Theorem rhmf 20502

Description: A ring homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rhmf.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem rhmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmghm 20501	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
2		rhmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rhmf.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
4	2, 3	ghmf 19251	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245   GrpHom cghm 19243   RingHom crh 20486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mhm 18809  df-ghm 19244  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253  df-rhm 20489

This theorem is referenced by:  rhmf1o  20508  rhmdvdsr  20525  rhmopp  20526  rnrhmsubrg  20622  elringchom  20670  rhmsscmap2  20675  rhmsscmap  20676  rhmsubcsetclem2  20678  rhmsubcrngclem2  20684  ringcsect  20687  ringcinv  20688  funcringcsetc  20691  zrtermoringc  20692  rhmsubclem4  20705  imadrhmcl  20815  srngf1o  20866  rhmpreimaidl  21305  mulgrhm2  21507  fermltlchr  21562  chrrhm  21564  domnchr  21565  znf1o  21588  znidomb  21598  evlslem3  22122  evlslem6  22123  evlslem1  22124  evlseu  22125  mpfconst  22143  mpfproj  22144  mpfsubrg  22145  mpfind  22149  ply1fermltlchr  22332  evls1val  22340  evls1sca  22343  evl1val  22349  fveval1fvcl  22353  evl1addd  22361  evl1subd  22362  evl1muld  22363  evl1expd  22365  pf1const  22366  pf1id  22367  pf1subrg  22368  mpfpf1  22371  pf1mpf  22372  pf1ind  22375  evls1expd  22387  evls1fpws  22389  ressply1evl  22390  rhmcomulmpl  22402  rhmmpl  22403  rhmply1vr1  22407  rhmply1vsca  22408  ply1remlem  26219  ply1rem  26220  fta1glem1  26222  fta1glem2  26223  fta1g  26224  fta1blem  26225  idomrootle  26227  plypf1  26266  dchrzrhmul  27305  lgsqrlem1  27405  lgsqrlem2  27406  lgsqrlem3  27407  lgseisenlem3  27436  lgseisenlem4  27437  rndrhmcl  33280  rhmdvd  33328  kerunit  33329  znfermltl  33374  elrspunidl  33436  rhmimaidl  33440  rhmpreimaprmidl  33459  evls1fn  33566  evls1dm  33567  evls1fvf  33568  evl1fvf  33569  elirng  33701  irngss  33702  irngnzply1lem  33705  irngnzply1  33706  mdetlap  33793  rhmpreimacnlem  33845  pl1cn  33916  zrhunitpreima  33939  elzrhunit  33940  zrhcntr  33942  qqhval2lem  33944  qqhf  33949  qqhghm  33951  qqhrhm  33952  qqhnm  33953  zndvdchrrhm  41953  fldhmf1  42072  aks6d1c1  42098  hashscontpowcl  42102  hashscontpow  42104  aks6d1c4  42106  aks6d1c2lem4  42109  aks6d1c2  42112  aks6d1c5lem0  42117  aks6d1c5lem3  42119  aks6d1c5lem2  42120  aks6d1c5  42121  aks6d1c6lem1  42152  aks6d1c6lem2  42153  aks6d1c6lem3  42154  aks6d1c6lem5  42159  aks6d1c7lem1  42162  rhmqusspan  42167  aks5lem2  42169  aks5lem3a  42171  aks5lem5a  42173  imacrhmcl  42501  rimcnv  42504  rhmcomulpsr  42538  rhmpsr  42539  evlscl  42545  evlsexpval  42554  evlsaddval  42555  evlsmulval  42556  evlcl  42559  evladdval  42562  evlmulval  42563  selvcl  42570  funcringcsetcALTV2lem8  48141  funcringcsetcALTV2lem9  48142  elringchomALTV  48147  ringcinvALTV  48154  funcringcsetclem8ALTV  48164  funcringcsetclem9ALTV  48165