Theorem rhmf 20459

Description: A ring homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rhmf.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem rhmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmghm 20458	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
2		rhmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rhmf.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
4	2, 3	ghmf 19190	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  Basecbs 17174   GrpHom cghm 19182   RingHom crh 20444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-plusg 17228  df-0g 17399  df-mhm 18746  df-ghm 19183  df-mgp 20117  df-ur 20158  df-ring 20211  df-rhm 20447

This theorem is referenced by:  rimcnv  20460  rhmf1o  20466  rhmdvdsr  20484  rhmopp  20485  rnrhmsubrg  20581  elringchom  20629  rhmsscmap2  20634  rhmsscmap  20635  rhmsubcsetclem2  20637  rhmsubcrngclem2  20643  ringcsect  20646  ringcinv  20647  funcringcsetc  20650  zrtermoringc  20651  rhmsubclem4  20664  imadrhmcl  20773  srngf1o  20824  rhmpreimaidl  21274  mulgrhm2  21457  fermltlchr  21508  chrrhm  21510  domnchr  21511  znf1o  21530  znidomb  21540  evlslem3  22060  evlslem6  22061  evlslem1  22062  evlseu  22063  evlcl  22082  evladdval  22083  evlmulval  22084  mpfconst  22089  mpfproj  22090  mpfsubrg  22091  mpfind  22095  rhmcomulmpl  22104  evlscl  22105  evlsexpval  22108  evlsaddval  22109  evlsmulval  22110  selvcl  22120  ply1fermltlchr  22302  evls1val  22310  evls1sca  22313  evl1val  22319  fveval1fvcl  22323  evl1addd  22331  evl1subd  22332  evl1muld  22333  evl1expd  22335  pf1const  22336  pf1id  22337  pf1subrg  22338  mpfpf1  22341  pf1mpf  22342  pf1ind  22345  evls1expd  22357  evls1fpws  22359  ressply1evl  22360  rhmmpl  22370  rhmply1vr1  22374  rhmply1vsca  22375  ply1remlem  26152  ply1rem  26153  fta1glem1  26155  fta1glem2  26156  fta1g  26157  fta1blem  26158  idomrootle  26160  plypf1  26199  dchrzrhmul  27231  lgsqrlem1  27331  lgsqrlem2  27332  lgsqrlem3  27333  lgseisenlem3  27362  lgseisenlem4  27363  ricdomn1  33374  rndrhmcl  33384  rhmdvd  33411  kerunit  33412  znfermltl  33453  elrspunidl  33515  rhmimaidl  33519  rhmpreimaprmidl  33538  evls1fn  33655  evls1dm  33656  evls1fvf  33657  evl1fvf  33658  mplidomlem  33723  esplyfval0  33760  esplyfval2  33761  esplympl  33763  esplyfval3  33768  vieta  33776  elirng  33882  irngss  33883  irngnzply1lem  33886  irngnzply1  33887  mdetlap  34028  rhmpreimacnlem  34080  pl1cn  34151  zrhunitpreima  34172  elzrhunit  34173  zrhcntr  34175  qqhval2lem  34177  qqhf  34182  qqhghm  34184  qqhrhm  34185  qqhnm  34186  zndvdchrrhm  42473  fldhmf1  42590  aks6d1c1  42616  hashscontpowcl  42620  hashscontpow  42622  aks6d1c4  42624  aks6d1c2lem4  42627  aks6d1c2  42630  aks6d1c5lem0  42635  aks6d1c5lem3  42637  aks6d1c5lem2  42638  aks6d1c5  42639  aks6d1c6lem1  42670  aks6d1c6lem2  42671  aks6d1c6lem3  42672  aks6d1c6lem5  42677  aks6d1c7lem1  42680  rhmqusspan  42685  aks5lem2  42687  aks5lem3a  42689  aks5lem5a  42691  imacrhmcl  43019  rhmcomulpsr  43047  rhmpsr  43048  funcringcsetcALTV2lem8  48802  funcringcsetcALTV2lem9  48803  elringchomALTV  48808  ringcinvALTV  48815  funcringcsetclem8ALTV  48825  funcringcsetclem9ALTV  48826