Theorem rhmf 20394

Description: A ring homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rhmf.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem rhmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmghm 20393	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
2		rhmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rhmf.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
4	2, 3	ghmf 19152	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179   GrpHom cghm 19144   RingHom crh 20378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mhm 18710  df-ghm 19145  df-mgp 20050  df-ur 20091  df-ring 20144  df-rhm 20381

This theorem is referenced by:  rhmf1o  20400  rhmdvdsr  20417  rhmopp  20418  rnrhmsubrg  20514  elringchom  20562  rhmsscmap2  20567  rhmsscmap  20568  rhmsubcsetclem2  20570  rhmsubcrngclem2  20576  ringcsect  20579  ringcinv  20580  funcringcsetc  20583  zrtermoringc  20584  rhmsubclem4  20597  imadrhmcl  20706  srngf1o  20757  rhmpreimaidl  21187  mulgrhm2  21388  fermltlchr  21439  chrrhm  21441  domnchr  21442  znf1o  21461  znidomb  21471  evlslem3  21987  evlslem6  21988  evlslem1  21989  evlseu  21990  mpfconst  22008  mpfproj  22009  mpfsubrg  22010  mpfind  22014  ply1fermltlchr  22199  evls1val  22207  evls1sca  22210  evl1val  22216  fveval1fvcl  22220  evl1addd  22228  evl1subd  22229  evl1muld  22230  evl1expd  22232  pf1const  22233  pf1id  22234  pf1subrg  22235  mpfpf1  22238  pf1mpf  22239  pf1ind  22242  evls1expd  22254  evls1fpws  22256  ressply1evl  22257  rhmcomulmpl  22269  rhmmpl  22270  rhmply1vr1  22274  rhmply1vsca  22275  ply1remlem  26070  ply1rem  26071  fta1glem1  26073  fta1glem2  26074  fta1g  26075  fta1blem  26076  idomrootle  26078  plypf1  26117  dchrzrhmul  27157  lgsqrlem1  27257  lgsqrlem2  27258  lgsqrlem3  27259  lgseisenlem3  27288  lgseisenlem4  27289  rndrhmcl  33246  rhmdvd  33296  kerunit  33297  znfermltl  33337  elrspunidl  33399  rhmimaidl  33403  rhmpreimaprmidl  33422  evls1fn  33529  evls1dm  33530  evls1fvf  33531  evl1fvf  33532  elirng  33681  irngss  33682  irngnzply1lem  33685  irngnzply1  33686  mdetlap  33822  rhmpreimacnlem  33874  pl1cn  33945  zrhunitpreima  33966  elzrhunit  33967  zrhcntr  33969  qqhval2lem  33971  qqhf  33976  qqhghm  33978  qqhrhm  33979  qqhnm  33980  zndvdchrrhm  41960  fldhmf1  42078  aks6d1c1  42104  hashscontpowcl  42108  hashscontpow  42110  aks6d1c4  42112  aks6d1c2lem4  42115  aks6d1c2  42118  aks6d1c5lem0  42123  aks6d1c5lem3  42125  aks6d1c5lem2  42126  aks6d1c5  42127  aks6d1c6lem1  42158  aks6d1c6lem2  42159  aks6d1c6lem3  42160  aks6d1c6lem5  42165  aks6d1c7lem1  42168  rhmqusspan  42173  aks5lem2  42175  aks5lem3a  42177  aks5lem5a  42179  imacrhmcl  42502  rimcnv  42505  rhmcomulpsr  42539  rhmpsr  42540  evlscl  42546  evlsexpval  42555  evlsaddval  42556  evlsmulval  42557  evlcl  42560  evladdval  42563  evlmulval  42564  selvcl  42571  funcringcsetcALTV2lem8  48285  funcringcsetcALTV2lem9  48286  elringchomALTV  48291  ringcinvALTV  48298  funcringcsetclem8ALTV  48308  funcringcsetclem9ALTV  48309