Theorem rhmf 20459

Description: A ring homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rhmf.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem rhmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmghm 20458	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
2		rhmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rhmf.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
4	2, 3	ghmf 19190	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟶wf 6490  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  Basecbs 17174   GrpHom cghm 19182   RingHom crh 20444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-plusg 17228  df-0g 17399  df-mhm 18746  df-ghm 19183  df-mgp 20117  df-ur 20158  df-ring 20211  df-rhm 20447

This theorem is referenced by:  rhmf1o  20465  rhmdvdsr  20480  rhmopp  20481  rnrhmsubrg  20577  elringchom  20625  rhmsscmap2  20630  rhmsscmap  20631  rhmsubcsetclem2  20633  rhmsubcrngclem2  20639  ringcsect  20642  ringcinv  20643  funcringcsetc  20646  zrtermoringc  20647  rhmsubclem4  20660  imadrhmcl  20769  srngf1o  20820  rhmpreimaidl  21271  mulgrhm2  21472  fermltlchr  21523  chrrhm  21525  domnchr  21526  znf1o  21545  znidomb  21555  evlslem3  22072  evlslem6  22073  evlslem1  22074  evlseu  22075  evlcl  22094  evladdval  22095  evlmulval  22096  mpfconst  22101  mpfproj  22102  mpfsubrg  22103  mpfind  22107  ply1fermltlchr  22291  evls1val  22299  evls1sca  22302  evl1val  22308  fveval1fvcl  22312  evl1addd  22320  evl1subd  22321  evl1muld  22322  evl1expd  22324  pf1const  22325  pf1id  22326  pf1subrg  22327  mpfpf1  22330  pf1mpf  22331  pf1ind  22334  evls1expd  22346  evls1fpws  22348  ressply1evl  22349  rhmcomulmpl  22361  rhmmpl  22362  rhmply1vr1  22366  rhmply1vsca  22367  ply1remlem  26144  ply1rem  26145  fta1glem1  26147  fta1glem2  26148  fta1g  26149  fta1blem  26150  idomrootle  26152  plypf1  26191  dchrzrhmul  27227  lgsqrlem1  27327  lgsqrlem2  27328  lgsqrlem3  27329  lgseisenlem3  27358  lgseisenlem4  27359  rndrhmcl  33376  rhmdvd  33403  kerunit  33404  znfermltl  33445  elrspunidl  33507  rhmimaidl  33511  rhmpreimaprmidl  33530  evls1fn  33639  evls1dm  33640  evls1fvf  33641  evl1fvf  33642  esplyfval0  33727  esplyfval2  33728  esplympl  33730  esplyfval3  33735  vieta  33743  elirng  33850  irngss  33851  irngnzply1lem  33854  irngnzply1  33855  mdetlap  33996  rhmpreimacnlem  34048  pl1cn  34119  zrhunitpreima  34140  elzrhunit  34141  zrhcntr  34143  qqhval2lem  34145  qqhf  34150  qqhghm  34152  qqhrhm  34153  qqhnm  34154  zndvdchrrhm  42432  fldhmf1  42549  aks6d1c1  42575  hashscontpowcl  42579  hashscontpow  42581  aks6d1c4  42583  aks6d1c2lem4  42586  aks6d1c2  42589  aks6d1c5lem0  42594  aks6d1c5lem3  42596  aks6d1c5lem2  42597  aks6d1c5  42598  aks6d1c6lem1  42629  aks6d1c6lem2  42630  aks6d1c6lem3  42631  aks6d1c6lem5  42636  aks6d1c7lem1  42639  rhmqusspan  42644  aks5lem2  42646  aks5lem3a  42648  aks5lem5a  42650  imacrhmcl  42979  rimcnv  42982  rhmcomulpsr  43014  rhmpsr  43015  evlscl  43019  evlsexpval  43023  evlsaddval  43024  evlsmulval  43025  selvcl  43036  funcringcsetcALTV2lem8  48791  funcringcsetcALTV2lem9  48792  elringchomALTV  48797  ringcinvALTV  48804  funcringcsetclem8ALTV  48814  funcringcsetclem9ALTV  48815