Theorem rhmf 20511

Description: A ring homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rhmf.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem rhmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmghm 20510	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
2		rhmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rhmf.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
4	2, 3	ghmf 19260	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258   GrpHom cghm 19252   RingHom crh 20495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-0g 17501  df-mhm 18818  df-ghm 19253  df-mgp 20162  df-ur 20209  df-ring 20262  df-rhm 20498

This theorem is referenced by:  rhmf1o  20517  rhmdvdsr  20534  rhmopp  20535  rnrhmsubrg  20633  elringchom  20675  rhmsscmap2  20680  rhmsscmap  20681  rhmsubcsetclem2  20683  rhmsubcrngclem2  20689  ringcsect  20692  ringcinv  20693  funcringcsetc  20696  zrtermoringc  20697  rhmsubclem4  20710  imadrhmcl  20820  srngf1o  20871  rhmpreimaidl  21310  mulgrhm2  21512  fermltlchr  21567  chrrhm  21569  domnchr  21570  znf1o  21593  znidomb  21603  evlslem3  22127  evlslem6  22128  evlslem1  22129  evlseu  22130  mpfconst  22148  mpfproj  22149  mpfsubrg  22150  mpfind  22154  ply1fermltlchr  22337  evls1val  22345  evls1sca  22348  evl1val  22354  fveval1fvcl  22358  evl1addd  22366  evl1subd  22367  evl1muld  22368  evl1expd  22370  pf1const  22371  pf1id  22372  pf1subrg  22373  mpfpf1  22376  pf1mpf  22377  pf1ind  22380  evls1expd  22392  evls1fpws  22394  ressply1evl  22395  rhmcomulmpl  22407  rhmmpl  22408  rhmply1vr1  22412  rhmply1vsca  22413  ply1remlem  26224  ply1rem  26225  fta1glem1  26227  fta1glem2  26228  fta1g  26229  fta1blem  26230  idomrootle  26232  plypf1  26271  dchrzrhmul  27308  lgsqrlem1  27408  lgsqrlem2  27409  lgsqrlem3  27410  lgseisenlem3  27439  lgseisenlem4  27440  rndrhmcl  33265  rhmdvd  33313  kerunit  33314  znfermltl  33359  elrspunidl  33421  rhmimaidl  33425  rhmpreimaprmidl  33444  evls1fn  33551  evls1dm  33552  evls1fvf  33553  evl1fvf  33554  elirng  33686  irngss  33687  irngnzply1lem  33690  irngnzply1  33691  mdetlap  33778  rhmpreimacnlem  33830  pl1cn  33901  zrhunitpreima  33924  elzrhunit  33925  qqhval2lem  33927  qqhf  33932  qqhghm  33934  qqhrhm  33935  qqhnm  33936  zndvdchrrhm  41927  fldhmf1  42047  aks6d1c1  42073  hashscontpowcl  42077  hashscontpow  42079  aks6d1c4  42081  aks6d1c2lem4  42084  aks6d1c2  42087  aks6d1c5lem0  42092  aks6d1c5lem3  42094  aks6d1c5lem2  42095  aks6d1c5  42096  aks6d1c6lem1  42127  aks6d1c6lem2  42128  aks6d1c6lem3  42129  aks6d1c6lem5  42134  aks6d1c7lem1  42137  rhmqusspan  42142  aks5lem2  42144  aks5lem3a  42146  aks5lem5a  42148  imacrhmcl  42469  rimcnv  42472  rhmcomulpsr  42506  rhmpsr  42507  evlscl  42513  evlsexpval  42522  evlsaddval  42523  evlsmulval  42524  evlcl  42527  evladdval  42530  evlmulval  42531  selvcl  42538  funcringcsetcALTV2lem8  48020  funcringcsetcALTV2lem9  48021  elringchomALTV  48026  ringcinvALTV  48033  funcringcsetclem8ALTV  48043  funcringcsetclem9ALTV  48044