Theorem rhmf 20662

Description: A ring homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rhmf.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem rhmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmghm 20661	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
2		rhmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rhmf.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
4	2, 3	ghmf 19381	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
5	1, 4	syl 18	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟶wf 6524  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  Basecbs 17334   GrpHom cghm 19374   RingHom crh 20646

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-2 12360  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-plusg 17388  df-0g 17559  df-mhm 18925  df-ghm 19375  df-mgp 20308  df-ur 20355  df-ring 20408  df-rhm 20649

This theorem is used by:  rhmcl  20663  rimcnv  20664  crngrhmfo  20673  rhmf1o  20674  rhmdvdsr  20705  rhmopp  20706  rnrhmsubrg  20804  elringchom  20852  rhmsscmap2  20857  rhmsscmap  20858  rhmsubcsetclem2  20860  rhmsubcrngclem2  20866  ringcsect  20869  ringcinv  20870  funcringcsetc  20873  zrtermoringc  20874  rhmsubclem4  20887  imadrhmcl  21001  srngf1o  21052  rhmpreimaidl  21518  rhmpreimaprmidl  21582  mulgrhm2  21731  fermltlchr  21782  chrrhm  21784  domnchr  21785  znf1o  21804  znidomb  21814  evlslem3  22336  evlslem6  22337  evlslem1  22338  evlseu  22339  evlcl  22358  evladdval  22359  evlmulval  22360  mpfconst  22365  mpfproj  22366  mpfsubrg  22367  mpfind  22371  rhmcomulmpl  22380  evlscl  22381  evlsexpval  22384  evlsaddval  22385  evlsmulval  22386  selvcl  22396  ply1fermltlchr  22577  evls1val  22585  evls1sca  22588  evl1val  22594  fveval1fvcl  22598  evl1addd  22606  evl1subd  22607  evl1muld  22608  evl1expd  22610  pf1const  22611  pf1id  22612  pf1subrg  22613  mpfpf1  22616  pf1mpf  22617  pf1ind  22620  evls1expd  22632  evls1fpws  22634  ressply1evl  22635  rhmmpl  22645  rhmply1vr1  22649  rhmply1vsca  22650  ply1remlem  26430  ply1rem  26431  fta1glem1  26433  fta1glem2  26434  fta1g  26435  fta1blem  26436  idomrootle  26438  plypf1  26478  dchrzrhmul  27522  lgsqrlem1  27622  lgsqrlem2  27623  lgsqrlem3  27624  lgseisenlem3  27653  lgseisenlem4  27654  ricdomn1  33769  rndrhmcl  33777  rhmdvd  33804  kerunit  33805  znfermltl  33841  elrspunidl  33897  rhmimaidl  33901  evls1fn  34011  evls1dm  34012  evls1fvf  34013  evl1fvf  34014  mplidomlem  34078  esplyfval0  34115  esplyfval2  34116  esplympl  34118  esplyfval3  34123  vieta  34131  elirng  34237  irngss  34238  irngnzply1lem  34241  irngnzply1  34242  mdetlap  34383  rhmpreimacnlem  34435  pl1cn  34506  zrhunitpreima  34527  elzrhunit  34528  zrhcntr  34530  qqhval2lem  34532  qqhf  34537  qqhghm  34539  qqhrhm  34540  qqhnm  34541  zndvdchrrhm  42937  fldhmf1  43054  aks6d1c1  43080  hashscontpowcl  43084  hashscontpow  43086  aks6d1c4  43088  aks6d1c2lem4  43091  aks6d1c2  43094  aks6d1c5lem0  43099  aks6d1c5lem3  43101  aks6d1c5lem2  43102  aks6d1c5  43103  aks6d1c6lem1  43134  aks6d1c6lem2  43135  aks6d1c6lem3  43136  aks6d1c6lem5  43141  aks6d1c7lem1  43144  rhmqusspan  43149  aks5lem2  43151  aks5lem3a  43153  aks5lem5a  43155  imacrhmcl  43500  rhmcomulpsr  43526  rhmpsr  43527  funcringcsetcALTV2lem8  49310  funcringcsetcALTV2lem9  49311  elringchomALTV  49316  ringcinvALTV  49323  funcringcsetclem8ALTV  49333  funcringcsetclem9ALTV  49334