Theorem rhmf 20422

Description: A ring homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rhmf.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem rhmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmghm 20421	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
2		rhmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rhmf.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
4	2, 3	ghmf 19151	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟶wf 6487  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  Basecbs 17138   GrpHom cghm 19143   RingHom crh 20407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-map 8767  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-0g 17363  df-mhm 18710  df-ghm 19144  df-mgp 20078  df-ur 20119  df-ring 20172  df-rhm 20410

This theorem is referenced by:  rhmf1o  20428  rhmdvdsr  20443  rhmopp  20444  rnrhmsubrg  20540  elringchom  20588  rhmsscmap2  20593  rhmsscmap  20594  rhmsubcsetclem2  20596  rhmsubcrngclem2  20602  ringcsect  20605  ringcinv  20606  funcringcsetc  20609  zrtermoringc  20610  rhmsubclem4  20623  imadrhmcl  20732  srngf1o  20783  rhmpreimaidl  21234  mulgrhm2  21435  fermltlchr  21486  chrrhm  21488  domnchr  21489  znf1o  21508  znidomb  21518  evlslem3  22037  evlslem6  22038  evlslem1  22039  evlseu  22040  evlcl  22059  evladdval  22060  evlmulval  22061  mpfconst  22066  mpfproj  22067  mpfsubrg  22068  mpfind  22072  ply1fermltlchr  22258  evls1val  22266  evls1sca  22269  evl1val  22275  fveval1fvcl  22279  evl1addd  22287  evl1subd  22288  evl1muld  22289  evl1expd  22291  pf1const  22292  pf1id  22293  pf1subrg  22294  mpfpf1  22297  pf1mpf  22298  pf1ind  22301  evls1expd  22313  evls1fpws  22315  ressply1evl  22316  rhmcomulmpl  22328  rhmmpl  22329  rhmply1vr1  22333  rhmply1vsca  22334  ply1remlem  26128  ply1rem  26129  fta1glem1  26131  fta1glem2  26132  fta1g  26133  fta1blem  26134  idomrootle  26136  plypf1  26175  dchrzrhmul  27215  lgsqrlem1  27315  lgsqrlem2  27316  lgsqrlem3  27317  lgseisenlem3  27346  lgseisenlem4  27347  rndrhmcl  33357  rhmdvd  33384  kerunit  33385  znfermltl  33426  elrspunidl  33488  rhmimaidl  33492  rhmpreimaprmidl  33511  evls1fn  33620  evls1dm  33621  evls1fvf  33622  evl1fvf  33623  esplyfval0  33701  esplyfval2  33702  esplympl  33704  esplyfval3  33709  vieta  33715  elirng  33822  irngss  33823  irngnzply1lem  33826  irngnzply1  33827  mdetlap  33968  rhmpreimacnlem  34020  pl1cn  34091  zrhunitpreima  34112  elzrhunit  34113  zrhcntr  34115  qqhval2lem  34117  qqhf  34122  qqhghm  34124  qqhrhm  34125  qqhnm  34126  zndvdchrrhm  42261  fldhmf1  42379  aks6d1c1  42405  hashscontpowcl  42409  hashscontpow  42411  aks6d1c4  42413  aks6d1c2lem4  42416  aks6d1c2  42419  aks6d1c5lem0  42424  aks6d1c5lem3  42426  aks6d1c5lem2  42427  aks6d1c5  42428  aks6d1c6lem1  42459  aks6d1c6lem2  42460  aks6d1c6lem3  42461  aks6d1c6lem5  42466  aks6d1c7lem1  42469  rhmqusspan  42474  aks5lem2  42476  aks5lem3a  42478  aks5lem5a  42480  imacrhmcl  42806  rimcnv  42809  rhmcomulpsr  42841  rhmpsr  42842  evlscl  42846  evlsexpval  42850  evlsaddval  42851  evlsmulval  42852  selvcl  42863  funcringcsetcALTV2lem8  48580  funcringcsetcALTV2lem9  48581  elringchomALTV  48586  ringcinvALTV  48593  funcringcsetclem8ALTV  48603  funcringcsetclem9ALTV  48604