Theorem rhmf 20574

Description: A ring homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rhmf.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem rhmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmghm 20573	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
2		rhmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rhmf.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
4	2, 3	ghmf 19296	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
5	1, 4	syl 18	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Basecbs 17275   GrpHom cghm 19289   RingHom crh 20558

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-plusg 17329  df-0g 17500  df-mhm 18847  df-ghm 19290  df-mgp 20223  df-ur 20270  df-ring 20323  df-rhm 20561

This theorem is used by:  rhmcl  20575  rimcnv  20576  crngrhmfo  20585  rhmf1o  20586  rhmdvdsr  20616  rhmopp  20617  rnrhmsubrg  20715  elringchom  20763  rhmsscmap2  20768  rhmsscmap  20769  rhmsubcsetclem2  20771  rhmsubcrngclem2  20777  ringcsect  20780  ringcinv  20781  funcringcsetc  20784  zrtermoringc  20785  rhmsubclem4  20798  imadrhmcl  20911  srngf1o  20962  rhmpreimaidl  21427  rhmpreimaprmidl  21490  mulgrhm2  21639  fermltlchr  21690  chrrhm  21692  domnchr  21693  znf1o  21712  znidomb  21722  evlslem3  22242  evlslem6  22243  evlslem1  22244  evlseu  22245  evlcl  22264  evladdval  22265  evlmulval  22266  mpfconst  22271  mpfproj  22272  mpfsubrg  22273  mpfind  22277  rhmcomulmpl  22286  evlscl  22287  evlsexpval  22290  evlsaddval  22291  evlsmulval  22292  selvcl  22302  ply1fermltlchr  22483  evls1val  22491  evls1sca  22494  evl1val  22500  fveval1fvcl  22504  evl1addd  22512  evl1subd  22513  evl1muld  22514  evl1expd  22516  pf1const  22517  pf1id  22518  pf1subrg  22519  mpfpf1  22522  pf1mpf  22523  pf1ind  22526  evls1expd  22538  evls1fpws  22540  ressply1evl  22541  rhmmpl  22551  rhmply1vr1  22555  rhmply1vsca  22556  ply1remlem  26333  ply1rem  26334  fta1glem1  26336  fta1glem2  26337  fta1g  26338  fta1blem  26339  idomrootle  26341  plypf1  26380  dchrzrhmul  27421  lgsqrlem1  27521  lgsqrlem2  27522  lgsqrlem3  27523  lgseisenlem3  27552  lgseisenlem4  27553  ricdomn1  33618  rndrhmcl  33626  rhmdvd  33653  kerunit  33654  znfermltl  33690  elrspunidl  33745  rhmimaidl  33749  evls1fn  33859  evls1dm  33860  evls1fvf  33861  evl1fvf  33862  mplidomlem  33926  esplyfval0  33963  esplyfval2  33964  esplympl  33966  esplyfval3  33971  vieta  33979  elirng  34085  irngss  34086  irngnzply1lem  34089  irngnzply1  34090  mdetlap  34231  rhmpreimacnlem  34283  pl1cn  34354  zrhunitpreima  34375  elzrhunit  34376  zrhcntr  34378  qqhval2lem  34380  qqhf  34385  qqhghm  34387  qqhrhm  34388  qqhnm  34389  zndvdchrrhm  42768  fldhmf1  42885  aks6d1c1  42911  hashscontpowcl  42915  hashscontpow  42917  aks6d1c4  42919  aks6d1c2lem4  42922  aks6d1c2  42925  aks6d1c5lem0  42930  aks6d1c5lem3  42932  aks6d1c5lem2  42933  aks6d1c5  42934  aks6d1c6lem1  42965  aks6d1c6lem2  42966  aks6d1c6lem3  42967  aks6d1c6lem5  42972  aks6d1c7lem1  42975  rhmqusspan  42980  aks5lem2  42982  aks5lem3a  42984  aks5lem5a  42986  imacrhmcl  43316  rhmcomulpsr  43342  rhmpsr  43343  funcringcsetcALTV2lem8  49090  funcringcsetcALTV2lem9  49091  elringchomALTV  49096  ringcinvALTV  49103  funcringcsetclem8ALTV  49113  funcringcsetclem9ALTV  49114