Theorem rhmf 19474

Description: A ring homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rhmf.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem rhmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmghm 19473	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
2		rhmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rhmf.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
4	2, 3	ghmf 18354	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475   GrpHom cghm 18347   RingHom crh 19460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-0g 16707  df-mhm 17948  df-ghm 18348  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-rnghom 19463

This theorem is referenced by:  rhmf1o  19480  rnrhmsubrg  19560  srngf1o  19618  mulgrhm2  20192  chrrhm  20223  domnchr  20224  znf1o  20243  znidomb  20253  evlslem3  20752  evlslem6  20753  evlslem1  20754  evlseu  20755  mpfconst  20773  mpfproj  20774  mpfsubrg  20775  mpfind  20779  evls1val  20944  evls1sca  20947  evl1val  20953  fveval1fvcl  20957  evl1addd  20965  evl1subd  20966  evl1muld  20967  evl1expd  20969  pf1const  20970  pf1id  20971  pf1subrg  20972  mpfpf1  20975  pf1mpf  20976  pf1ind  20979  ply1remlem  24763  ply1rem  24764  fta1glem1  24766  fta1glem2  24767  fta1g  24768  fta1blem  24769  plypf1  24809  dchrzrhmul  25830  lgsqrlem1  25930  lgsqrlem2  25931  lgsqrlem3  25932  lgseisenlem3  25961  lgseisenlem4  25962  rhmdvdsr  30942  rhmopp  30943  rhmdvd  30945  kerunit  30947  rhmpreimaidl  31011  elrspunidl  31014  rhmimaidl  31017  rhmpreimaprmidl  31035  mdetlap  31185  rhmpreimacnlem  31237  pl1cn  31308  zrhunitpreima  31329  elzrhunit  31330  qqhval2lem  31332  qqhf  31337  qqhghm  31339  qqhrhm  31340  qqhnm  31341  selvval2lem4  39431  selvcl  39433  idomrootle  40139  elringchom  44638  rhmsscmap2  44643  rhmsscmap  44644  rhmsubcsetclem2  44646  rhmsubcrngclem2  44652  ringcsect  44655  ringcinv  44656  funcringcsetc  44659  funcringcsetcALTV2lem8  44667  funcringcsetcALTV2lem9  44668  elringchomALTV  44673  ringcinvALTV  44680  funcringcsetclem8ALTV  44690  funcringcsetclem9ALTV  44691  zrtermoringc  44694  rhmsubclem4  44713