Theorem isrim0 20465

Description: A ring isomorphism is a homomorphism whose converse is also a homomorphism. Compare isgim2 19259. (Contributed by AV, 22-Oct-2019.) Remove sethood antecedent. (Revised by SN, 10-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
isrim0	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)))

Proof of Theorem isrim0

Dummy variables 𝑓 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rimrcl 20464	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V))
2		rhmrcl1 20458	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
3	2	elexd 3485	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ V)
4		rhmrcl2 20459	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
5	4	elexd 3485	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ V)
6	3, 5	jca 510	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V))
7	6	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → (𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V))
8		df-rim 20455	. . . . . 6 ⊢ RingIso = (𝑟 ∈ V, 𝑠 ∈ V ↦ {𝑓 ∈ (𝑟 RingHom 𝑠) ∣ ◡𝑓 ∈ (𝑠 RingHom 𝑟)})
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → RingIso = (𝑟 ∈ V, 𝑠 ∈ V ↦ {𝑓 ∈ (𝑟 RingHom 𝑠) ∣ ◡𝑓 ∈ (𝑠 RingHom 𝑟)}))
10		oveq12 7433	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → (𝑟 RingHom 𝑠) = (𝑅 RingHom 𝑆))
11	10	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆)) → (𝑟 RingHom 𝑠) = (𝑅 RingHom 𝑆))
12		oveq12 7433	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑟 = 𝑅) → (𝑠 RingHom 𝑟) = (𝑆 RingHom 𝑅))
13	12	ancoms 457	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → (𝑠 RingHom 𝑟) = (𝑆 RingHom 𝑅))
14	13	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆)) → (𝑠 RingHom 𝑟) = (𝑆 RingHom 𝑅))
15	14	eleq2d 2812	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆)) → (◡𝑓 ∈ (𝑠 RingHom 𝑟) ↔ ◡𝑓 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)))
16	11, 15	rabeqbidv 3437	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆)) → {𝑓 ∈ (𝑟 RingHom 𝑠) ∣ ◡𝑓 ∈ (𝑠 RingHom 𝑟)} = {𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∣ ◡𝑓 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)})
17		simpl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → 𝑅 ∈ V)
18		simpr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
19		ovex 7457	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 RingHom 𝑆) ∈ V
20	19	rabex 5339	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∣ ◡𝑓 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)} ∈ V
21	20	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → {𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∣ ◡𝑓 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)} ∈ V)
22	9, 16, 17, 18, 21	ovmpod 7578	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝑅 RingIso 𝑆) = {𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∣ ◡𝑓 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)})
23	22	eleq2d 2812	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ↔ 𝐹 ∈ {𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∣ ◡𝑓 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)}))
24		cnveq 5880	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ◡𝑓 = ◡𝐹)
25	24	eleq1d 2811	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (◡𝑓 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅) ↔ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)))
26	25	elrab 3681	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ {𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∣ ◡𝑓 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)} ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)))
27	23, 26	bitrdi 286	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅))))
28	1, 7, 27	pm5.21nii 377	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3419  Vcvv 3462  ^◡ccnv 5681  (class class class)co 7424   ∈ cmpo 7426  Ringcrg 20216   RingHom crh 20451   RingIso crs 20452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-plusg 17279  df-0g 17456  df-mhm 18773  df-ghm 19207  df-mgp 20118  df-ur 20165  df-ring 20218  df-rhm 20454  df-rim 20455

This theorem is referenced by:  isrim  20474  rimrhm  20478  ringcinv  20649  rimcnv  41996  rimco  41997  ringcinvALTV  47687