Theorem rhmghm 20484

Description: A ring homomorphism is an additive group homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rhmghm	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

Proof of Theorem rhmghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
3	1, 2	isrhm 20478	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))))
4	3	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))))
5	4	simpld 494	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   MndHom cmhm 18794   GrpHom cghm 19230  mulGrpcmgp 20137  Ringcrg 20230   RingHom crh 20469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mhm 18796  df-ghm 19231  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-rhm 20472

This theorem is referenced by:  rhmf  20485  rhmf1o  20491  rimgim  20497  rhmco  20501  pwsco2rhm  20503  rhmopp  20509  nrhmzr  20537  rhmimasubrng  20566  resrhm  20601  rhmeql  20603  rhmima  20604  imadrhmcl  20798  srngadd  20852  srng0  20855  rhmpreimaidl  21287  rhmqusnsg  21295  mulgrhm2  21489  zrh0  21524  fermltlchr  21544  chrrhm  21546  zndvds0  21569  zzngim  21571  cygznlem3  21588  zrhpsgnodpm  21610  mplind  22094  evlslem3  22104  evlslem6  22105  evlslem1  22106  evlsgsumadd  22115  mpfind  22131  evls1gsumadd  22328  evl1addd  22345  evl1subd  22346  evls1maplmhm  22381  rhmcomulmpl  22386  rhmmpl  22387  rhmply1vr1  22391  rhmply1vsca  22392  ply1rem  26205  plypf1  26251  znfermltl  33394  rhmquskerlem  33453  rhmqusker  33454  rhmimaidl  33460  algextdeglem4  33761  zrhf1ker  33974  zrhneg  33979  zrhcntr  33980  qqhghm  33989  qqhrhm  33990  rhmzrhval  41971  fldhmf1  42091  aks6d1c1p2  42110  aks6d1c1p3  42111  aks6d1c5lem1  42137  aks6d1c5lem2  42139  rhmqusspan  42186  aks5lem2  42188  aks5lem3a  42190  ricdrng1  42538  rhmcomulpsr  42561  rhmpsr  42562  evlsaddval  42578  evladdval  42585  selvcllem4  42591  selvvvval  42595  selvadd  42598  selvmul  42599