Theorem rhmf 20405

Description: A ring homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rhmf.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem rhmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmghm 20404	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
2		rhmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rhmf.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
4	2, 3	ghmf 19134	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155   GrpHom cghm 19126   RingHom crh 20389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-0g 17380  df-mhm 18692  df-ghm 19127  df-mgp 20061  df-ur 20102  df-ring 20155  df-rhm 20392

This theorem is referenced by:  rhmf1o  20411  rhmdvdsr  20428  rhmopp  20429  rnrhmsubrg  20525  elringchom  20573  rhmsscmap2  20578  rhmsscmap  20579  rhmsubcsetclem2  20581  rhmsubcrngclem2  20587  ringcsect  20590  ringcinv  20591  funcringcsetc  20594  zrtermoringc  20595  rhmsubclem4  20608  imadrhmcl  20717  srngf1o  20768  rhmpreimaidl  21219  mulgrhm2  21420  fermltlchr  21471  chrrhm  21473  domnchr  21474  znf1o  21493  znidomb  21503  evlslem3  22020  evlslem6  22021  evlslem1  22022  evlseu  22023  mpfconst  22041  mpfproj  22042  mpfsubrg  22043  mpfind  22047  ply1fermltlchr  22232  evls1val  22240  evls1sca  22243  evl1val  22249  fveval1fvcl  22253  evl1addd  22261  evl1subd  22262  evl1muld  22263  evl1expd  22265  pf1const  22266  pf1id  22267  pf1subrg  22268  mpfpf1  22271  pf1mpf  22272  pf1ind  22275  evls1expd  22287  evls1fpws  22289  ressply1evl  22290  rhmcomulmpl  22302  rhmmpl  22303  rhmply1vr1  22307  rhmply1vsca  22308  ply1remlem  26103  ply1rem  26104  fta1glem1  26106  fta1glem2  26107  fta1g  26108  fta1blem  26109  idomrootle  26111  plypf1  26150  dchrzrhmul  27190  lgsqrlem1  27290  lgsqrlem2  27291  lgsqrlem3  27292  lgseisenlem3  27321  lgseisenlem4  27322  rndrhmcl  33262  rhmdvd  33289  kerunit  33290  znfermltl  33330  elrspunidl  33392  rhmimaidl  33396  rhmpreimaprmidl  33415  evls1fn  33522  evls1dm  33523  evls1fvf  33524  evl1fvf  33525  elirng  33674  irngss  33675  irngnzply1lem  33678  irngnzply1  33679  mdetlap  33815  rhmpreimacnlem  33867  pl1cn  33938  zrhunitpreima  33959  elzrhunit  33960  zrhcntr  33962  qqhval2lem  33964  qqhf  33969  qqhghm  33971  qqhrhm  33972  qqhnm  33973  zndvdchrrhm  41953  fldhmf1  42071  aks6d1c1  42097  hashscontpowcl  42101  hashscontpow  42103  aks6d1c4  42105  aks6d1c2lem4  42108  aks6d1c2  42111  aks6d1c5lem0  42116  aks6d1c5lem3  42118  aks6d1c5lem2  42119  aks6d1c5  42120  aks6d1c6lem1  42151  aks6d1c6lem2  42152  aks6d1c6lem3  42153  aks6d1c6lem5  42158  aks6d1c7lem1  42161  rhmqusspan  42166  aks5lem2  42168  aks5lem3a  42170  aks5lem5a  42172  imacrhmcl  42495  rimcnv  42498  rhmcomulpsr  42532  rhmpsr  42533  evlscl  42539  evlsexpval  42548  evlsaddval  42549  evlsmulval  42550  evlcl  42553  evladdval  42556  evlmulval  42557  selvcl  42564  funcringcsetcALTV2lem8  48278  funcringcsetcALTV2lem9  48279  elringchomALTV  48284  ringcinvALTV  48291  funcringcsetclem8ALTV  48301  funcringcsetclem9ALTV  48302