Theorem rimco 43020

Description: The composition of ring isomorphisms is a ring isomorphism. (Contributed by SN, 17-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rimco	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 RingIso 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑅 RingIso 𝑇))

Proof of Theorem rimco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isrim0 20457	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 RingIso 𝑇) ↔ (𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑆)))
2		isrim0 20457	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ↔ (𝐺 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)))
3		rhmco 20476	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑅 RingHom 𝑇))
4		cnvco 5834	. . . . . 6 ⊢ ◡(𝐹 ∘ 𝐺) = (◡𝐺 ∘ ◡𝐹)
5		rhmco 20476	. . . . . . 7 ⊢ ((◡𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑆)) → (◡𝐺 ∘ ◡𝐹) ∈ (𝑇 RingHom 𝑅))
6	5	ancoms 460	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → (◡𝐺 ∘ ◡𝐹) ∈ (𝑇 RingHom 𝑅))
7	4, 6	eqeltrid 2845	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → ◡(𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑇 RingHom 𝑅))
8	3, 7	anim12i 620	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆)) ∧ (◡𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅))) → ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑅 RingHom 𝑇) ∧ ◡(𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑇 RingHom 𝑅)))
9	8	an4s 667	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑇 RingHom 𝑆)) ∧ (𝐺 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅))) → ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑅 RingHom 𝑇) ∧ ◡(𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑇 RingHom 𝑅)))
10	1, 2, 9	syl2anb 605	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 RingIso 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑅 RingHom 𝑇) ∧ ◡(𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑇 RingHom 𝑅)))
11		isrim0 20457	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑅 RingIso 𝑇) ↔ ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑅 RingHom 𝑇) ∧ ◡(𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑇 RingHom 𝑅)))
12	10, 11	sylibr 236	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 RingIso 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑅 RingIso 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2121  ^◡ccnv 5620   ∘ ccom 5625  (class class class)co 7360   RingHom crh 20444   RingIso crs 20445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-plusg 17228  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-grp 18907  df-ghm 19183  df-mgp 20117  df-ur 20158  df-ring 20211  df-rhm 20447  df-rim 20448

This theorem is referenced by:  rictr  43021