Theorem rhmghm 20421

Description: A ring homomorphism is an additive group homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rhmghm	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

Proof of Theorem rhmghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
3	1, 2	isrhm 20416	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))))
4	3	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))))
5	4	simpld 494	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358   MndHom cmhm 18708   GrpHom cghm 19143  mulGrpcmgp 20077  Ringcrg 20170   RingHom crh 20407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-map 8767  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-0g 17363  df-mhm 18710  df-ghm 19144  df-mgp 20078  df-ur 20119  df-ring 20172  df-rhm 20410

This theorem is referenced by:  rhmf  20422  rhmf1o  20428  rimgim  20432  rhmco  20436  pwsco2rhm  20438  rhmopp  20444  nrhmzr  20472  rhmimasubrng  20501  resrhm  20536  rhmeql  20538  rhmima  20539  imadrhmcl  20732  srngadd  20786  srng0  20789  rhmpreimaidl  21234  rhmqusnsg  21242  mulgrhm2  21435  zrh0  21470  fermltlchr  21486  chrrhm  21488  zndvds0  21507  zzngim  21509  cygznlem3  21526  zrhpsgnodpm  21549  mplind  22027  evlslem3  22037  evlslem6  22038  evlslem1  22039  evlsgsumadd  22053  evladdval  22060  mpfind  22072  evls1gsumadd  22270  evl1addd  22287  evl1subd  22288  evls1maplmhm  22323  rhmcomulmpl  22328  rhmmpl  22329  rhmply1vr1  22333  rhmply1vsca  22334  ply1rem  26129  plypf1  26175  fxpsubrg  33235  znfermltl  33426  rhmquskerlem  33485  rhmqusker  33486  rhmimaidl  33492  algextdeglem4  33856  zrhf1ker  34109  zrhneg  34114  zrhcntr  34115  qqhghm  34124  qqhrhm  34125  rhmzrhval  42260  fldhmf1  42379  aks6d1c1p2  42398  aks6d1c1p3  42399  aks6d1c5lem1  42425  aks6d1c5lem2  42427  rhmqusspan  42474  aks5lem2  42476  aks5lem3a  42478  ricdrng1  42820  rhmcomulpsr  42841  rhmpsr  42842  evlsaddval  42851  selvcllem4  42861  selvvvval  42865  selvadd  42868  selvmul  42869