Theorem rhmf 20437

Description: A ring homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rhmf.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem rhmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmghm 20436	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
2		rhmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rhmf.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
4	2, 3	ghmf 19166	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟶wf 6498  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  Basecbs 17150   GrpHom cghm 19158   RingHom crh 20422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-map 8779  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-plusg 17204  df-0g 17375  df-mhm 18722  df-ghm 19159  df-mgp 20093  df-ur 20134  df-ring 20187  df-rhm 20425

This theorem is referenced by:  rhmf1o  20443  rhmdvdsr  20458  rhmopp  20459  rnrhmsubrg  20555  elringchom  20603  rhmsscmap2  20608  rhmsscmap  20609  rhmsubcsetclem2  20611  rhmsubcrngclem2  20617  ringcsect  20620  ringcinv  20621  funcringcsetc  20624  zrtermoringc  20625  rhmsubclem4  20638  imadrhmcl  20747  srngf1o  20798  rhmpreimaidl  21249  mulgrhm2  21450  fermltlchr  21501  chrrhm  21503  domnchr  21504  znf1o  21523  znidomb  21533  evlslem3  22052  evlslem6  22053  evlslem1  22054  evlseu  22055  evlcl  22074  evladdval  22075  evlmulval  22076  mpfconst  22081  mpfproj  22082  mpfsubrg  22083  mpfind  22087  ply1fermltlchr  22273  evls1val  22281  evls1sca  22284  evl1val  22290  fveval1fvcl  22294  evl1addd  22302  evl1subd  22303  evl1muld  22304  evl1expd  22306  pf1const  22307  pf1id  22308  pf1subrg  22309  mpfpf1  22312  pf1mpf  22313  pf1ind  22316  evls1expd  22328  evls1fpws  22330  ressply1evl  22331  rhmcomulmpl  22343  rhmmpl  22344  rhmply1vr1  22348  rhmply1vsca  22349  ply1remlem  26143  ply1rem  26144  fta1glem1  26146  fta1glem2  26147  fta1g  26148  fta1blem  26149  idomrootle  26151  plypf1  26190  dchrzrhmul  27230  lgsqrlem1  27330  lgsqrlem2  27331  lgsqrlem3  27332  lgseisenlem3  27361  lgseisenlem4  27362  rndrhmcl  33396  rhmdvd  33423  kerunit  33424  znfermltl  33465  elrspunidl  33527  rhmimaidl  33531  rhmpreimaprmidl  33550  evls1fn  33659  evls1dm  33660  evls1fvf  33661  evl1fvf  33662  esplyfval0  33747  esplyfval2  33748  esplympl  33750  esplyfval3  33755  vieta  33763  elirng  33870  irngss  33871  irngnzply1lem  33874  irngnzply1  33875  mdetlap  34016  rhmpreimacnlem  34068  pl1cn  34139  zrhunitpreima  34160  elzrhunit  34161  zrhcntr  34163  qqhval2lem  34165  qqhf  34170  qqhghm  34172  qqhrhm  34173  qqhnm  34174  zndvdchrrhm  42371  fldhmf1  42489  aks6d1c1  42515  hashscontpowcl  42519  hashscontpow  42521  aks6d1c4  42523  aks6d1c2lem4  42526  aks6d1c2  42529  aks6d1c5lem0  42534  aks6d1c5lem3  42536  aks6d1c5lem2  42537  aks6d1c5  42538  aks6d1c6lem1  42569  aks6d1c6lem2  42570  aks6d1c6lem3  42571  aks6d1c6lem5  42576  aks6d1c7lem1  42579  rhmqusspan  42584  aks5lem2  42586  aks5lem3a  42588  aks5lem5a  42590  imacrhmcl  42913  rimcnv  42916  rhmcomulpsr  42948  rhmpsr  42949  evlscl  42953  evlsexpval  42957  evlsaddval  42958  evlsmulval  42959  selvcl  42970  funcringcsetcALTV2lem8  48686  funcringcsetcALTV2lem9  48687  elringchomALTV  48692  ringcinvALTV  48699  funcringcsetclem8ALTV  48709  funcringcsetclem9ALTV  48710