Theorem rhmghm 20714

Description: A ring homomorphism is an additive group homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rhmghm	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

Proof of Theorem rhmghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
3	1, 2	isrhm 20709	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))))
4	3	simprbi 503	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))))
5	4	simpld 500	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   MndHom cmhm 18976   GrpHom cghm 19427  mulGrpcmgp 20360  Ringcrg 20459   RingHom crh 20699

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-0g 17612  df-mhm 18978  df-ghm 19428  df-mgp 20361  df-ur 20408  df-ring 20461  df-rhm 20702

This theorem is used by:  rhmf  20715  rhmadd  20718  rhmsub  20719  rhm0  20723  rhmf1o  20727  rimgim  20734  rhmco  20739  rhmkerinj  20740  pwsco2rhm  20742  rhmopp  20759  nrhmzr  20789  rhmimasubrng  20818  resrhm  20853  rhmeql  20855  rhmima  20856  imadrhmcl  21054  srngadd  21108  srng0  21111  rhmpreimaidl  21571  rhmqusnsg  21581  mulgrhm2  21784  zrh0  21819  fermltlchr  21835  chrrhm  21837  zndvds0  21856  zzngim  21858  cygznlem3  21875  zrhpsgnodpm  21898  mplind  22379  evlslem3  22389  evlslem6  22390  evlslem1  22391  evlsgsumadd  22405  evladdval  22412  mpfind  22424  rhmcomulmpl  22433  evlsaddval  22438  selvcllem4  22447  selvvvval  22451  selvadd  22452  selvmul  22453  evls1gsumadd  22642  evl1addd  22659  evl1subd  22660  evls1maplmhm  22695  rhmmpl  22698  rhmply1vr1  22702  rhmply1vsca  22703  ply1rem  26484  plypf1  26531  fxpsubrg  33735  ricnzr1  33849  ricdomn1  33850  znfermltl  33922  rhmquskerlem  33975  rhmqusker  33976  rhmimaidl  33982  mplidomlem  34159  algextdeglem4  34352  zrhf1ker  34605  zrhneg  34610  zrhcntr  34611  qqhghm  34620  qqhrhm  34621  rhmzrhval  43023  fldhmf1  43141  aks6d1c1p2  43160  aks6d1c1p3  43161  aks6d1c5lem1  43187  aks6d1c5lem2  43189  rhmqusspan  43236  aks5lem2  43238  aks5lem3a  43240  ricdrng1  43593  rhmcomulpsr  43611  rhmpsr  43612