Theorem rimco 20606

Description: The composition of ring isomorphisms is a ring isomorphism. (Contributed by SN, 17-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rimco	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 RingIso 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑅 RingIso 𝑇))

Proof of Theorem rimco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isrim0 20572	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 RingIso 𝑇) ↔ (𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑆)))
2		isrim0 20572	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ↔ (𝐺 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)))
3		rhmco 20598	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑅 RingHom 𝑇))
4		cnvco 5874	. . . . . 6 ⊢ ◡(𝐹 ∘ 𝐺) = (◡𝐺 ∘ ◡𝐹)
5		rhmco 20598	. . . . . . 7 ⊢ ((◡𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑆)) → (◡𝐺 ∘ ◡𝐹) ∈ (𝑇 RingHom 𝑅))
6	5	ancoms 463	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → (◡𝐺 ∘ ◡𝐹) ∈ (𝑇 RingHom 𝑅))
7	4, 6	eqeltrid 2866	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → ◡(𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑇 RingHom 𝑅))
8	3, 7	anim12i 624	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆)) ∧ (◡𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅))) → ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑅 RingHom 𝑇) ∧ ◡(𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑇 RingHom 𝑅)))
9	8	an4s 672	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑆)) ∧ (𝐺 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅))) → ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑅 RingHom 𝑇) ∧ ◡(𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑇 RingHom 𝑅)))
10	1, 2, 9	syl2anb 609	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 RingIso 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑅 RingHom 𝑇) ∧ ◡(𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑇 RingHom 𝑅)))
11		isrim0 20572	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑅 RingIso 𝑇) ↔ ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑅 RingHom 𝑇) ∧ ◡(𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑇 RingHom 𝑅)))
12	10, 11	sylibr 237	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 RingIso 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑅 RingIso 𝑇))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2142  ^◡ccnv 5659   ∘ ccom 5664  (class class class)co 7412   RingHom crh 20558   RingIso crs 20559

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-plusg 17329  df-0g 17500  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-mhm 18847  df-grp 19009  df-ghm 19290  df-mgp 20223  df-ur 20270  df-ring 20323  df-rhm 20561  df-rim 20562

This theorem is used by:  rictr  20611