Theorem rhmghm 20573

Description: A ring homomorphism is an additive group homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rhmghm	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

Proof of Theorem rhmghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
3	1, 2	isrhm 20568	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))))
4	3	simprbi 502	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))))
5	4	simpld 499	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412   MndHom cmhm 18845   GrpHom cghm 19289  mulGrpcmgp 20222  Ringcrg 20321   RingHom crh 20558

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-plusg 17329  df-0g 17500  df-mhm 18847  df-ghm 19290  df-mgp 20223  df-ur 20270  df-ring 20323  df-rhm 20561

This theorem is used by:  rhmf  20574  rhmadd  20577  rhmsub  20578  rhm0  20582  rhmf1o  20586  rimgim  20593  rhmco  20598  rhmkerinj  20599  pwsco2rhm  20601  rhmopp  20617  nrhmzr  20647  rhmimasubrng  20676  resrhm  20711  rhmeql  20713  rhmima  20714  imadrhmcl  20911  srngadd  20965  srng0  20968  rhmpreimaidl  21427  rhmqusnsg  21436  mulgrhm2  21639  zrh0  21674  fermltlchr  21690  chrrhm  21692  zndvds0  21711  zzngim  21713  cygznlem3  21730  zrhpsgnodpm  21753  mplind  22232  evlslem3  22242  evlslem6  22243  evlslem1  22244  evlsgsumadd  22258  evladdval  22265  mpfind  22277  rhmcomulmpl  22286  evlsaddval  22291  selvcllem4  22300  selvvvval  22304  selvadd  22305  selvmul  22306  evls1gsumadd  22495  evl1addd  22512  evl1subd  22513  evls1maplmhm  22548  rhmmpl  22551  rhmply1vr1  22555  rhmply1vsca  22556  ply1rem  26334  plypf1  26380  fxpsubrg  33503  ricnzr1  33617  ricdomn1  33618  znfermltl  33690  rhmquskerlem  33742  rhmqusker  33743  rhmimaidl  33749  mplidomlem  33926  algextdeglem4  34119  zrhf1ker  34372  zrhneg  34377  zrhcntr  34378  qqhghm  34387  qqhrhm  34388  rhmzrhval  42767  fldhmf1  42885  aks6d1c1p2  42904  aks6d1c1p3  42905  aks6d1c5lem1  42931  aks6d1c5lem2  42933  rhmqusspan  42980  aks5lem2  42982  aks5lem3a  42984  ricdrng1  43324  rhmcomulpsr  43342  rhmpsr  43343