Theorem rhmghm 20500

Description: A ring homomorphism is an additive group homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rhmghm	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

Proof of Theorem rhmghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
3	1, 2	isrhm 20494	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))))
4	3	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))))
5	4	simpld 494	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430   MndHom cmhm 18806   GrpHom cghm 19242  mulGrpcmgp 20151  Ringcrg 20250   RingHom crh 20485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-plusg 17310  df-0g 17487  df-mhm 18808  df-ghm 19243  df-mgp 20152  df-ur 20199  df-ring 20252  df-rhm 20488

This theorem is referenced by:  rhmf  20501  rhmf1o  20507  rimgim  20513  rhmco  20517  pwsco2rhm  20519  rhmopp  20525  nrhmzr  20553  rhmimasubrng  20582  resrhm  20617  rhmeql  20619  rhmima  20620  imadrhmcl  20814  srngadd  20868  srng0  20871  rhmpreimaidl  21304  rhmqusnsg  21312  mulgrhm2  21506  zrh0  21541  fermltlchr  21561  chrrhm  21563  zndvds0  21586  zzngim  21588  cygznlem3  21605  zrhpsgnodpm  21627  mplind  22111  evlslem3  22121  evlslem6  22122  evlslem1  22123  evlsgsumadd  22132  mpfind  22148  evls1gsumadd  22343  evl1addd  22360  evl1subd  22361  evls1maplmhm  22396  rhmcomulmpl  22401  rhmmpl  22402  rhmply1vr1  22406  rhmply1vsca  22407  ply1rem  26219  plypf1  26265  znfermltl  33373  rhmquskerlem  33432  rhmqusker  33433  rhmimaidl  33439  algextdeglem4  33725  zrhf1ker  33935  zrhneg  33940  zrhcntr  33941  qqhghm  33950  qqhrhm  33951  rhmzrhval  41951  fldhmf1  42071  aks6d1c1p2  42090  aks6d1c1p3  42091  aks6d1c5lem1  42117  aks6d1c5lem2  42119  rhmqusspan  42166  aks5lem2  42168  aks5lem3a  42170  ricdrng1  42514  rhmcomulpsr  42537  rhmpsr  42538  evlsaddval  42554  evladdval  42561  selvcllem4  42567  selvvvval  42571  selvadd  42574  selvmul  42575