Theorem rhmghm 20453

Description: A ring homomorphism is an additive group homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rhmghm	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

Proof of Theorem rhmghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
3	1, 2	isrhm 20447	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))))
4	3	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))))
5	4	simpld 494	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413   MndHom cmhm 18764   GrpHom cghm 19200  mulGrpcmgp 20106  Ringcrg 20199   RingHom crh 20438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8727  df-map 8850  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-sets 17184  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-plusg 17287  df-0g 17458  df-mhm 18766  df-ghm 19201  df-mgp 20107  df-ur 20148  df-ring 20201  df-rhm 20441

This theorem is referenced by:  rhmf  20454  rhmf1o  20460  rimgim  20466  rhmco  20470  pwsco2rhm  20472  rhmopp  20478  nrhmzr  20506  rhmimasubrng  20535  resrhm  20570  rhmeql  20572  rhmima  20573  imadrhmcl  20767  srngadd  20821  srng0  20824  rhmpreimaidl  21250  rhmqusnsg  21258  mulgrhm2  21452  zrh0  21487  fermltlchr  21503  chrrhm  21505  zndvds0  21524  zzngim  21526  cygznlem3  21543  zrhpsgnodpm  21565  mplind  22043  evlslem3  22053  evlslem6  22054  evlslem1  22055  evlsgsumadd  22064  mpfind  22080  evls1gsumadd  22277  evl1addd  22294  evl1subd  22295  evls1maplmhm  22330  rhmcomulmpl  22335  rhmmpl  22336  rhmply1vr1  22340  rhmply1vsca  22341  ply1rem  26142  plypf1  26188  znfermltl  33334  rhmquskerlem  33393  rhmqusker  33394  rhmimaidl  33400  algextdeglem4  33705  zrhf1ker  33949  zrhneg  33954  zrhcntr  33955  qqhghm  33964  qqhrhm  33965  rhmzrhval  41946  fldhmf1  42066  aks6d1c1p2  42085  aks6d1c1p3  42086  aks6d1c5lem1  42112  aks6d1c5lem2  42114  rhmqusspan  42161  aks5lem2  42163  aks5lem3a  42165  ricdrng1  42517  rhmcomulpsr  42540  rhmpsr  42541  evlsaddval  42557  evladdval  42564  selvcllem4  42570  selvvvval  42574  selvadd  42577  selvmul  42578