Theorem rhmghm 20534

Description: A ring homomorphism is an additive group homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rhmghm	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

Proof of Theorem rhmghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2764	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		eqid 2764	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
3	1, 2	isrhm 20529	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))))
4	3	simprbi 501	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))))
5	4	simpld 498	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398   MndHom cmhm 18817   GrpHom cghm 19255  mulGrpcmgp 20188  Ringcrg 20285   RingHom crh 20520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-plusg 17301  df-0g 17472  df-mhm 18819  df-ghm 19256  df-mgp 20189  df-ur 20234  df-ring 20287  df-rhm 20523

This theorem is referenced by:  rhmf  20535  rhmf1o  20542  rimgim  20548  rhmco  20552  pwsco2rhm  20554  rhmopp  20561  nrhmzr  20589  rhmimasubrng  20618  resrhm  20653  rhmeql  20655  rhmima  20656  imadrhmcl  20848  srngadd  20902  srng0  20905  rhmpreimaidl  21349  rhmqusnsg  21357  mulgrhm2  21532  zrh0  21567  fermltlchr  21583  chrrhm  21585  zndvds0  21604  zzngim  21606  cygznlem3  21623  zrhpsgnodpm  21646  mplind  22125  evlslem3  22135  evlslem6  22136  evlslem1  22137  evlsgsumadd  22151  evladdval  22158  mpfind  22170  rhmcomulmpl  22179  evlsaddval  22184  selvcllem4  22193  selvvvval  22197  selvadd  22198  selvmul  22199  evls1gsumadd  22389  evl1addd  22406  evl1subd  22407  evls1maplmhm  22442  rhmmpl  22445  rhmply1vr1  22449  rhmply1vsca  22450  ply1rem  26228  plypf1  26274  fxpsubrg  33356  ricnzr1  33474  ricdomn1  33475  znfermltl  33554  rhmquskerlem  33613  rhmqusker  33614  rhmimaidl  33620  mplidomlem  33826  algextdeglem4  34019  zrhf1ker  34272  zrhneg  34277  zrhcntr  34278  qqhghm  34287  qqhrhm  34288  rhmzrhval  42594  fldhmf1  42712  aks6d1c1p2  42731  aks6d1c1p3  42732  aks6d1c5lem1  42758  aks6d1c5lem2  42760  rhmqusspan  42807  aks5lem2  42809  aks5lem3a  42811  ricdrng1  43151  rhmcomulpsr  43169  rhmpsr  43170