Theorem rhmf 19970

Description: A ring homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rhmf.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem rhmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmghm 19969	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
2		rhmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rhmf.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
4	2, 3	ghmf 18838	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912   GrpHom cghm 18831   RingHom crh 19956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-mhm 18430  df-ghm 18832  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-rnghom 19959

This theorem is referenced by:  rhmf1o  19976  rnrhmsubrg  20056  srngf1o  20114  mulgrhm2  20700  chrrhm  20735  domnchr  20736  znf1o  20759  znidomb  20769  evlslem3  21290  evlslem6  21291  evlslem1  21292  evlseu  21293  mpfconst  21311  mpfproj  21312  mpfsubrg  21313  mpfind  21317  evls1val  21486  evls1sca  21489  evl1val  21495  fveval1fvcl  21499  evl1addd  21507  evl1subd  21508  evl1muld  21509  evl1expd  21511  pf1const  21512  pf1id  21513  pf1subrg  21514  mpfpf1  21517  pf1mpf  21518  pf1ind  21521  ply1remlem  25327  ply1rem  25328  fta1glem1  25330  fta1glem2  25331  fta1g  25332  fta1blem  25333  plypf1  25373  dchrzrhmul  26394  lgsqrlem1  26494  lgsqrlem2  26495  lgsqrlem3  26496  lgseisenlem3  26525  lgseisenlem4  26526  rhmdvdsr  31517  rhmopp  31518  rhmdvd  31520  kerunit  31522  znfermltl  31562  rhmpreimaidl  31603  elrspunidl  31606  rhmimaidl  31609  rhmpreimaprmidl  31627  ply1fermltl  31670  mdetlap  31782  rhmpreimacnlem  31834  pl1cn  31905  zrhunitpreima  31928  elzrhunit  31929  qqhval2lem  31931  qqhf  31936  qqhghm  31938  qqhrhm  31939  qqhnm  31940  selvval2lem4  40228  selvcl  40230  evlsexpval  40276  evlsaddval  40277  evlsmulval  40278  mhphf  40285  idomrootle  41020  elringchom  45572  rhmsscmap2  45577  rhmsscmap  45578  rhmsubcsetclem2  45580  rhmsubcrngclem2  45586  ringcsect  45589  ringcinv  45590  funcringcsetc  45593  funcringcsetcALTV2lem8  45601  funcringcsetcALTV2lem9  45602  elringchomALTV  45607  ringcinvALTV  45614  funcringcsetclem8ALTV  45624  funcringcsetclem9ALTV  45625  zrtermoringc  45628  rhmsubclem4  45647