Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rimco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rimco 41042
Description: The composition of ring isomorphisms is a ring isomorphism. (Contributed by SN, 17-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
rimco ((𝐹 ∈ (𝑆 RingIso 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → (𝐹𝐺) ∈ (𝑅 RingIso 𝑇))

Proof of Theorem rimco
StepHypRef Expression
1 isrim0 20250 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 RingIso 𝑇) ↔ (𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑆)))
2 isrim0 20250 . . 3 (𝐺 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ↔ (𝐺 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)))
3 rhmco 20265 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆)) → (𝐹𝐺) ∈ (𝑅 RingHom 𝑇))
4 cnvco 5883 . . . . . 6 (𝐹𝐺) = (𝐺𝐹)
5 rhmco 20265 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅) ∧ 𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑆)) → (𝐺𝐹) ∈ (𝑇 RingHom 𝑅))
65ancoms 460 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → (𝐺𝐹) ∈ (𝑇 RingHom 𝑅))
74, 6eqeltrid 2838 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → (𝐹𝐺) ∈ (𝑇 RingHom 𝑅))
83, 7anim12i 614 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅))) → ((𝐹𝐺) ∈ (𝑅 RingHom 𝑇) ∧ (𝐹𝐺) ∈ (𝑇 RingHom 𝑅)))
98an4s 659 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑆)) ∧ (𝐺 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅))) → ((𝐹𝐺) ∈ (𝑅 RingHom 𝑇) ∧ (𝐹𝐺) ∈ (𝑇 RingHom 𝑅)))
101, 2, 9syl2anb 599 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 RingIso 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → ((𝐹𝐺) ∈ (𝑅 RingHom 𝑇) ∧ (𝐹𝐺) ∈ (𝑇 RingHom 𝑅)))
11 isrim0 20250 . 2 ((𝐹𝐺) ∈ (𝑅 RingIso 𝑇) ↔ ((𝐹𝐺) ∈ (𝑅 RingHom 𝑇) ∧ (𝐹𝐺) ∈ (𝑇 RingHom 𝑅)))
1210, 11sylibr 233 1 ((𝐹 ∈ (𝑆 RingIso 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → (𝐹𝐺) ∈ (𝑅 RingIso 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wcel 2107  ccnv 5674  ccom 5679  (class class class)co 7404   RingHom crh 20237   RingIso crs 20238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-grp 18818  df-ghm 19084  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-ring 20049  df-rnghom 20240  df-rngiso 20241
This theorem is referenced by:  rictr  41044
  Copyright terms: Public domain W3C validator