Theorem rhmf 20464

Description: A ring homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rhmf.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem rhmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmghm 20463	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
2		rhmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rhmf.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
4	2, 3	ghmf 19195	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179   GrpHom cghm 19187   RingHom crh 20449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mhm 18751  df-ghm 19188  df-mgp 20122  df-ur 20163  df-ring 20216  df-rhm 20452

This theorem is referenced by:  rhmf1o  20470  rhmdvdsr  20485  rhmopp  20486  rnrhmsubrg  20582  elringchom  20630  rhmsscmap2  20635  rhmsscmap  20636  rhmsubcsetclem2  20638  rhmsubcrngclem2  20644  ringcsect  20647  ringcinv  20648  funcringcsetc  20651  zrtermoringc  20652  rhmsubclem4  20665  imadrhmcl  20774  srngf1o  20825  rhmpreimaidl  21275  mulgrhm2  21458  fermltlchr  21509  chrrhm  21511  domnchr  21512  znf1o  21531  znidomb  21541  evlslem3  22058  evlslem6  22059  evlslem1  22060  evlseu  22061  evlcl  22080  evladdval  22081  evlmulval  22082  mpfconst  22087  mpfproj  22088  mpfsubrg  22089  mpfind  22093  ply1fermltlchr  22277  evls1val  22285  evls1sca  22288  evl1val  22294  fveval1fvcl  22298  evl1addd  22306  evl1subd  22307  evl1muld  22308  evl1expd  22310  pf1const  22311  pf1id  22312  pf1subrg  22313  mpfpf1  22316  pf1mpf  22317  pf1ind  22320  evls1expd  22332  evls1fpws  22334  ressply1evl  22335  rhmcomulmpl  22347  rhmmpl  22348  rhmply1vr1  22352  rhmply1vsca  22353  ply1remlem  26130  ply1rem  26131  fta1glem1  26133  fta1glem2  26134  fta1g  26135  fta1blem  26136  idomrootle  26138  plypf1  26177  dchrzrhmul  27209  lgsqrlem1  27309  lgsqrlem2  27310  lgsqrlem3  27311  lgseisenlem3  27340  lgseisenlem4  27341  rndrhmcl  33357  rhmdvd  33384  kerunit  33385  znfermltl  33426  elrspunidl  33488  rhmimaidl  33492  rhmpreimaprmidl  33511  evls1fn  33620  evls1dm  33621  evls1fvf  33622  evl1fvf  33623  esplyfval0  33708  esplyfval2  33709  esplympl  33711  esplyfval3  33716  vieta  33724  elirng  33830  irngss  33831  irngnzply1lem  33834  irngnzply1  33835  mdetlap  33976  rhmpreimacnlem  34028  pl1cn  34099  zrhunitpreima  34120  elzrhunit  34121  zrhcntr  34123  qqhval2lem  34125  qqhf  34130  qqhghm  34132  qqhrhm  34133  qqhnm  34134  zndvdchrrhm  42412  fldhmf1  42529  aks6d1c1  42555  hashscontpowcl  42559  hashscontpow  42561  aks6d1c4  42563  aks6d1c2lem4  42566  aks6d1c2  42569  aks6d1c5lem0  42574  aks6d1c5lem3  42576  aks6d1c5lem2  42577  aks6d1c5  42578  aks6d1c6lem1  42609  aks6d1c6lem2  42610  aks6d1c6lem3  42611  aks6d1c6lem5  42616  aks6d1c7lem1  42619  rhmqusspan  42624  aks5lem2  42626  aks5lem3a  42628  aks5lem5a  42630  imacrhmcl  42959  rimcnv  42962  rhmcomulpsr  42994  rhmpsr  42995  evlscl  42999  evlsexpval  43003  evlsaddval  43004  evlsmulval  43005  selvcl  43016  funcringcsetcALTV2lem8  48773  funcringcsetcALTV2lem9  48774  elringchomALTV  48779  ringcinvALTV  48786  funcringcsetclem8ALTV  48796  funcringcsetclem9ALTV  48797