Theorem rhmghm 20564

Description: A ring homomorphism is an additive group homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rhmghm	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

Proof of Theorem rhmghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
3	1, 2	isrhm 20559	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))))
4	3	simprbi 502	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))))
5	4	simpld 499	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   MndHom cmhm 18838   GrpHom cghm 19282  mulGrpcmgp 20215  Ringcrg 20314   RingHom crh 20550

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-plusg 17322  df-0g 17493  df-mhm 18840  df-ghm 19283  df-mgp 20216  df-ur 20263  df-ring 20316  df-rhm 20553

This theorem is referenced by:  rhmf  20565  rhmf1o  20572  rimgim  20578  rhmco  20582  pwsco2rhm  20584  rhmopp  20591  nrhmzr  20621  rhmimasubrng  20650  resrhm  20685  rhmeql  20687  rhmima  20688  imadrhmcl  20879  srngadd  20933  srng0  20936  rhmpreimaidl  21395  rhmqusnsg  21404  mulgrhm2  21607  zrh0  21642  fermltlchr  21658  chrrhm  21660  zndvds0  21679  zzngim  21681  cygznlem3  21698  zrhpsgnodpm  21721  mplind  22200  evlslem3  22210  evlslem6  22211  evlslem1  22212  evlsgsumadd  22226  evladdval  22233  mpfind  22245  rhmcomulmpl  22254  evlsaddval  22259  selvcllem4  22268  selvvvval  22272  selvadd  22273  selvmul  22274  evls1gsumadd  22463  evl1addd  22480  evl1subd  22481  evls1maplmhm  22516  rhmmpl  22519  rhmply1vr1  22523  rhmply1vsca  22524  ply1rem  26302  plypf1  26348  fxpsubrg  33460  ricnzr1  33574  ricdomn1  33575  znfermltl  33647  rhmquskerlem  33699  rhmqusker  33700  rhmimaidl  33706  mplidomlem  33883  algextdeglem4  34076  zrhf1ker  34329  zrhneg  34334  zrhcntr  34335  qqhghm  34344  qqhrhm  34345  rhmzrhval  42685  fldhmf1  42803  aks6d1c1p2  42822  aks6d1c1p3  42823  aks6d1c5lem1  42849  aks6d1c5lem2  42851  rhmqusspan  42898  aks5lem2  42900  aks5lem3a  42902  ricdrng1  43244  rhmcomulpsr  43262  rhmpsr  43263