Theorem rhmf 19885

Description: A ring homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rhmf.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem rhmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmghm 19884	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
2		rhmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rhmf.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
4	2, 3	ghmf 18753	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840   GrpHom cghm 18746   RingHom crh 19871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-mhm 18345  df-ghm 18747  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-rnghom 19874

This theorem is referenced by:  rhmf1o  19891  rnrhmsubrg  19971  srngf1o  20029  mulgrhm2  20612  chrrhm  20647  domnchr  20648  znf1o  20671  znidomb  20681  evlslem3  21200  evlslem6  21201  evlslem1  21202  evlseu  21203  mpfconst  21221  mpfproj  21222  mpfsubrg  21223  mpfind  21227  evls1val  21396  evls1sca  21399  evl1val  21405  fveval1fvcl  21409  evl1addd  21417  evl1subd  21418  evl1muld  21419  evl1expd  21421  pf1const  21422  pf1id  21423  pf1subrg  21424  mpfpf1  21427  pf1mpf  21428  pf1ind  21431  ply1remlem  25232  ply1rem  25233  fta1glem1  25235  fta1glem2  25236  fta1g  25237  fta1blem  25238  plypf1  25278  dchrzrhmul  26299  lgsqrlem1  26399  lgsqrlem2  26400  lgsqrlem3  26401  lgseisenlem3  26430  lgseisenlem4  26431  rhmdvdsr  31419  rhmopp  31420  rhmdvd  31422  kerunit  31424  znfermltl  31464  rhmpreimaidl  31505  elrspunidl  31508  rhmimaidl  31511  rhmpreimaprmidl  31529  ply1fermltl  31572  mdetlap  31684  rhmpreimacnlem  31736  pl1cn  31807  zrhunitpreima  31828  elzrhunit  31829  qqhval2lem  31831  qqhf  31836  qqhghm  31838  qqhrhm  31839  qqhnm  31840  selvval2lem4  40154  selvcl  40156  evlsexpval  40199  evlsaddval  40200  evlsmulval  40201  mhphf  40208  idomrootle  40936  elringchom  45460  rhmsscmap2  45465  rhmsscmap  45466  rhmsubcsetclem2  45468  rhmsubcrngclem2  45474  ringcsect  45477  ringcinv  45478  funcringcsetc  45481  funcringcsetcALTV2lem8  45489  funcringcsetcALTV2lem9  45490  elringchomALTV  45495  ringcinvALTV  45502  funcringcsetclem8ALTV  45512  funcringcsetclem9ALTV  45513  zrtermoringc  45516  rhmsubclem4  45535