Theorem rhmghm 20741

Description: A ring homomorphism is an additive group homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rhmghm	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

Proof of Theorem rhmghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
3	1, 2	isrhm 20736	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))))
4	3	simprbi 503	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))))
5	4	simpld 500	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   MndHom cmhm 19002   GrpHom cghm 19453  mulGrpcmgp 20387  Ringcrg 20486   RingHom crh 20726

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-plusg 17467  df-0g 17638  df-mhm 19004  df-ghm 19454  df-mgp 20388  df-ur 20435  df-ring 20488  df-rhm 20729

This theorem is used by:  rhmf  20742  rhmadd  20745  rhmsub  20746  rhm0  20750  rhmf1o  20754  rimgim  20761  rhmco  20766  rhmkerinj  20767  pwsco2rhm  20769  rhmopp  20786  nrhmzr  20816  rhmimasubrng  20845  resrhm  20880  rhmeql  20882  rhmima  20883  imadrhmcl  21081  srngadd  21135  srng0  21138  rhmpreimaidl  21598  rhmqusnsg  21608  mulgrhm2  21811  zrh0  21846  fermltlchr  21862  chrrhm  21864  zndvds0  21883  zzngim  21885  cygznlem3  21902  zrhpsgnodpm  21925  mplind  22406  evlslem3  22416  evlslem6  22417  evlslem1  22418  evlsgsumadd  22432  evladdval  22439  mpfind  22451  rhmcomulmpl  22460  evlsaddval  22465  selvcllem4  22474  selvvvval  22478  selvadd  22479  selvmul  22480  evls1gsumadd  22669  evl1addd  22686  evl1subd  22687  evls1maplmhm  22722  rhmmpl  22725  rhmply1vr1  22729  rhmply1vsca  22730  ply1rem  26511  plypf1  26558  fxpsubrg  33802  ricnzr1  33916  ricdomn1  33917  znfermltl  33989  rhmquskerlem  34042  rhmqusker  34043  rhmimaidl  34049  mplidomlem  34226  algextdeglem4  34419  zrhf1ker  34672  zrhneg  34677  zrhcntr  34678  qqhghm  34687  qqhrhm  34688  rhmzrhval  43213  fldhmf1  43331  aks6d1c1p2  43350  aks6d1c1p3  43351  aks6d1c5lem1  43377  aks6d1c5lem2  43379  rhmqusspan  43426  aks5lem2  43428  aks5lem3a  43430  ricdrng1  43783  rhmcomulpsr  43801  rhmpsr  43802