Theorem rhmf 20402

Description: A ring homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rhmf.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem rhmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmghm 20401	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
2		rhmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rhmf.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
4	2, 3	ghmf 19132	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120   GrpHom cghm 19124   RingHom crh 20387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-0g 17345  df-mhm 18691  df-ghm 19125  df-mgp 20059  df-ur 20100  df-ring 20153  df-rhm 20390

This theorem is referenced by:  rhmf1o  20408  rhmdvdsr  20423  rhmopp  20424  rnrhmsubrg  20520  elringchom  20568  rhmsscmap2  20573  rhmsscmap  20574  rhmsubcsetclem2  20576  rhmsubcrngclem2  20582  ringcsect  20585  ringcinv  20586  funcringcsetc  20589  zrtermoringc  20590  rhmsubclem4  20603  imadrhmcl  20712  srngf1o  20763  rhmpreimaidl  21214  mulgrhm2  21415  fermltlchr  21466  chrrhm  21468  domnchr  21469  znf1o  21488  znidomb  21498  evlslem3  22015  evlslem6  22016  evlslem1  22017  evlseu  22018  mpfconst  22036  mpfproj  22037  mpfsubrg  22038  mpfind  22042  ply1fermltlchr  22227  evls1val  22235  evls1sca  22238  evl1val  22244  fveval1fvcl  22248  evl1addd  22256  evl1subd  22257  evl1muld  22258  evl1expd  22260  pf1const  22261  pf1id  22262  pf1subrg  22263  mpfpf1  22266  pf1mpf  22267  pf1ind  22270  evls1expd  22282  evls1fpws  22284  ressply1evl  22285  rhmcomulmpl  22297  rhmmpl  22298  rhmply1vr1  22302  rhmply1vsca  22303  ply1remlem  26097  ply1rem  26098  fta1glem1  26100  fta1glem2  26101  fta1g  26102  fta1blem  26103  idomrootle  26105  plypf1  26144  dchrzrhmul  27184  lgsqrlem1  27284  lgsqrlem2  27285  lgsqrlem3  27286  lgseisenlem3  27315  lgseisenlem4  27316  rndrhmcl  33262  rhmdvd  33289  kerunit  33290  znfermltl  33331  elrspunidl  33393  rhmimaidl  33397  rhmpreimaprmidl  33416  evls1fn  33523  evls1dm  33524  evls1fvf  33525  evl1fvf  33526  esplympl  33588  elirng  33699  irngss  33700  irngnzply1lem  33703  irngnzply1  33704  mdetlap  33845  rhmpreimacnlem  33897  pl1cn  33968  zrhunitpreima  33989  elzrhunit  33990  zrhcntr  33992  qqhval2lem  33994  qqhf  33999  qqhghm  34001  qqhrhm  34002  qqhnm  34003  zndvdchrrhm  42064  fldhmf1  42182  aks6d1c1  42208  hashscontpowcl  42212  hashscontpow  42214  aks6d1c4  42216  aks6d1c2lem4  42219  aks6d1c2  42222  aks6d1c5lem0  42227  aks6d1c5lem3  42229  aks6d1c5lem2  42230  aks6d1c5  42231  aks6d1c6lem1  42262  aks6d1c6lem2  42263  aks6d1c6lem3  42264  aks6d1c6lem5  42269  aks6d1c7lem1  42272  rhmqusspan  42277  aks5lem2  42279  aks5lem3a  42281  aks5lem5a  42283  imacrhmcl  42606  rimcnv  42609  rhmcomulpsr  42643  rhmpsr  42644  evlscl  42650  evlsexpval  42659  evlsaddval  42660  evlsmulval  42661  evlcl  42664  evladdval  42667  evlmulval  42668  selvcl  42675  funcringcsetcALTV2lem8  48396  funcringcsetcALTV2lem9  48397  elringchomALTV  48402  ringcinvALTV  48409  funcringcsetclem8ALTV  48419  funcringcsetclem9ALTV  48420