Theorem rhmf 19089

Description: A ring homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rhmf.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem rhmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmghm 19088	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
2		rhmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rhmf.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
4	2, 3	ghmf 18022	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ⟶wf 6123  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  Basecbs 16229   GrpHom cghm 18015   RingHom crh 19075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-map 8129  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-plusg 16325  df-0g 16462  df-mhm 17695  df-ghm 18016  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-rnghom 19078

This theorem is referenced by:  rhmf1o  19095  kerf1hrm  19106  srngf1o  19217  evlslem6  19880  evlslem3  19881  evlslem1  19882  evlseu  19883  mpfconst  19897  mpfproj  19898  mpfsubrg  19899  mpfind  19903  evls1val  20052  evls1sca  20055  evl1val  20060  fveval1fvcl  20064  evl1addd  20072  evl1subd  20073  evl1muld  20074  evl1expd  20076  pf1const  20077  pf1id  20078  pf1subrg  20079  mpfpf1  20082  pf1mpf  20083  pf1ind  20086  mulgrhm2  20214  chrrhm  20246  domnchr  20247  znf1o  20266  znidomb  20276  ply1remlem  24328  ply1rem  24329  fta1glem1  24331  fta1glem2  24332  fta1g  24333  fta1blem  24334  plypf1  24374  dchrzrhmul  25391  lgsqrlem1  25491  lgsqrlem2  25492  lgsqrlem3  25493  lgseisenlem3  25522  lgseisenlem4  25523  rhmdvdsr  30359  rhmopp  30360  rhmdvd  30362  kerunit  30364  mdetlap  30439  pl1cn  30542  zrhunitpreima  30563  elzrhunit  30564  qqhval2lem  30566  qqhf  30571  qqhghm  30573  qqhrhm  30574  qqhnm  30575  idomrootle  38611  elringchom  42875  rhmsscmap2  42880  rhmsscmap  42881  rhmsubcsetclem2  42883  rhmsubcrngclem2  42889  ringcsect  42892  ringcinv  42893  funcringcsetc  42896  funcringcsetcALTV2lem8  42904  funcringcsetcALTV2lem9  42905  elringchomALTV  42910  ringcinvALTV  42917  funcringcsetclem8ALTV  42927  funcringcsetclem9ALTV  42928  zrtermoringc  42931  rhmsubclem4  42950