Theorem rhmghm 20463

Description: A ring homomorphism is an additive group homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rhmghm	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

Proof of Theorem rhmghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
3	1, 2	isrhm 20458	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))))
4	3	simprbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))))
5	4	simpld 494	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   MndHom cmhm 18749   GrpHom cghm 19187  mulGrpcmgp 20121  Ringcrg 20214   RingHom crh 20449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mhm 18751  df-ghm 19188  df-mgp 20122  df-ur 20163  df-ring 20216  df-rhm 20452

This theorem is referenced by:  rhmf  20464  rhmf1o  20470  rimgim  20474  rhmco  20478  pwsco2rhm  20480  rhmopp  20486  nrhmzr  20514  rhmimasubrng  20543  resrhm  20578  rhmeql  20580  rhmima  20581  imadrhmcl  20774  srngadd  20828  srng0  20831  rhmpreimaidl  21275  rhmqusnsg  21283  mulgrhm2  21458  zrh0  21493  fermltlchr  21509  chrrhm  21511  zndvds0  21530  zzngim  21532  cygznlem3  21549  zrhpsgnodpm  21572  mplind  22048  evlslem3  22058  evlslem6  22059  evlslem1  22060  evlsgsumadd  22074  evladdval  22081  mpfind  22093  evls1gsumadd  22289  evl1addd  22306  evl1subd  22307  evls1maplmhm  22342  rhmcomulmpl  22347  rhmmpl  22348  rhmply1vr1  22352  rhmply1vsca  22353  ply1rem  26131  plypf1  26177  fxpsubrg  33235  znfermltl  33426  rhmquskerlem  33485  rhmqusker  33486  rhmimaidl  33492  algextdeglem4  33864  zrhf1ker  34117  zrhneg  34122  zrhcntr  34123  qqhghm  34132  qqhrhm  34133  rhmzrhval  42411  fldhmf1  42529  aks6d1c1p2  42548  aks6d1c1p3  42549  aks6d1c5lem1  42575  aks6d1c5lem2  42577  rhmqusspan  42624  aks5lem2  42626  aks5lem3a  42628  ricdrng1  42973  rhmcomulpsr  42994  rhmpsr  42995  evlsaddval  43004  selvcllem4  43014  selvvvval  43018  selvadd  43021  selvmul  43022