Theorem pwsco1rhm 20553

Description: Right composition with a function on the index sets yields a ring homomorphism of structure powers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsco1rhm.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐴)
pwsco1rhm.z	⊢ 𝑍 = (𝑅 ↑s 𝐵)
pwsco1rhm.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑍)
pwsco1rhm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
pwsco1rhm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
pwsco1rhm.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
pwsco1rhm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
pwsco1rhm	⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ (𝑍 RingHom 𝑌))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝐵,𝑔   𝜑,𝑔   𝑅,𝑔   𝑔,𝑌   𝐶,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem pwsco1rhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsco1rhm.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		pwsco1rhm.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		pwsco1rhm.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (𝑅 ↑s 𝐵)
4	3	pwsring 20374	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝑍 ∈ Ring)
5	1, 2, 4	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Ring)
6		pwsco1rhm.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
7		pwsco1rhm.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐴)
8	7	pwsring 20374	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ Ring)
9	1, 6, 8	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
10		pwsco1rhm.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑍)
11		ringmnd 20295	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
12	1, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
13		pwsco1rhm.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
14	7, 3, 10, 12, 6, 2, 13	pwsco1mhm 18868	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ (𝑍 MndHom 𝑌))
15		ringgrp 20290	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → 𝑍 ∈ Grp)
16	5, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Grp)
17		ringgrp 20290	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
18	9, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Grp)
19		ghmmhmb 19269	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ Grp) → (𝑍 GrpHom 𝑌) = (𝑍 MndHom 𝑌))
20	16, 18, 19	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍 GrpHom 𝑌) = (𝑍 MndHom 𝑌))
21	14, 20	eleqtrrd 2867	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ (𝑍 GrpHom 𝑌))
22		eqid 2764	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴) = ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)
23		eqid 2764	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵) = ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)
24		eqid 2764	. . . . 5 ⊢ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
25		eqid 2764	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
26	25	ringmgp 20291	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
27	1, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
28	22, 23, 24, 27, 6, 2, 13	pwsco1mhm 18868	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ (((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵) MndHom ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
29		eqid 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
30	3, 29	pwsbas 17518	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐵) = (Base‘𝑍))
31	12, 2, 30	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐵) = (Base‘𝑍))
32	31, 10	eqtr4di 2817	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐵) = 𝐶)
33	25, 29	mgpbas 20193	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
34	23, 33	pwsbas 17518	. . . . . . 7 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐵) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
35	27, 2, 34	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐵) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
36	32, 35	eqtr3d 2801	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
37	36	mpteq1d 5192	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) = (𝑔 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)))
38		eqidd 2765	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘(mulGrp‘𝑍)))
39		eqidd 2765	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌)))
40		eqid 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
41		eqid 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
42		eqid 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
43		eqid 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
44	3, 25, 23, 40, 41, 24, 42, 43	pwsmgp 20377	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))))
45	1, 2, 44	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))))
46	45	simpld 498	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
47		eqid 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
48		eqid 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌))
49		eqid 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))
50		eqid 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(mulGrp‘𝑌))
51		eqid 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))
52	7, 25, 22, 47, 48, 49, 50, 51	pwsmgp 20377	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))))
53	1, 6, 52	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))))
54	53	simpld 498	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
55	45	simprd 499	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
56	55	oveqdr 7426	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑍)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑍)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑍))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))𝑦))
57	53	simprd 499	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
58	57	oveqdr 7426	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑌))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))𝑦))
59	38, 39, 46, 54, 56, 58	mhmpropd 18828	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘𝑌)) = (((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵) MndHom ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
60	28, 37, 59	3eltr4d 2879	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘𝑌)))
61	21, 60	jca 519	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ (𝑍 GrpHom 𝑌) ∧ (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘𝑌))))
62	40, 47	isrhm 20529	. 2 ⊢ ((𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ (𝑍 RingHom 𝑌) ↔ ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ Ring) ∧ ((𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ (𝑍 GrpHom 𝑌) ∧ (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘𝑌)))))
63	5, 9, 61, 62	syl21anbrc 1359	1 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ (𝑍 RingHom 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ↦ cmpt 5183   ∘ ccom 5653  ⟶wf 6519  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398   ↑_m cmap 8810  Basecbs 17247  +_gcplusg 17288   ↑_s cpws 17477  Mndcmnd 18770   MndHom cmhm 18817  Grpcgrp 18977   GrpHom cghm 19255  mulGrpcmgp 20188  Ringcrg 20285   RingHom crh 20520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-of 7662  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8680  df-map 8812  df-ixp 8882  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-sup 9390  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-z 12571  df-dec 12691  df-uz 12842  df-fz 13515  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-sca 17304  df-vsca 17305  df-ip 17306  df-tset 17307  df-ple 17308  df-ds 17310  df-hom 17312  df-cco 17313  df-0g 17472  df-prds 17478  df-pws 17480  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-mhm 18819  df-grp 18980  df-minusg 18981  df-ghm 19256  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20189  df-rng 20201  df-ur 20234  df-ring 20287  df-rhm 20523

This theorem is referenced by:  evls1rhmlem  22386