Theorem pwsco1rhm 20080

Description: Right composition with a function on the index sets yields a ring homomorphism of structure powers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsco1rhm.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐴)
pwsco1rhm.z	⊢ 𝑍 = (𝑅 ↑s 𝐵)
pwsco1rhm.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑍)
pwsco1rhm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
pwsco1rhm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
pwsco1rhm.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
pwsco1rhm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
pwsco1rhm	⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ (𝑍 RingHom 𝑌))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝐵,𝑔   𝜑,𝑔   𝑅,𝑔   𝑔,𝑌   𝐶,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem pwsco1rhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsco1rhm.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		pwsco1rhm.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		pwsco1rhm.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (𝑅 ↑s 𝐵)
4	3	pwsring 19949	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝑍 ∈ Ring)
5	1, 2, 4	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Ring)
6		pwsco1rhm.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
7		pwsco1rhm.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐴)
8	7	pwsring 19949	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ Ring)
9	1, 6, 8	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
10		pwsco1rhm.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑍)
11		ringmnd 19888	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
12	1, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
13		pwsco1rhm.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
14	7, 3, 10, 12, 6, 2, 13	pwsco1mhm 18568	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ (𝑍 MndHom 𝑌))
15		ringgrp 19883	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → 𝑍 ∈ Grp)
16	5, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Grp)
17		ringgrp 19883	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
18	9, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Grp)
19		ghmmhmb 18942	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ Grp) → (𝑍 GrpHom 𝑌) = (𝑍 MndHom 𝑌))
20	16, 18, 19	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍 GrpHom 𝑌) = (𝑍 MndHom 𝑌))
21	14, 20	eleqtrrd 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ (𝑍 GrpHom 𝑌))
22		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴) = ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)
23		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵) = ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)
24		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
25		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
26	25	ringmgp 19884	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
27	1, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
28	22, 23, 24, 27, 6, 2, 13	pwsco1mhm 18568	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ (((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵) MndHom ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
29		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
30	3, 29	pwsbas 17296	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐵) = (Base‘𝑍))
31	12, 2, 30	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐵) = (Base‘𝑍))
32	31, 10	eqtr4di 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐵) = 𝐶)
33	25, 29	mgpbas 19821	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
34	23, 33	pwsbas 17296	. . . . . . 7 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐵) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
35	27, 2, 34	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐵) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
36	32, 35	eqtr3d 2779	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
37	36	mpteq1d 5192	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) = (𝑔 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)))
38		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘(mulGrp‘𝑍)))
39		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌)))
40		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
41		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
42		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
43		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
44	3, 25, 23, 40, 41, 24, 42, 43	pwsmgp 19952	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))))
45	1, 2, 44	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))))
46	45	simpld 496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
47		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
48		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌))
49		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))
50		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(mulGrp‘𝑌))
51		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))
52	7, 25, 22, 47, 48, 49, 50, 51	pwsmgp 19952	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))))
53	1, 6, 52	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))))
54	53	simpld 496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
55	45	simprd 497	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
56	55	oveqdr 7370	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑍)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑍)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑍))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))𝑦))
57	53	simprd 497	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
58	57	oveqdr 7370	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑌))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))𝑦))
59	38, 39, 46, 54, 56, 58	mhmpropd 18534	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘𝑌)) = (((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵) MndHom ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
60	28, 37, 59	3eltr4d 2853	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘𝑌)))
61	21, 60	jca 513	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ (𝑍 GrpHom 𝑌) ∧ (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘𝑌))))
62	40, 47	isrhm 20060	. 2 ⊢ ((𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ (𝑍 RingHom 𝑌) ↔ ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ Ring) ∧ ((𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ (𝑍 GrpHom 𝑌) ∧ (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘𝑌)))))
63	5, 9, 61, 62	syl21anbrc 1344	1 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ (𝑔 ∘ 𝐹)) ∈ (𝑍 RingHom 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ↦ cmpt 5180   ∘ ccom 5629  ⟶wf 6480  ‘cfv 6484  (class class class)co 7342   ↑_m cmap 8691  Basecbs 17010  +_gcplusg 17060   ↑_s cpws 17255  Mndcmnd 18483   MndHom cmhm 18526  Grpcgrp 18674   GrpHom cghm 18928  mulGrpcmgp 19815  Ringcrg 19878   RingHom crh 20051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5234  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4858  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-of 7600  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-1o 8372  df-er 8574  df-map 8693  df-ixp 8762  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-fin 8813  df-sup 9304  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-nn 12080  df-2 12142  df-3 12143  df-4 12144  df-5 12145  df-6 12146  df-7 12147  df-8 12148  df-9 12149  df-n0 12340  df-z 12426  df-dec 12544  df-uz 12689  df-fz 13346  df-struct 16946  df-sets 16963  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-plusg 17073  df-mulr 17074  df-sca 17076  df-vsca 17077  df-ip 17078  df-tset 17079  df-ple 17080  df-ds 17082  df-hom 17084  df-cco 17085  df-0g 17250  df-prds 17256  df-pws 17258  df-mgm 18424  df-sgrp 18473  df-mnd 18484  df-mhm 18528  df-grp 18677  df-minusg 18678  df-ghm 18929  df-mgp 19816  df-ur 19833  df-ring 19880  df-rnghom 20054

This theorem is referenced by:  evls1rhmlem  21593