Theorem rhmf 20450

Description: A ring homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rhmf.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem rhmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmghm 20449	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
2		rhmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rhmf.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
4	2, 3	ghmf 19208	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17233   GrpHom cghm 19200   RingHom crh 20434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-plusg 17289  df-0g 17460  df-mhm 18766  df-ghm 19201  df-mgp 20106  df-ur 20147  df-ring 20200  df-rhm 20437

This theorem is referenced by:  rhmf1o  20456  rhmdvdsr  20473  rhmopp  20474  rnrhmsubrg  20570  elringchom  20618  rhmsscmap2  20623  rhmsscmap  20624  rhmsubcsetclem2  20626  rhmsubcrngclem2  20632  ringcsect  20635  ringcinv  20636  funcringcsetc  20639  zrtermoringc  20640  rhmsubclem4  20653  imadrhmcl  20762  srngf1o  20813  rhmpreimaidl  21243  mulgrhm2  21444  fermltlchr  21495  chrrhm  21497  domnchr  21498  znf1o  21517  znidomb  21527  evlslem3  22043  evlslem6  22044  evlslem1  22045  evlseu  22046  mpfconst  22064  mpfproj  22065  mpfsubrg  22066  mpfind  22070  ply1fermltlchr  22255  evls1val  22263  evls1sca  22266  evl1val  22272  fveval1fvcl  22276  evl1addd  22284  evl1subd  22285  evl1muld  22286  evl1expd  22288  pf1const  22289  pf1id  22290  pf1subrg  22291  mpfpf1  22294  pf1mpf  22295  pf1ind  22298  evls1expd  22310  evls1fpws  22312  ressply1evl  22313  rhmcomulmpl  22325  rhmmpl  22326  rhmply1vr1  22330  rhmply1vsca  22331  ply1remlem  26127  ply1rem  26128  fta1glem1  26130  fta1glem2  26131  fta1g  26132  fta1blem  26133  idomrootle  26135  plypf1  26174  dchrzrhmul  27214  lgsqrlem1  27314  lgsqrlem2  27315  lgsqrlem3  27316  lgseisenlem3  27345  lgseisenlem4  27346  rndrhmcl  33295  rhmdvd  33345  kerunit  33346  znfermltl  33386  elrspunidl  33448  rhmimaidl  33452  rhmpreimaprmidl  33471  evls1fn  33578  evls1dm  33579  evls1fvf  33580  evl1fvf  33581  elirng  33732  irngss  33733  irngnzply1lem  33736  irngnzply1  33737  mdetlap  33868  rhmpreimacnlem  33920  pl1cn  33991  zrhunitpreima  34012  elzrhunit  34013  zrhcntr  34015  qqhval2lem  34017  qqhf  34022  qqhghm  34024  qqhrhm  34025  qqhnm  34026  zndvdchrrhm  41990  fldhmf1  42108  aks6d1c1  42134  hashscontpowcl  42138  hashscontpow  42140  aks6d1c4  42142  aks6d1c2lem4  42145  aks6d1c2  42148  aks6d1c5lem0  42153  aks6d1c5lem3  42155  aks6d1c5lem2  42156  aks6d1c5  42157  aks6d1c6lem1  42188  aks6d1c6lem2  42189  aks6d1c6lem3  42190  aks6d1c6lem5  42195  aks6d1c7lem1  42198  rhmqusspan  42203  aks5lem2  42205  aks5lem3a  42207  aks5lem5a  42209  imacrhmcl  42512  rimcnv  42515  rhmcomulpsr  42549  rhmpsr  42550  evlscl  42556  evlsexpval  42565  evlsaddval  42566  evlsmulval  42567  evlcl  42570  evladdval  42573  evlmulval  42574  selvcl  42581  funcringcsetcALTV2lem8  48252  funcringcsetcALTV2lem9  48253  elringchomALTV  48258  ringcinvALTV  48265  funcringcsetclem8ALTV  48275  funcringcsetclem9ALTV  48276