MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsco1rhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsco1rhm 19493
Description: Right composition with a function on the index sets yields a ring homomorphism of structure powers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsco1rhm.y 𝑌 = (𝑅s 𝐴)
pwsco1rhm.z 𝑍 = (𝑅s 𝐵)
pwsco1rhm.c 𝐶 = (Base‘𝑍)
pwsco1rhm.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
pwsco1rhm.a (𝜑𝐴𝑉)
pwsco1rhm.b (𝜑𝐵𝑊)
pwsco1rhm.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
pwsco1rhm (𝜑 → (𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ (𝑍 RingHom 𝑌))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝐵,𝑔   𝜑,𝑔   𝑅,𝑔   𝑔,𝑌   𝐶,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝑍
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem pwsco1rhm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsco1rhm.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 pwsco1rhm.b . . 3 (𝜑𝐵𝑊)
3 pwsco1rhm.z . . . 4 𝑍 = (𝑅s 𝐵)
43pwsring 19368 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵𝑊) → 𝑍 ∈ Ring)
51, 2, 4syl2anc 587 . 2 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
6 pwsco1rhm.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
7 pwsco1rhm.y . . . 4 𝑌 = (𝑅s 𝐴)
87pwsring 19368 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑉) → 𝑌 ∈ Ring)
91, 6, 8syl2anc 587 . 2 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
10 pwsco1rhm.c . . . . 5 𝐶 = (Base‘𝑍)
11 ringmnd 19307 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
121, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
13 pwsco1rhm.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
147, 3, 10, 12, 6, 2, 13pwsco1mhm 17996 . . . 4 (𝜑 → (𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ (𝑍 MndHom 𝑌))
15 ringgrp 19302 . . . . . 6 (𝑍 ∈ Ring → 𝑍 ∈ Grp)
165, 15syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ Grp)
17 ringgrp 19302 . . . . . 6 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
189, 17syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ Grp)
19 ghmmhmb 18369 . . . . 5 ((𝑍 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ Grp) → (𝑍 GrpHom 𝑌) = (𝑍 MndHom 𝑌))
2016, 18, 19syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝑍 GrpHom 𝑌) = (𝑍 MndHom 𝑌))
2114, 20eleqtrrd 2919 . . 3 (𝜑 → (𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ (𝑍 GrpHom 𝑌))
22 eqid 2824 . . . . 5 ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴) = ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)
23 eqid 2824 . . . . 5 ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵) = ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)
24 eqid 2824 . . . . 5 (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
25 eqid 2824 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2625ringmgp 19303 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
271, 26syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
2822, 23, 24, 27, 6, 2, 13pwsco1mhm 17996 . . . 4 (𝜑 → (𝑔 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ↦ (𝑔𝐹)) ∈ (((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵) MndHom ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
29 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
303, 29pwsbas 16760 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐵𝑊) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐵) = (Base‘𝑍))
3112, 2, 30syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐵) = (Base‘𝑍))
3231, 10syl6eqr 2877 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐵) = 𝐶)
3325, 29mgpbas 19245 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
3423, 33pwsbas 16760 . . . . . . 7 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐵𝑊) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐵) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
3527, 2, 34syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐵) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
3632, 35eqtr3d 2861 . . . . 5 (𝜑𝐶 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
3736mpteq1d 5141 . . . 4 (𝜑 → (𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) = (𝑔 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ↦ (𝑔𝐹)))
38 eqidd 2825 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘(mulGrp‘𝑍)))
39 eqidd 2825 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌)))
40 eqid 2824 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
41 eqid 2824 . . . . . . . 8 (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
42 eqid 2824 . . . . . . . 8 (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
43 eqid 2824 . . . . . . . 8 (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
443, 25, 23, 40, 41, 24, 42, 43pwsmgp 19371 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵𝑊) → ((Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))))
451, 2, 44syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))))
4645simpld 498 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
47 eqid 2824 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
48 eqid 2824 . . . . . . . 8 (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌))
49 eqid 2824 . . . . . . . 8 (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))
50 eqid 2824 . . . . . . . 8 (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(mulGrp‘𝑌))
51 eqid 2824 . . . . . . . 8 (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))
527, 25, 22, 47, 48, 49, 50, 51pwsmgp 19371 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑉) → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))))
531, 6, 52syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))))
5453simpld 498 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
5545simprd 499 . . . . . 6 (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
5655oveqdr 7177 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑍)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑍)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑍))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))𝑦))
5753simprd 499 . . . . . 6 (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
5857oveqdr 7177 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑌))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))𝑦))
5938, 39, 46, 54, 56, 58mhmpropd 17962 . . . 4 (𝜑 → ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘𝑌)) = (((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵) MndHom ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
6028, 37, 593eltr4d 2931 . . 3 (𝜑 → (𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘𝑌)))
6121, 60jca 515 . 2 (𝜑 → ((𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ (𝑍 GrpHom 𝑌) ∧ (𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘𝑌))))
6240, 47isrhm 19476 . 2 ((𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ (𝑍 RingHom 𝑌) ↔ ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ Ring) ∧ ((𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ (𝑍 GrpHom 𝑌) ∧ (𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘𝑌)))))
635, 9, 61, 62syl21anbrc 1341 1 (𝜑 → (𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ (𝑍 RingHom 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  cmpt 5132  ccom 5546  wf 6339  cfv 6343  (class class class)co 7149  m cmap 8402  Basecbs 16483  +gcplusg 16565  s cpws 16720  Mndcmnd 17911   MndHom cmhm 17954  Grpcgrp 18103   GrpHom cghm 18355  mulGrpcmgp 19239  Ringcrg 19297   RingHom crh 19467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-sup 8903  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-fz 12895  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-hom 16589  df-cco 16590  df-0g 16715  df-prds 16721  df-pws 16723  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-ghm 18356  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-rnghom 19470
This theorem is referenced by:  evls1rhmlem  20484
  Copyright terms: Public domain W3C validator