Theorem rhmghm 20405

Description: A ring homomorphism is an additive group homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rhmghm	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

Proof of Theorem rhmghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
3	1, 2	isrhm 20399	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))))
4	3	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))))
5	4	simpld 494	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   MndHom cmhm 18691   GrpHom cghm 19127  mulGrpcmgp 20061  Ringcrg 20154   RingHom crh 20390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-nn 12165  df-2 12227  df-sets 17111  df-slot 17129  df-ndx 17141  df-base 17157  df-plusg 17210  df-0g 17381  df-mhm 18693  df-ghm 19128  df-mgp 20062  df-ur 20103  df-ring 20156  df-rhm 20393

This theorem is referenced by:  rhmf  20406  rhmf1o  20412  rimgim  20418  rhmco  20422  pwsco2rhm  20424  rhmopp  20430  nrhmzr  20458  rhmimasubrng  20487  resrhm  20522  rhmeql  20524  rhmima  20525  imadrhmcl  20718  srngadd  20772  srng0  20775  rhmpreimaidl  21220  rhmqusnsg  21228  mulgrhm2  21421  zrh0  21456  fermltlchr  21472  chrrhm  21474  zndvds0  21493  zzngim  21495  cygznlem3  21512  zrhpsgnodpm  21535  mplind  22011  evlslem3  22021  evlslem6  22022  evlslem1  22023  evlsgsumadd  22032  mpfind  22048  evls1gsumadd  22245  evl1addd  22262  evl1subd  22263  evls1maplmhm  22298  rhmcomulmpl  22303  rhmmpl  22304  rhmply1vr1  22308  rhmply1vsca  22309  ply1rem  26105  plypf1  26151  znfermltl  33331  rhmquskerlem  33390  rhmqusker  33391  rhmimaidl  33397  algextdeglem4  33704  zrhf1ker  33957  zrhneg  33962  zrhcntr  33963  qqhghm  33972  qqhrhm  33973  rhmzrhval  41953  fldhmf1  42072  aks6d1c1p2  42091  aks6d1c1p3  42092  aks6d1c5lem1  42118  aks6d1c5lem2  42120  rhmqusspan  42167  aks5lem2  42169  aks5lem3a  42171  ricdrng1  42510  rhmcomulpsr  42533  rhmpsr  42534  evlsaddval  42550  evladdval  42557  selvcllem4  42563  selvvvval  42567  selvadd  42570  selvmul  42571