Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsco1rhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsco1rhm 19127
 Description: Right composition with a function on the index sets yields a ring homomorphism of structure powers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsco1rhm.y 𝑌 = (𝑅s 𝐴)
pwsco1rhm.z 𝑍 = (𝑅s 𝐵)
pwsco1rhm.c 𝐶 = (Base‘𝑍)
pwsco1rhm.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
pwsco1rhm.a (𝜑𝐴𝑉)
pwsco1rhm.b (𝜑𝐵𝑊)
pwsco1rhm.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
pwsco1rhm (𝜑 → (𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ (𝑍 RingHom 𝑌))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝐵,𝑔   𝜑,𝑔   𝑅,𝑔   𝑔,𝑌   𝐶,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝑍
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem pwsco1rhm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsco1rhm.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 pwsco1rhm.b . . 3 (𝜑𝐵𝑊)
3 pwsco1rhm.z . . . 4 𝑍 = (𝑅s 𝐵)
43pwsring 19002 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵𝑊) → 𝑍 ∈ Ring)
51, 2, 4syl2anc 579 . 2 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
6 pwsco1rhm.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
7 pwsco1rhm.y . . . 4 𝑌 = (𝑅s 𝐴)
87pwsring 19002 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑉) → 𝑌 ∈ Ring)
91, 6, 8syl2anc 579 . 2 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
10 pwsco1rhm.c . . . . 5 𝐶 = (Base‘𝑍)
11 ringmnd 18943 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
121, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
13 pwsco1rhm.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
147, 3, 10, 12, 6, 2, 13pwsco1mhm 17756 . . . 4 (𝜑 → (𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ (𝑍 MndHom 𝑌))
15 ringgrp 18939 . . . . . 6 (𝑍 ∈ Ring → 𝑍 ∈ Grp)
165, 15syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ Grp)
17 ringgrp 18939 . . . . . 6 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
189, 17syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ Grp)
19 ghmmhmb 18055 . . . . 5 ((𝑍 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ Grp) → (𝑍 GrpHom 𝑌) = (𝑍 MndHom 𝑌))
2016, 18, 19syl2anc 579 . . . 4 (𝜑 → (𝑍 GrpHom 𝑌) = (𝑍 MndHom 𝑌))
2114, 20eleqtrrd 2862 . . 3 (𝜑 → (𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ (𝑍 GrpHom 𝑌))
22 eqid 2778 . . . . 5 ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴) = ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)
23 eqid 2778 . . . . 5 ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵) = ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)
24 eqid 2778 . . . . 5 (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
25 eqid 2778 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2625ringmgp 18940 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
271, 26syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
2822, 23, 24, 27, 6, 2, 13pwsco1mhm 17756 . . . 4 (𝜑 → (𝑔 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ↦ (𝑔𝐹)) ∈ (((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵) MndHom ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
29 eqid 2778 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
303, 29pwsbas 16533 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐵𝑊) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐵) = (Base‘𝑍))
3112, 2, 30syl2anc 579 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐵) = (Base‘𝑍))
3231, 10syl6eqr 2832 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐵) = 𝐶)
3325, 29mgpbas 18882 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
3423, 33pwsbas 16533 . . . . . . 7 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐵𝑊) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐵) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
3527, 2, 34syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐵) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
3632, 35eqtr3d 2816 . . . . 5 (𝜑𝐶 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
3736mpteq1d 4973 . . . 4 (𝜑 → (𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) = (𝑔 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ↦ (𝑔𝐹)))
38 eqidd 2779 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘(mulGrp‘𝑍)))
39 eqidd 2779 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌)))
40 eqid 2778 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
41 eqid 2778 . . . . . . . 8 (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
42 eqid 2778 . . . . . . . 8 (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
43 eqid 2778 . . . . . . . 8 (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
443, 25, 23, 40, 41, 24, 42, 43pwsmgp 19005 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵𝑊) → ((Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))))
451, 2, 44syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))))
4645simpld 490 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
47 eqid 2778 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
48 eqid 2778 . . . . . . . 8 (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌))
49 eqid 2778 . . . . . . . 8 (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))
50 eqid 2778 . . . . . . . 8 (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(mulGrp‘𝑌))
51 eqid 2778 . . . . . . . 8 (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))
527, 25, 22, 47, 48, 49, 50, 51pwsmgp 19005 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑉) → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))))
531, 6, 52syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))))
5453simpld 490 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
5545simprd 491 . . . . . 6 (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
5655oveqdr 6950 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑍)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑍)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑍))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))𝑦))
5753simprd 491 . . . . . 6 (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
5857oveqdr 6950 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑌))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))𝑦))
5938, 39, 46, 54, 56, 58mhmpropd 17727 . . . 4 (𝜑 → ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘𝑌)) = (((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵) MndHom ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
6028, 37, 593eltr4d 2874 . . 3 (𝜑 → (𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘𝑌)))
6121, 60jca 507 . 2 (𝜑 → ((𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ (𝑍 GrpHom 𝑌) ∧ (𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘𝑌))))
6240, 47isrhm 19110 . 2 ((𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ (𝑍 RingHom 𝑌) ↔ ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ Ring) ∧ ((𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ (𝑍 GrpHom 𝑌) ∧ (𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘𝑌)))))
635, 9, 61, 62syl21anbrc 1401 1 (𝜑 → (𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ (𝑍 RingHom 𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ↦ cmpt 4965   ∘ ccom 5359  ⟶wf 6131  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   ↑𝑚 cmap 8140  Basecbs 16255  +gcplusg 16338   ↑s cpws 16493  Mndcmnd 17680   MndHom cmhm 17719  Grpcgrp 17809   GrpHom cghm 18041  mulGrpcmgp 18876  Ringcrg 18934   RingHom crh 19101 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-hom 16362  df-cco 16363  df-0g 16488  df-prds 16494  df-pws 16496  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-mhm 17721  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-ghm 18042  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-rnghom 19104 This theorem is referenced by:  evls1rhmlem  20082
 Copyright terms: Public domain W3C validator