Theorem rhmghm 20444

Description: A ring homomorphism is an additive group homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rhmghm	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

Proof of Theorem rhmghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
3	1, 2	isrhm 20438	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))))
4	3	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))))
5	4	simpld 494	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   MndHom cmhm 18759   GrpHom cghm 19195  mulGrpcmgp 20100  Ringcrg 20193   RingHom crh 20429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17284  df-0g 17455  df-mhm 18761  df-ghm 19196  df-mgp 20101  df-ur 20142  df-ring 20195  df-rhm 20432

This theorem is referenced by:  rhmf  20445  rhmf1o  20451  rimgim  20457  rhmco  20461  pwsco2rhm  20463  rhmopp  20469  nrhmzr  20497  rhmimasubrng  20526  resrhm  20561  rhmeql  20563  rhmima  20564  imadrhmcl  20757  srngadd  20811  srng0  20814  rhmpreimaidl  21238  rhmqusnsg  21246  mulgrhm2  21439  zrh0  21474  fermltlchr  21490  chrrhm  21492  zndvds0  21511  zzngim  21513  cygznlem3  21530  zrhpsgnodpm  21552  mplind  22028  evlslem3  22038  evlslem6  22039  evlslem1  22040  evlsgsumadd  22049  mpfind  22065  evls1gsumadd  22262  evl1addd  22279  evl1subd  22280  evls1maplmhm  22315  rhmcomulmpl  22320  rhmmpl  22321  rhmply1vr1  22325  rhmply1vsca  22326  ply1rem  26123  plypf1  26169  znfermltl  33381  rhmquskerlem  33440  rhmqusker  33441  rhmimaidl  33447  algextdeglem4  33754  zrhf1ker  34004  zrhneg  34009  zrhcntr  34010  qqhghm  34019  qqhrhm  34020  rhmzrhval  41984  fldhmf1  42103  aks6d1c1p2  42122  aks6d1c1p3  42123  aks6d1c5lem1  42149  aks6d1c5lem2  42151  rhmqusspan  42198  aks5lem2  42200  aks5lem3a  42202  ricdrng1  42551  rhmcomulpsr  42574  rhmpsr  42575  evlsaddval  42591  evladdval  42598  selvcllem4  42604  selvvvval  42608  selvadd  42611  selvmul  42612