41966  fldhmf1  42085  aks6d1c1p2  42104  aks6d1c1p3  42105  aks6d1c5lem1  42131  aks6d1c5lem2  42133  rhmqusspan  42180  aks5lem2  42182  aks5lem3a  42184  ricdrng1  42523  rhmcomulpsr  42546  rhmpsr  42547  evlsaddval  42563  evladdval  42570  selvcllem4  42576  selvvvval  42580  selvadd  42583  selvmul  42584