MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rhmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmf 19414
Description: A ring homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmf.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rhmf.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
rhmf (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵𝐶)

Proof of Theorem rhmf
StepHypRef Expression
1 rhmghm 19413 . 2 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
2 rhmf.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 rhmf.c . . 3 𝐶 = (Base‘𝑆)
42, 3ghmf 18307 . 2 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹:𝐵𝐶)
51, 4syl 17 1 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2107  wf 6350  cfv 6354  (class class class)co 7150  Basecbs 16478   GrpHom cghm 18300   RingHom crh 19400
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8284  df-map 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-plusg 16573  df-0g 16710  df-mhm 17951  df-ghm 18301  df-mgp 19176  df-ur 19188  df-ring 19235  df-rnghom 19403
This theorem is referenced by:  rhmf1o  19420  kerf1hrmOLD  19434  rnrhmsubrg  19503  srngf1o  19561  evlslem3  20228  evlslem6  20229  evlslem1  20230  evlseu  20231  mpfconst  20249  mpfproj  20250  mpfsubrg  20251  mpfind  20255  evls1val  20418  evls1sca  20421  evl1val  20427  fveval1fvcl  20431  evl1addd  20439  evl1subd  20440  evl1muld  20441  evl1expd  20443  pf1const  20444  pf1id  20445  pf1subrg  20446  mpfpf1  20449  pf1mpf  20450  pf1ind  20453  mulgrhm2  20581  chrrhm  20613  domnchr  20614  znf1o  20633  znidomb  20643  ply1remlem  24690  ply1rem  24691  fta1glem1  24693  fta1glem2  24694  fta1g  24695  fta1blem  24696  plypf1  24736  dchrzrhmul  25755  lgsqrlem1  25855  lgsqrlem2  25856  lgsqrlem3  25857  lgseisenlem3  25886  lgseisenlem4  25887  rhmdvdsr  30824  rhmopp  30825  rhmdvd  30827  kerunit  30829  mdetlap  31002  pl1cn  31103  zrhunitpreima  31124  elzrhunit  31125  qqhval2lem  31127  qqhf  31132  qqhghm  31134  qqhrhm  31135  qqhnm  31136  selvval2lem4  39020  selvcl  39022  idomrootle  39679  elringchom  44187  rhmsscmap2  44192  rhmsscmap  44193  rhmsubcsetclem2  44195  rhmsubcrngclem2  44201  ringcsect  44204  ringcinv  44205  funcringcsetc  44208  funcringcsetcALTV2lem8  44216  funcringcsetcALTV2lem9  44217  elringchomALTV  44222  ringcinvALTV  44229  funcringcsetclem8ALTV  44239  funcringcsetclem9ALTV  44240  zrtermoringc  44243  rhmsubclem4  44262
  Copyright terms: Public domain W3C validator