Theorem rhmf 20370

Description: A ring homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rhmf.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem rhmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmghm 20369	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
2		rhmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rhmf.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
4	2, 3	ghmf 19099	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120   GrpHom cghm 19091   RingHom crh 20354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-0g 17345  df-mhm 18657  df-ghm 19092  df-mgp 20026  df-ur 20067  df-ring 20120  df-rhm 20357

This theorem is referenced by:  rhmf1o  20376  rhmdvdsr  20393  rhmopp  20394  rnrhmsubrg  20490  elringchom  20538  rhmsscmap2  20543  rhmsscmap  20544  rhmsubcsetclem2  20546  rhmsubcrngclem2  20552  ringcsect  20555  ringcinv  20556  funcringcsetc  20559  zrtermoringc  20560  rhmsubclem4  20573  imadrhmcl  20682  srngf1o  20733  rhmpreimaidl  21184  mulgrhm2  21385  fermltlchr  21436  chrrhm  21438  domnchr  21439  znf1o  21458  znidomb  21468  evlslem3  21985  evlslem6  21986  evlslem1  21987  evlseu  21988  mpfconst  22006  mpfproj  22007  mpfsubrg  22008  mpfind  22012  ply1fermltlchr  22197  evls1val  22205  evls1sca  22208  evl1val  22214  fveval1fvcl  22218  evl1addd  22226  evl1subd  22227  evl1muld  22228  evl1expd  22230  pf1const  22231  pf1id  22232  pf1subrg  22233  mpfpf1  22236  pf1mpf  22237  pf1ind  22240  evls1expd  22252  evls1fpws  22254  ressply1evl  22255  rhmcomulmpl  22267  rhmmpl  22268  rhmply1vr1  22272  rhmply1vsca  22273  ply1remlem  26068  ply1rem  26069  fta1glem1  26071  fta1glem2  26072  fta1g  26073  fta1blem  26074  idomrootle  26076  plypf1  26115  dchrzrhmul  27155  lgsqrlem1  27255  lgsqrlem2  27256  lgsqrlem3  27257  lgseisenlem3  27286  lgseisenlem4  27287  rndrhmcl  33244  rhmdvd  33271  kerunit  33272  znfermltl  33312  elrspunidl  33374  rhmimaidl  33378  rhmpreimaprmidl  33397  evls1fn  33504  evls1dm  33505  evls1fvf  33506  evl1fvf  33507  elirng  33669  irngss  33670  irngnzply1lem  33673  irngnzply1  33674  mdetlap  33815  rhmpreimacnlem  33867  pl1cn  33938  zrhunitpreima  33959  elzrhunit  33960  zrhcntr  33962  qqhval2lem  33964  qqhf  33969  qqhghm  33971  qqhrhm  33972  qqhnm  33973  zndvdchrrhm  41965  fldhmf1  42083  aks6d1c1  42109  hashscontpowcl  42113  hashscontpow  42115  aks6d1c4  42117  aks6d1c2lem4  42120  aks6d1c2  42123  aks6d1c5lem0  42128  aks6d1c5lem3  42130  aks6d1c5lem2  42131  aks6d1c5  42132  aks6d1c6lem1  42163  aks6d1c6lem2  42164  aks6d1c6lem3  42165  aks6d1c6lem5  42170  aks6d1c7lem1  42173  rhmqusspan  42178  aks5lem2  42180  aks5lem3a  42182  aks5lem5a  42184  imacrhmcl  42507  rimcnv  42510  rhmcomulpsr  42544  rhmpsr  42545  evlscl  42551  evlsexpval  42560  evlsaddval  42561  evlsmulval  42562  evlcl  42565  evladdval  42568  evlmulval  42569  selvcl  42576  funcringcsetcALTV2lem8  48301  funcringcsetcALTV2lem9  48302  elringchomALTV  48307  ringcinvALTV  48314  funcringcsetclem8ALTV  48324  funcringcsetclem9ALTV  48325