Theorem rhmf 20535

Description: A ring homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rhmf.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem rhmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmghm 20534	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
2		rhmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rhmf.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
4	2, 3	ghmf 19262	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ⟶wf 6519  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  Basecbs 17247   GrpHom cghm 19255   RingHom crh 20520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-plusg 17301  df-0g 17472  df-mhm 18819  df-ghm 19256  df-mgp 20189  df-ur 20234  df-ring 20287  df-rhm 20523

This theorem is referenced by:  rimcnv  20536  rhmf1o  20542  rhmdvdsr  20560  rhmopp  20561  rnrhmsubrg  20657  elringchom  20705  rhmsscmap2  20710  rhmsscmap  20711  rhmsubcsetclem2  20713  rhmsubcrngclem2  20719  ringcsect  20722  ringcinv  20723  funcringcsetc  20726  zrtermoringc  20727  rhmsubclem4  20740  imadrhmcl  20848  srngf1o  20899  rhmpreimaidl  21349  mulgrhm2  21532  fermltlchr  21583  chrrhm  21585  domnchr  21586  znf1o  21605  znidomb  21615  evlslem3  22135  evlslem6  22136  evlslem1  22137  evlseu  22138  evlcl  22157  evladdval  22158  evlmulval  22159  mpfconst  22164  mpfproj  22165  mpfsubrg  22166  mpfind  22170  rhmcomulmpl  22179  evlscl  22180  evlsexpval  22183  evlsaddval  22184  evlsmulval  22185  selvcl  22195  ply1fermltlchr  22377  evls1val  22385  evls1sca  22388  evl1val  22394  fveval1fvcl  22398  evl1addd  22406  evl1subd  22407  evl1muld  22408  evl1expd  22410  pf1const  22411  pf1id  22412  pf1subrg  22413  mpfpf1  22416  pf1mpf  22417  pf1ind  22420  evls1expd  22432  evls1fpws  22434  ressply1evl  22435  rhmmpl  22445  rhmply1vr1  22449  rhmply1vsca  22450  ply1remlem  26227  ply1rem  26228  fta1glem1  26230  fta1glem2  26231  fta1g  26232  fta1blem  26233  idomrootle  26235  plypf1  26274  dchrzrhmul  27312  lgsqrlem1  27412  lgsqrlem2  27413  lgsqrlem3  27414  lgseisenlem3  27443  lgseisenlem4  27444  ricdomn1  33475  rndrhmcl  33485  rhmdvd  33512  kerunit  33513  znfermltl  33554  elrspunidl  33616  rhmimaidl  33620  rhmpreimaprmidl  33640  evls1fn  33758  evls1dm  33759  evls1fvf  33760  evl1fvf  33761  mplidomlem  33826  esplyfval0  33863  esplyfval2  33864  esplympl  33866  esplyfval3  33871  vieta  33879  elirng  33985  irngss  33986  irngnzply1lem  33989  irngnzply1  33990  mdetlap  34131  rhmpreimacnlem  34183  pl1cn  34254  zrhunitpreima  34275  elzrhunit  34276  zrhcntr  34278  qqhval2lem  34280  qqhf  34285  qqhghm  34287  qqhrhm  34288  qqhnm  34289  zndvdchrrhm  42595  fldhmf1  42712  aks6d1c1  42738  hashscontpowcl  42742  hashscontpow  42744  aks6d1c4  42746  aks6d1c2lem4  42749  aks6d1c2  42752  aks6d1c5lem0  42757  aks6d1c5lem3  42759  aks6d1c5lem2  42760  aks6d1c5  42761  aks6d1c6lem1  42792  aks6d1c6lem2  42793  aks6d1c6lem3  42794  aks6d1c6lem5  42799  aks6d1c7lem1  42802  rhmqusspan  42807  aks5lem2  42809  aks5lem3a  42811  aks5lem5a  42813  imacrhmcl  43141  rhmcomulpsr  43169  rhmpsr  43170  funcringcsetcALTV2lem8  48924  funcringcsetcALTV2lem9  48925  elringchomALTV  48930  ringcinvALTV  48937  funcringcsetclem8ALTV  48947  funcringcsetclem9ALTV  48948