Theorem rimco 41558

Description: The composition of ring isomorphisms is a ring isomorphism. (Contributed by SN, 17-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rimco	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 RingIso 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑅 RingIso 𝑇))

Proof of Theorem rimco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isrim0 20381	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 RingIso 𝑇) ↔ (𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑆)))
2		isrim0 20381	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ↔ (𝐺 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)))
3		rhmco 20399	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑅 RingHom 𝑇))
4		cnvco 5885	. . . . . 6 ⊢ ◡(𝐹 ∘ 𝐺) = (◡𝐺 ∘ ◡𝐹)
5		rhmco 20399	. . . . . . 7 ⊢ ((◡𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑆)) → (◡𝐺 ∘ ◡𝐹) ∈ (𝑇 RingHom 𝑅))
6	5	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → (◡𝐺 ∘ ◡𝐹) ∈ (𝑇 RingHom 𝑅))
7	4, 6	eqeltrid 2836	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → ◡(𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑇 RingHom 𝑅))
8	3, 7	anim12i 612	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆)) ∧ (◡𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅))) → ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑅 RingHom 𝑇) ∧ ◡(𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑇 RingHom 𝑅)))
9	8	an4s 657	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑆)) ∧ (𝐺 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅))) → ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑅 RingHom 𝑇) ∧ ◡(𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑇 RingHom 𝑅)))
10	1, 2, 9	syl2anb 597	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 RingIso 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑅 RingHom 𝑇) ∧ ◡(𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑇 RingHom 𝑅)))
11		isrim0 20381	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑅 RingIso 𝑇) ↔ ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑅 RingHom 𝑇) ∧ ◡(𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑇 RingHom 𝑅)))
12	10, 11	sylibr 233	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 RingIso 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑅 RingIso 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105  ^◡ccnv 5675   ∘ ccom 5680  (class class class)co 7412   RingHom crh 20367   RingIso crs 20368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-grp 18864  df-ghm 19135  df-mgp 20036  df-ur 20083  df-ring 20136  df-rhm 20370  df-rim 20371

This theorem is referenced by:  rictr  41560