Theorem pwsco1rhm 20586

Description: Right composition with a function on the index sets yields a ring homomorphism of structure powers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsco1rhm.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐴)
pwsco1rhm.z	⊢ 𝑍 = (𝑅 ↑s 𝐵)
pwsco1rhm.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑍)
pwsco1rhm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
pwsco1rhm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
pwsco1rhm.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
pwsco1rhm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
pwsco1rhm	⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ (𝑍 RingHom 𝑌))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝐵,𝑔   𝜑,𝑔   𝑅,𝑔   𝑔,𝑌   𝐶,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem pwsco1rhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsco1rhm.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		pwsco1rhm.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		pwsco1rhm.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (𝑅 ↑s 𝐵)
4	3	pwsring 20407	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝑍 ∈ Ring)
5	1, 2, 4	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Ring)
6		pwsco1rhm.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
7		pwsco1rhm.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐴)
8	7	pwsring 20407	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ Ring)
9	1, 6, 8	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
10		pwsco1rhm.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑍)
11		ringmnd 20327	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
12	1, 11	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
13		pwsco1rhm.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
14	7, 3, 10, 12, 6, 2, 13	pwsco1mhm 18893	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ (𝑍 MndHom 𝑌))
15		ringgrp 20322	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → 𝑍 ∈ Grp)
16	5, 15	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Grp)
17		ringgrp 20322	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
18	9, 17	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Grp)
19		ghmmhmb 19299	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ Grp) → (𝑍 GrpHom 𝑌) = (𝑍 MndHom 𝑌))
20	16, 18, 19	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍 GrpHom 𝑌) = (𝑍 MndHom 𝑌))
21	14, 20	eleqtrrd 2872	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ (𝑍 GrpHom 𝑌))
22		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴) = ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)
23		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵) = ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)
24		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
25		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
26	25	ringmgp 20323	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
27	1, 26	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
28	22, 23, 24, 27, 6, 2, 13	pwsco1mhm 18893	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ (((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵) MndHom ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
29		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
30	3, 29	pwsbas 17542	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐵) = (Base‘𝑍))
31	12, 2, 30	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐵) = (Base‘𝑍))
32	31, 10	eqtr4di 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐵) = 𝐶)
33	25, 29	mgpbas 20223	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
34	23, 33	pwsbas 17542	. . . . . . 7 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐵) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
35	27, 2, 34	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐵) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
36	32, 35	eqtr3d 2806	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
37	36	mpteq1d 5205	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) = (𝑔 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)))
38		eqidd 2770	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘(mulGrp‘𝑍)))
39		eqidd 2770	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌)))
40		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
41		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
42		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
43		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
44	3, 25, 23, 40, 41, 24, 42, 43	pwsmgp 20410	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))))
45	1, 2, 44	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))))
46	45	simpld 499	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
47		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
48		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌))
49		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))
50		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(mulGrp‘𝑌))
51		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))
52	7, 25, 22, 47, 48, 49, 50, 51	pwsmgp 20410	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))))
53	1, 6, 52	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))))
54	53	simpld 499	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
55	45	simprd 500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
56	55	oveqdr 7441	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑍)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑍)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑍))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))𝑦))
57	53	simprd 500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
58	57	oveqdr 7441	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑌))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))𝑦))
59	38, 39, 46, 54, 56, 58	mhmpropd 18852	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘𝑌)) = (((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵) MndHom ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
60	28, 37, 59	3eltr4d 2884	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘𝑌)))
61	21, 60	jca 520	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ (𝑍 GrpHom 𝑌) ∧ (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘𝑌))))
62	40, 47	isrhm 20562	. 2 ⊢ ((𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ (𝑍 RingHom 𝑌) ↔ ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ Ring) ∧ ((𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ (𝑍 GrpHom 𝑌) ∧ (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘𝑌)))))
63	5, 9, 61, 62	syl21anbrc 1361	1 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ (𝑍 RingHom 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ↦ cmpt 5196   ∘ ccom 5668  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413   ↑_m cmap 8826  Basecbs 17271  +_gcplusg 17312   ↑_s cpws 17501  Mndcmnd 18794   MndHom cmhm 18841  Grpcgrp 19002   GrpHom cghm 19285  mulGrpcmgp 20218  Ringcrg 20317   RingHom crh 20553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7677  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9404  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12236  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12865  df-fz 13538  df-struct 17209  df-sets 17226  df-slot 17244  df-ndx 17256  df-base 17272  df-plusg 17325  df-mulr 17326  df-sca 17328  df-vsca 17329  df-ip 17330  df-tset 17331  df-ple 17332  df-ds 17334  df-hom 17336  df-cco 17337  df-0g 17496  df-prds 17502  df-pws 17504  df-mgm 18700  df-sgrp 18779  df-mnd 18795  df-mhm 18843  df-grp 19005  df-minusg 19006  df-ghm 19286  df-cmn 19854  df-abl 19855  df-mgp 20219  df-rng 20233  df-ur 20266  df-ring 20319  df-rhm 20556

This theorem is referenced by:  evls1rhmlem  22452