Theorem rhmghm 20423

Description: A ring homomorphism is an additive group homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rhmghm	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

Proof of Theorem rhmghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
3	1, 2	isrhm 20418	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))))
4	3	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))))
5	4	simpld 494	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360   MndHom cmhm 18710   GrpHom cghm 19145  mulGrpcmgp 20079  Ringcrg 20172   RingHom crh 20409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-plusg 17194  df-0g 17365  df-mhm 18712  df-ghm 19146  df-mgp 20080  df-ur 20121  df-ring 20174  df-rhm 20412

This theorem is referenced by:  rhmf  20424  rhmf1o  20430  rimgim  20434  rhmco  20438  pwsco2rhm  20440  rhmopp  20446  nrhmzr  20474  rhmimasubrng  20503  resrhm  20538  rhmeql  20540  rhmima  20541  imadrhmcl  20734  srngadd  20788  srng0  20791  rhmpreimaidl  21236  rhmqusnsg  21244  mulgrhm2  21437  zrh0  21472  fermltlchr  21488  chrrhm  21490  zndvds0  21509  zzngim  21511  cygznlem3  21528  zrhpsgnodpm  21551  mplind  22029  evlslem3  22039  evlslem6  22040  evlslem1  22041  evlsgsumadd  22055  evladdval  22062  mpfind  22074  evls1gsumadd  22272  evl1addd  22289  evl1subd  22290  evls1maplmhm  22325  rhmcomulmpl  22330  rhmmpl  22331  rhmply1vr1  22335  rhmply1vsca  22336  ply1rem  26131  plypf1  26177  fxpsubrg  33258  znfermltl  33449  rhmquskerlem  33508  rhmqusker  33509  rhmimaidl  33515  algextdeglem4  33879  zrhf1ker  34132  zrhneg  34137  zrhcntr  34138  qqhghm  34147  qqhrhm  34148  rhmzrhval  42293  fldhmf1  42412  aks6d1c1p2  42431  aks6d1c1p3  42432  aks6d1c5lem1  42458  aks6d1c5lem2  42460  rhmqusspan  42507  aks5lem2  42509  aks5lem3a  42511  ricdrng1  42850  rhmcomulpsr  42871  rhmpsr  42872  evlsaddval  42881  selvcllem4  42891  selvvvval  42895  selvadd  42898  selvmul  42899