Theorem rimco 42963

Description: The composition of ring isomorphisms is a ring isomorphism. (Contributed by SN, 17-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rimco	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 RingIso 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑅 RingIso 𝑇))

Proof of Theorem rimco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isrim0 20462	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 RingIso 𝑇) ↔ (𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑆)))
2		isrim0 20462	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ↔ (𝐺 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)))
3		rhmco 20478	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑅 RingHom 𝑇))
4		cnvco 5840	. . . . . 6 ⊢ ◡(𝐹 ∘ 𝐺) = (◡𝐺 ∘ ◡𝐹)
5		rhmco 20478	. . . . . . 7 ⊢ ((◡𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑆)) → (◡𝐺 ∘ ◡𝐹) ∈ (𝑇 RingHom 𝑅))
6	5	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → (◡𝐺 ∘ ◡𝐹) ∈ (𝑇 RingHom 𝑅))
7	4, 6	eqeltrid 2840	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → ◡(𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑇 RingHom 𝑅))
8	3, 7	anim12i 614	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆)) ∧ (◡𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅))) → ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑅 RingHom 𝑇) ∧ ◡(𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑇 RingHom 𝑅)))
9	8	an4s 661	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑆)) ∧ (𝐺 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅))) → ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑅 RingHom 𝑇) ∧ ◡(𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑇 RingHom 𝑅)))
10	1, 2, 9	syl2anb 599	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 RingIso 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑅 RingHom 𝑇) ∧ ◡(𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑇 RingHom 𝑅)))
11		isrim0 20462	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑅 RingIso 𝑇) ↔ ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑅 RingHom 𝑇) ∧ ◡(𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑇 RingHom 𝑅)))
12	10, 11	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 RingIso 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑅 RingIso 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ^◡ccnv 5630   ∘ ccom 5635  (class class class)co 7367   RingHom crh 20449   RingIso crs 20450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-grp 18912  df-ghm 19188  df-mgp 20122  df-ur 20163  df-ring 20216  df-rhm 20452  df-rim 20453

This theorem is referenced by:  rictr  42965