Theorem rhmf 20406

Description: A ring homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rhmf.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem rhmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmghm 20405	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
2		rhmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rhmf.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
4	2, 3	ghmf 19135	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17156   GrpHom cghm 19127   RingHom crh 20390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-nn 12165  df-2 12227  df-sets 17111  df-slot 17129  df-ndx 17141  df-base 17157  df-plusg 17210  df-0g 17381  df-mhm 18693  df-ghm 19128  df-mgp 20062  df-ur 20103  df-ring 20156  df-rhm 20393

This theorem is referenced by:  rhmf1o  20412  rhmdvdsr  20429  rhmopp  20430  rnrhmsubrg  20526  elringchom  20574  rhmsscmap2  20579  rhmsscmap  20580  rhmsubcsetclem2  20582  rhmsubcrngclem2  20588  ringcsect  20591  ringcinv  20592  funcringcsetc  20595  zrtermoringc  20596  rhmsubclem4  20609  imadrhmcl  20718  srngf1o  20769  rhmpreimaidl  21220  mulgrhm2  21421  fermltlchr  21472  chrrhm  21474  domnchr  21475  znf1o  21494  znidomb  21504  evlslem3  22021  evlslem6  22022  evlslem1  22023  evlseu  22024  mpfconst  22042  mpfproj  22043  mpfsubrg  22044  mpfind  22048  ply1fermltlchr  22233  evls1val  22241  evls1sca  22244  evl1val  22250  fveval1fvcl  22254  evl1addd  22262  evl1subd  22263  evl1muld  22264  evl1expd  22266  pf1const  22267  pf1id  22268  pf1subrg  22269  mpfpf1  22272  pf1mpf  22273  pf1ind  22276  evls1expd  22288  evls1fpws  22290  ressply1evl  22291  rhmcomulmpl  22303  rhmmpl  22304  rhmply1vr1  22308  rhmply1vsca  22309  ply1remlem  26104  ply1rem  26105  fta1glem1  26107  fta1glem2  26108  fta1g  26109  fta1blem  26110  idomrootle  26112  plypf1  26151  dchrzrhmul  27191  lgsqrlem1  27291  lgsqrlem2  27292  lgsqrlem3  27293  lgseisenlem3  27322  lgseisenlem4  27323  rndrhmcl  33263  rhmdvd  33290  kerunit  33291  znfermltl  33331  elrspunidl  33393  rhmimaidl  33397  rhmpreimaprmidl  33416  evls1fn  33523  evls1dm  33524  evls1fvf  33525  evl1fvf  33526  elirng  33675  irngss  33676  irngnzply1lem  33679  irngnzply1  33680  mdetlap  33816  rhmpreimacnlem  33868  pl1cn  33939  zrhunitpreima  33960  elzrhunit  33961  zrhcntr  33963  qqhval2lem  33965  qqhf  33970  qqhghm  33972  qqhrhm  33973  qqhnm  33974  zndvdchrrhm  41954  fldhmf1  42072  aks6d1c1  42098  hashscontpowcl  42102  hashscontpow  42104  aks6d1c4  42106  aks6d1c2lem4  42109  aks6d1c2  42112  aks6d1c5lem0  42117  aks6d1c5lem3  42119  aks6d1c5lem2  42120  aks6d1c5  42121  aks6d1c6lem1  42152  aks6d1c6lem2  42153  aks6d1c6lem3  42154  aks6d1c6lem5  42159  aks6d1c7lem1  42162  rhmqusspan  42167  aks5lem2  42169  aks5lem3a  42171  aks5lem5a  42173  imacrhmcl  42496  rimcnv  42499  rhmcomulpsr  42533  rhmpsr  42534  evlscl  42540  evlsexpval  42549  evlsaddval  42550  evlsmulval  42551  evlcl  42554  evladdval  42557  evlmulval  42558  selvcl  42565  funcringcsetcALTV2lem8  48279  funcringcsetcALTV2lem9  48280  elringchomALTV  48285  ringcinvALTV  48292  funcringcsetclem8ALTV  48302  funcringcsetclem9ALTV  48303