Theorem rhmf 20486

Description: A ring homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rhmf.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem rhmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmghm 20485	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
2		rhmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rhmf.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
4	2, 3	ghmf 19239	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248   GrpHom cghm 19231   RingHom crh 20470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-plusg 17311  df-0g 17487  df-mhm 18797  df-ghm 19232  df-mgp 20139  df-ur 20180  df-ring 20233  df-rhm 20473

This theorem is referenced by:  rhmf1o  20492  rhmdvdsr  20509  rhmopp  20510  rnrhmsubrg  20606  elringchom  20654  rhmsscmap2  20659  rhmsscmap  20660  rhmsubcsetclem2  20662  rhmsubcrngclem2  20668  ringcsect  20671  ringcinv  20672  funcringcsetc  20675  zrtermoringc  20676  rhmsubclem4  20689  imadrhmcl  20799  srngf1o  20850  rhmpreimaidl  21288  mulgrhm2  21490  fermltlchr  21545  chrrhm  21547  domnchr  21548  znf1o  21571  znidomb  21581  evlslem3  22105  evlslem6  22106  evlslem1  22107  evlseu  22108  mpfconst  22126  mpfproj  22127  mpfsubrg  22128  mpfind  22132  ply1fermltlchr  22317  evls1val  22325  evls1sca  22328  evl1val  22334  fveval1fvcl  22338  evl1addd  22346  evl1subd  22347  evl1muld  22348  evl1expd  22350  pf1const  22351  pf1id  22352  pf1subrg  22353  mpfpf1  22356  pf1mpf  22357  pf1ind  22360  evls1expd  22372  evls1fpws  22374  ressply1evl  22375  rhmcomulmpl  22387  rhmmpl  22388  rhmply1vr1  22392  rhmply1vsca  22393  ply1remlem  26205  ply1rem  26206  fta1glem1  26208  fta1glem2  26209  fta1g  26210  fta1blem  26211  idomrootle  26213  plypf1  26252  dchrzrhmul  27291  lgsqrlem1  27391  lgsqrlem2  27392  lgsqrlem3  27393  lgseisenlem3  27422  lgseisenlem4  27423  rndrhmcl  33300  rhmdvd  33349  kerunit  33350  znfermltl  33395  elrspunidl  33457  rhmimaidl  33461  rhmpreimaprmidl  33480  evls1fn  33587  evls1dm  33588  evls1fvf  33589  evl1fvf  33590  elirng  33737  irngss  33738  irngnzply1lem  33741  irngnzply1  33742  mdetlap  33832  rhmpreimacnlem  33884  pl1cn  33955  zrhunitpreima  33978  elzrhunit  33979  zrhcntr  33981  qqhval2lem  33983  qqhf  33988  qqhghm  33990  qqhrhm  33991  qqhnm  33992  zndvdchrrhm  41973  fldhmf1  42092  aks6d1c1  42118  hashscontpowcl  42122  hashscontpow  42124  aks6d1c4  42126  aks6d1c2lem4  42129  aks6d1c2  42132  aks6d1c5lem0  42137  aks6d1c5lem3  42139  aks6d1c5lem2  42140  aks6d1c5  42141  aks6d1c6lem1  42172  aks6d1c6lem2  42173  aks6d1c6lem3  42174  aks6d1c6lem5  42179  aks6d1c7lem1  42182  rhmqusspan  42187  aks5lem2  42189  aks5lem3a  42191  aks5lem5a  42193  imacrhmcl  42529  rimcnv  42532  rhmcomulpsr  42566  rhmpsr  42567  evlscl  42573  evlsexpval  42582  evlsaddval  42583  evlsmulval  42584  evlcl  42587  evladdval  42590  evlmulval  42591  selvcl  42598  funcringcsetcALTV2lem8  48218  funcringcsetcALTV2lem9  48219  elringchomALTV  48224  ringcinvALTV  48231  funcringcsetclem8ALTV  48241  funcringcsetclem9ALTV  48242