Theorem rhmf 19481

Description: A ring homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rhmf.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem rhmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmghm 19480	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
2		rhmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rhmf.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
4	2, 3	ghmf 18365	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  Basecbs 16486   GrpHom cghm 18358   RingHom crh 19467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-map 8411  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-plusg 16581  df-0g 16718  df-mhm 17959  df-ghm 18359  df-mgp 19243  df-ur 19255  df-ring 19302  df-rnghom 19470

This theorem is referenced by:  rhmf1o  19487  kerf1hrmOLD  19501  rnrhmsubrg  19570  srngf1o  19628  evlslem3  20296  evlslem6  20297  evlslem1  20298  evlseu  20299  mpfconst  20317  mpfproj  20318  mpfsubrg  20319  mpfind  20323  evls1val  20486  evls1sca  20489  evl1val  20495  fveval1fvcl  20499  evl1addd  20507  evl1subd  20508  evl1muld  20509  evl1expd  20511  pf1const  20512  pf1id  20513  pf1subrg  20514  mpfpf1  20517  pf1mpf  20518  pf1ind  20521  mulgrhm2  20649  chrrhm  20681  domnchr  20682  znf1o  20701  znidomb  20711  ply1remlem  24759  ply1rem  24760  fta1glem1  24762  fta1glem2  24763  fta1g  24764  fta1blem  24765  plypf1  24805  dchrzrhmul  25825  lgsqrlem1  25925  lgsqrlem2  25926  lgsqrlem3  25927  lgseisenlem3  25956  lgseisenlem4  25957  rhmdvdsr  30895  rhmopp  30896  rhmdvd  30898  kerunit  30900  mdetlap  31101  pl1cn  31202  zrhunitpreima  31223  elzrhunit  31224  qqhval2lem  31226  qqhf  31231  qqhghm  31233  qqhrhm  31234  qqhnm  31235  selvval2lem4  39142  selvcl  39144  idomrootle  39801  elringchom  44292  rhmsscmap2  44297  rhmsscmap  44298  rhmsubcsetclem2  44300  rhmsubcrngclem2  44306  ringcsect  44309  ringcinv  44310  funcringcsetc  44313  funcringcsetcALTV2lem8  44321  funcringcsetcALTV2lem9  44322  elringchomALTV  44327  ringcinvALTV  44334  funcringcsetclem8ALTV  44344  funcringcsetclem9ALTV  44345  zrtermoringc  44348  rhmsubclem4  44367