Theorem rhmghm 20393

Description: A ring homomorphism is an additive group homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rhmghm	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

Proof of Theorem rhmghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
3	1, 2	isrhm 20387	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))))
4	3	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))))
5	4	simpld 494	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   MndHom cmhm 18708   GrpHom cghm 19144  mulGrpcmgp 20049  Ringcrg 20142   RingHom crh 20378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mhm 18710  df-ghm 19145  df-mgp 20050  df-ur 20091  df-ring 20144  df-rhm 20381

This theorem is referenced by:  rhmf  20394  rhmf1o  20400  rimgim  20406  rhmco  20410  pwsco2rhm  20412  rhmopp  20418  nrhmzr  20446  rhmimasubrng  20475  resrhm  20510  rhmeql  20512  rhmima  20513  imadrhmcl  20706  srngadd  20760  srng0  20763  rhmpreimaidl  21187  rhmqusnsg  21195  mulgrhm2  21388  zrh0  21423  fermltlchr  21439  chrrhm  21441  zndvds0  21460  zzngim  21462  cygznlem3  21479  zrhpsgnodpm  21501  mplind  21977  evlslem3  21987  evlslem6  21988  evlslem1  21989  evlsgsumadd  21998  mpfind  22014  evls1gsumadd  22211  evl1addd  22228  evl1subd  22229  evls1maplmhm  22264  rhmcomulmpl  22269  rhmmpl  22270  rhmply1vr1  22274  rhmply1vsca  22275  ply1rem  26071  plypf1  26117  znfermltl  33337  rhmquskerlem  33396  rhmqusker  33397  rhmimaidl  33403  algextdeglem4  33710  zrhf1ker  33963  zrhneg  33968  zrhcntr  33969  qqhghm  33978  qqhrhm  33979  rhmzrhval  41959  fldhmf1  42078  aks6d1c1p2  42097  aks6d1c1p3  42098  aks6d1c5lem1  42124  aks6d1c5lem2  42126  rhmqusspan  42173  aks5lem2  42175  aks5lem3a  42177  ricdrng1  42516  rhmcomulpsr  42539  rhmpsr  42540  evlsaddval  42556  evladdval  42563  selvcllem4  42569  selvvvval  42573  selvadd  42576  selvmul  42577