MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsco1rhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsco1rhm 20404
Description: Right composition with a function on the index sets yields a ring homomorphism of structure powers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsco1rhm.y 𝑌 = (𝑅s 𝐴)
pwsco1rhm.z 𝑍 = (𝑅s 𝐵)
pwsco1rhm.c 𝐶 = (Base‘𝑍)
pwsco1rhm.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
pwsco1rhm.a (𝜑𝐴𝑉)
pwsco1rhm.b (𝜑𝐵𝑊)
pwsco1rhm.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
pwsco1rhm (𝜑 → (𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ (𝑍 RingHom 𝑌))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝐵,𝑔   𝜑,𝑔   𝑅,𝑔   𝑔,𝑌   𝐶,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝑍
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem pwsco1rhm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsco1rhm.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 pwsco1rhm.b . . 3 (𝜑𝐵𝑊)
3 pwsco1rhm.z . . . 4 𝑍 = (𝑅s 𝐵)
43pwsring 20223 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵𝑊) → 𝑍 ∈ Ring)
51, 2, 4syl2anc 583 . 2 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
6 pwsco1rhm.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
7 pwsco1rhm.y . . . 4 𝑌 = (𝑅s 𝐴)
87pwsring 20223 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑉) → 𝑌 ∈ Ring)
91, 6, 8syl2anc 583 . 2 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
10 pwsco1rhm.c . . . . 5 𝐶 = (Base‘𝑍)
11 ringmnd 20148 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
121, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
13 pwsco1rhm.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
147, 3, 10, 12, 6, 2, 13pwsco1mhm 18757 . . . 4 (𝜑 → (𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ (𝑍 MndHom 𝑌))
15 ringgrp 20143 . . . . . 6 (𝑍 ∈ Ring → 𝑍 ∈ Grp)
165, 15syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ Grp)
17 ringgrp 20143 . . . . . 6 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
189, 17syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ Grp)
19 ghmmhmb 19152 . . . . 5 ((𝑍 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ Grp) → (𝑍 GrpHom 𝑌) = (𝑍 MndHom 𝑌))
2016, 18, 19syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → (𝑍 GrpHom 𝑌) = (𝑍 MndHom 𝑌))
2114, 20eleqtrrd 2830 . . 3 (𝜑 → (𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ (𝑍 GrpHom 𝑌))
22 eqid 2726 . . . . 5 ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴) = ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)
23 eqid 2726 . . . . 5 ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵) = ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)
24 eqid 2726 . . . . 5 (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
25 eqid 2726 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2625ringmgp 20144 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
271, 26syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
2822, 23, 24, 27, 6, 2, 13pwsco1mhm 18757 . . . 4 (𝜑 → (𝑔 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ↦ (𝑔𝐹)) ∈ (((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵) MndHom ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
29 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
303, 29pwsbas 17442 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐵𝑊) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐵) = (Base‘𝑍))
3112, 2, 30syl2anc 583 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐵) = (Base‘𝑍))
3231, 10eqtr4di 2784 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐵) = 𝐶)
3325, 29mgpbas 20045 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
3423, 33pwsbas 17442 . . . . . . 7 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐵𝑊) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐵) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
3527, 2, 34syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐵) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
3632, 35eqtr3d 2768 . . . . 5 (𝜑𝐶 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
3736mpteq1d 5236 . . . 4 (𝜑 → (𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) = (𝑔 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ↦ (𝑔𝐹)))
38 eqidd 2727 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘(mulGrp‘𝑍)))
39 eqidd 2727 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌)))
40 eqid 2726 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
41 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
42 eqid 2726 . . . . . . . 8 (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
43 eqid 2726 . . . . . . . 8 (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
443, 25, 23, 40, 41, 24, 42, 43pwsmgp 20226 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵𝑊) → ((Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))))
451, 2, 44syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))))
4645simpld 494 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
47 eqid 2726 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
48 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌))
49 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))
50 eqid 2726 . . . . . . . 8 (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(mulGrp‘𝑌))
51 eqid 2726 . . . . . . . 8 (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))
527, 25, 22, 47, 48, 49, 50, 51pwsmgp 20226 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑉) → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))))
531, 6, 52syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))))
5453simpld 494 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
5545simprd 495 . . . . . 6 (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
5655oveqdr 7433 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑍)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑍)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑍))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))𝑦))
5753simprd 495 . . . . . 6 (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
5857oveqdr 7433 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑌))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))𝑦))
5938, 39, 46, 54, 56, 58mhmpropd 18722 . . . 4 (𝜑 → ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘𝑌)) = (((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵) MndHom ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
6028, 37, 593eltr4d 2842 . . 3 (𝜑 → (𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘𝑌)))
6121, 60jca 511 . 2 (𝜑 → ((𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ (𝑍 GrpHom 𝑌) ∧ (𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘𝑌))))
6240, 47isrhm 20380 . 2 ((𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ (𝑍 RingHom 𝑌) ↔ ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ Ring) ∧ ((𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ (𝑍 GrpHom 𝑌) ∧ (𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘𝑌)))))
635, 9, 61, 62syl21anbrc 1341 1 (𝜑 → (𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ (𝑍 RingHom 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  cmpt 5224  ccom 5673  wf 6533  cfv 6537  (class class class)co 7405  m cmap 8822  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  s cpws 17401  Mndcmnd 18667   MndHom cmhm 18711  Grpcgrp 18863   GrpHom cghm 19138  mulGrpcmgp 20039  Ringcrg 20138   RingHom crh 20371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-ghm 19139  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-rhm 20374
This theorem is referenced by:  evls1rhmlem  22195
  Copyright terms: Public domain W3C validator