Theorem rhmf 20566

Description: A ring homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rhmf.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem rhmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmghm 20565	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
2		rhmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rhmf.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
4	2, 3	ghmf 19290	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
5	1, 4	syl 18	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17269   GrpHom cghm 19283   RingHom crh 20551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-plusg 17323  df-0g 17494  df-mhm 18841  df-ghm 19284  df-mgp 20217  df-ur 20264  df-ring 20317  df-rhm 20554

This theorem is referenced by:  rimcnv  20567  rhmf1o  20573  rhmdvdsr  20591  rhmopp  20592  rnrhmsubrg  20690  elringchom  20738  rhmsscmap2  20743  rhmsscmap  20744  rhmsubcsetclem2  20746  rhmsubcrngclem2  20752  ringcsect  20755  ringcinv  20756  funcringcsetc  20759  zrtermoringc  20760  rhmsubclem4  20773  imadrhmcl  20878  srngf1o  20929  rhmpreimaidl  21387  rhmpreimaprmidl  21448  mulgrhm2  21597  fermltlchr  21648  chrrhm  21650  domnchr  21651  znf1o  21670  znidomb  21680  evlslem3  22200  evlslem6  22201  evlslem1  22202  evlseu  22203  evlcl  22222  evladdval  22223  evlmulval  22224  mpfconst  22229  mpfproj  22230  mpfsubrg  22231  mpfind  22235  rhmcomulmpl  22244  evlscl  22245  evlsexpval  22248  evlsaddval  22249  evlsmulval  22250  selvcl  22260  ply1fermltlchr  22441  evls1val  22449  evls1sca  22452  evl1val  22458  fveval1fvcl  22462  evl1addd  22470  evl1subd  22471  evl1muld  22472  evl1expd  22474  pf1const  22475  pf1id  22476  pf1subrg  22477  mpfpf1  22480  pf1mpf  22481  pf1ind  22484  evls1expd  22496  evls1fpws  22498  ressply1evl  22499  rhmmpl  22509  rhmply1vr1  22513  rhmply1vsca  22514  ply1remlem  26291  ply1rem  26292  fta1glem1  26294  fta1glem2  26295  fta1g  26296  fta1blem  26297  idomrootle  26299  plypf1  26338  dchrzrhmul  27376  lgsqrlem1  27476  lgsqrlem2  27477  lgsqrlem3  27478  lgseisenlem3  27507  lgseisenlem4  27508  ricdomn1  33550  rndrhmcl  33560  rhmdvd  33587  kerunit  33588  znfermltl  33624  elrspunidl  33680  rhmimaidl  33684  evls1fn  33795  evls1dm  33796  evls1fvf  33797  evl1fvf  33798  mplidomlem  33862  esplyfval0  33899  esplyfval2  33900  esplympl  33902  esplyfval3  33907  vieta  33915  elirng  34021  irngss  34022  irngnzply1lem  34025  irngnzply1  34026  mdetlap  34167  rhmpreimacnlem  34219  pl1cn  34290  zrhunitpreima  34311  elzrhunit  34312  zrhcntr  34314  qqhval2lem  34316  qqhf  34321  qqhghm  34323  qqhrhm  34324  qqhnm  34325  zndvdchrrhm  42665  fldhmf1  42782  aks6d1c1  42808  hashscontpowcl  42812  hashscontpow  42814  aks6d1c4  42816  aks6d1c2lem4  42819  aks6d1c2  42822  aks6d1c5lem0  42827  aks6d1c5lem3  42829  aks6d1c5lem2  42830  aks6d1c5  42831  aks6d1c6lem1  42862  aks6d1c6lem2  42863  aks6d1c6lem3  42864  aks6d1c6lem5  42869  aks6d1c7lem1  42872  rhmqusspan  42877  aks5lem2  42879  aks5lem3a  42881  aks5lem5a  42883  imacrhmcl  43213  rhmcomulpsr  43241  rhmpsr  43242  funcringcsetcALTV2lem8  48986  funcringcsetcALTV2lem9  48987  elringchomALTV  48992  ringcinvALTV  48999  funcringcsetclem8ALTV  49009  funcringcsetclem9ALTV  49010