Theorem rhmf 20742

Description: A ring homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rhmf.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem rhmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmghm 20741	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
2		rhmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rhmf.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
4	2, 3	ghmf 19460	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
5	1, 4	syl 18	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  Basecbs 17413   GrpHom cghm 19453   RingHom crh 20726

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-plusg 17467  df-0g 17638  df-mhm 19004  df-ghm 19454  df-mgp 20388  df-ur 20435  df-ring 20488  df-rhm 20729

This theorem is used by:  rhmcl  20743  rimcnv  20744  crngrhmfo  20753  rhmf1o  20754  rhmdvdsr  20785  rhmopp  20786  rnrhmsubrg  20884  elringchom  20932  rhmsscmap2  20937  rhmsscmap  20938  rhmsubcsetclem2  20940  rhmsubcrngclem2  20946  ringcsect  20949  ringcinv  20950  funcringcsetc  20953  zrtermoringc  20954  rhmsubclem4  20967  imadrhmcl  21081  srngf1o  21132  rhmpreimaidl  21598  rhmpreimaprmidl  21662  mulgrhm2  21811  fermltlchr  21862  chrrhm  21864  domnchr  21865  znf1o  21884  znidomb  21894  evlslem3  22416  evlslem6  22417  evlslem1  22418  evlseu  22419  evlcl  22438  evladdval  22439  evlmulval  22440  mpfconst  22445  mpfproj  22446  mpfsubrg  22447  mpfind  22451  rhmcomulmpl  22460  evlscl  22461  evlsexpval  22464  evlsaddval  22465  evlsmulval  22466  selvcl  22476  ply1fermltlchr  22657  evls1val  22665  evls1sca  22668  evl1val  22674  fveval1fvcl  22678  evl1addd  22686  evl1subd  22687  evl1muld  22688  evl1expd  22690  pf1const  22691  pf1id  22692  pf1subrg  22693  mpfpf1  22696  pf1mpf  22697  pf1ind  22700  evls1expd  22712  evls1fpws  22714  ressply1evl  22715  rhmmpl  22725  rhmply1vr1  22729  rhmply1vsca  22730  ply1remlem  26510  ply1rem  26511  fta1glem1  26513  fta1glem2  26514  fta1g  26515  fta1blem  26516  idomrootle  26518  plypf1  26558  dchrzrhmul  27600  lgsqrlem1  27700  lgsqrlem2  27701  lgsqrlem3  27702  lgseisenlem3  27731  lgseisenlem4  27732  ricdomn1  33917  rndrhmcl  33925  rhmdvd  33952  kerunit  33953  znfermltl  33989  elrspunidl  34045  rhmimaidl  34049  evls1fn  34159  evls1dm  34160  evls1fvf  34161  evl1fvf  34162  mplidomlem  34226  esplyfval0  34263  esplyfval2  34264  esplympl  34266  esplyfval3  34271  vieta  34279  elirng  34385  irngss  34386  irngnzply1lem  34389  irngnzply1  34390  mdetlap  34531  rhmpreimacnlem  34583  pl1cn  34654  zrhunitpreima  34675  elzrhunit  34676  zrhcntr  34678  qqhval2lem  34680  qqhf  34685  qqhghm  34687  qqhrhm  34688  qqhnm  34689  zndvdchrrhm  43214  fldhmf1  43331  aks6d1c1  43357  hashscontpowcl  43361  hashscontpow  43363  aks6d1c4  43365  aks6d1c2lem4  43368  aks6d1c2  43371  aks6d1c5lem0  43376  aks6d1c5lem3  43378  aks6d1c5lem2  43379  aks6d1c5  43380  aks6d1c6lem1  43411  aks6d1c6lem2  43412  aks6d1c6lem3  43413  aks6d1c6lem5  43418  aks6d1c7lem1  43421  rhmqusspan  43426  aks5lem2  43428  aks5lem3a  43430  aks5lem5a  43432  imacrhmcl  43772  rhmcomulpsr  43801  rhmpsr  43802  funcringcsetcALTV2lem8  49597  funcringcsetcALTV2lem9  49598  elringchomALTV  49603  ringcinvALTV  49610  funcringcsetclem8ALTV  49620  funcringcsetclem9ALTV  49621