Theorem isrim0 20500

Description: A ring isomorphism is a homomorphism whose converse is also a homomorphism. Compare isgim2 19296. (Contributed by AV, 22-Oct-2019.) Remove sethood antecedent. (Revised by SN, 10-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
isrim0	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)))

Proof of Theorem isrim0

Dummy variables 𝑓 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rimrcl 20499	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V))
2		rhmrcl1 20493	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
3	2	elexd 3502	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ V)
4		rhmrcl2 20494	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
5	4	elexd 3502	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ V)
6	3, 5	jca 511	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V))
7	6	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → (𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V))
8		df-rim 20490	. . . . . 6 ⊢ RingIso = (𝑟 ∈ V, 𝑠 ∈ V ↦ {𝑓 ∈ (𝑟 RingHom 𝑠) ∣ ◡𝑓 ∈ (𝑠 RingHom 𝑟)})
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → RingIso = (𝑟 ∈ V, 𝑠 ∈ V ↦ {𝑓 ∈ (𝑟 RingHom 𝑠) ∣ ◡𝑓 ∈ (𝑠 RingHom 𝑟)}))
10		oveq12 7440	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → (𝑟 RingHom 𝑠) = (𝑅 RingHom 𝑆))
11	10	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆)) → (𝑟 RingHom 𝑠) = (𝑅 RingHom 𝑆))
12		oveq12 7440	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑟 = 𝑅) → (𝑠 RingHom 𝑟) = (𝑆 RingHom 𝑅))
13	12	ancoms 458	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → (𝑠 RingHom 𝑟) = (𝑆 RingHom 𝑅))
14	13	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆)) → (𝑠 RingHom 𝑟) = (𝑆 RingHom 𝑅))
15	14	eleq2d 2825	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆)) → (◡𝑓 ∈ (𝑠 RingHom 𝑟) ↔ ◡𝑓 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)))
16	11, 15	rabeqbidv 3452	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) ∧ (𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆)) → {𝑓 ∈ (𝑟 RingHom 𝑠) ∣ ◡𝑓 ∈ (𝑠 RingHom 𝑟)} = {𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∣ ◡𝑓 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)})
17		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → 𝑅 ∈ V)
18		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
19		ovex 7464	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 RingHom 𝑆) ∈ V
20	19	rabex 5345	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∣ ◡𝑓 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)} ∈ V
21	20	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → {𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∣ ◡𝑓 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)} ∈ V)
22	9, 16, 17, 18, 21	ovmpod 7585	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝑅 RingIso 𝑆) = {𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∣ ◡𝑓 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)})
23	22	eleq2d 2825	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ↔ 𝐹 ∈ {𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∣ ◡𝑓 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)}))
24		cnveq 5887	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ◡𝑓 = ◡𝐹)
25	24	eleq1d 2824	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (◡𝑓 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅) ↔ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)))
26	25	elrab 3695	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ {𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∣ ◡𝑓 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)} ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)))
27	23, 26	bitrdi 287	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅))))
28	1, 7, 27	pm5.21nii 378	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {crab 3433  Vcvv 3478  ^◡ccnv 5688  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  Ringcrg 20251   RingHom crh 20486   RingIso crs 20487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mhm 18809  df-ghm 19244  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253  df-rhm 20489  df-rim 20490

This theorem is referenced by:  isrim  20509  rimrhm  20513  ringcinv  20688  rimcnv  42504  rimco  42505  ringcinvALTV  48154