Theorem rhmf 20627

Description: A ring homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rhmf.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem rhmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmghm 20626	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
2		rhmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rhmf.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
4	2, 3	ghmf 19348	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
5	1, 4	syl 18	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17305   GrpHom cghm 19341   RingHom crh 20611

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-plusg 17359  df-0g 17530  df-mhm 18892  df-ghm 19342  df-mgp 20275  df-ur 20322  df-ring 20375  df-rhm 20614

This theorem is used by:  rhmcl  20628  rimcnv  20629  crngrhmfo  20638  rhmf1o  20639  rhmdvdsr  20669  rhmopp  20670  rnrhmsubrg  20768  elringchom  20816  rhmsscmap2  20821  rhmsscmap  20822  rhmsubcsetclem2  20824  rhmsubcrngclem2  20830  ringcsect  20833  ringcinv  20834  funcringcsetc  20837  zrtermoringc  20838  rhmsubclem4  20851  imadrhmcl  20964  srngf1o  21015  rhmpreimaidl  21480  rhmpreimaprmidl  21543  mulgrhm2  21692  fermltlchr  21743  chrrhm  21745  domnchr  21746  znf1o  21765  znidomb  21775  evlslem3  22297  evlslem6  22298  evlslem1  22299  evlseu  22300  evlcl  22319  evladdval  22320  evlmulval  22321  mpfconst  22326  mpfproj  22327  mpfsubrg  22328  mpfind  22332  rhmcomulmpl  22341  evlscl  22342  evlsexpval  22345  evlsaddval  22346  evlsmulval  22347  selvcl  22357  ply1fermltlchr  22538  evls1val  22546  evls1sca  22549  evl1val  22555  fveval1fvcl  22559  evl1addd  22567  evl1subd  22568  evl1muld  22569  evl1expd  22571  pf1const  22572  pf1id  22573  pf1subrg  22574  mpfpf1  22577  pf1mpf  22578  pf1ind  22581  evls1expd  22593  evls1fpws  22595  ressply1evl  22596  rhmmpl  22606  rhmply1vr1  22610  rhmply1vsca  22611  ply1remlem  26392  ply1rem  26393  fta1glem1  26395  fta1glem2  26396  fta1g  26397  fta1blem  26398  idomrootle  26400  plypf1  26439  dchrzrhmul  27480  lgsqrlem1  27580  lgsqrlem2  27581  lgsqrlem3  27582  lgseisenlem3  27611  lgseisenlem4  27612  ricdomn1  33716  rndrhmcl  33724  rhmdvd  33751  kerunit  33752  znfermltl  33788  elrspunidl  33843  rhmimaidl  33847  evls1fn  33957  evls1dm  33958  evls1fvf  33959  evl1fvf  33960  mplidomlem  34024  esplyfval0  34061  esplyfval2  34062  esplympl  34064  esplyfval3  34069  vieta  34077  elirng  34183  irngss  34184  irngnzply1lem  34187  irngnzply1  34188  mdetlap  34329  rhmpreimacnlem  34381  pl1cn  34452  zrhunitpreima  34473  elzrhunit  34474  zrhcntr  34476  qqhval2lem  34478  qqhf  34483  qqhghm  34485  qqhrhm  34486  qqhnm  34487  zndvdchrrhm  42826  fldhmf1  42943  aks6d1c1  42969  hashscontpowcl  42973  hashscontpow  42975  aks6d1c4  42977  aks6d1c2lem4  42980  aks6d1c2  42983  aks6d1c5lem0  42988  aks6d1c5lem3  42990  aks6d1c5lem2  42991  aks6d1c5  42992  aks6d1c6lem1  43023  aks6d1c6lem2  43024  aks6d1c6lem3  43025  aks6d1c6lem5  43030  aks6d1c7lem1  43033  rhmqusspan  43038  aks5lem2  43040  aks5lem3a  43042  aks5lem5a  43044  imacrhmcl  43389  rhmcomulpsr  43415  rhmpsr  43416  funcringcsetcALTV2lem8  49199  funcringcsetcALTV2lem9  49200  elringchomALTV  49205  ringcinvALTV  49212  funcringcsetclem8ALTV  49222  funcringcsetclem9ALTV  49223