Theorem rhmf 19600

Description: A ring homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rhmf.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem rhmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmghm 19599	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
2		rhmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rhmf.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
4	2, 3	ghmf 18480	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟶wf 6335  ‘cfv 6339  (class class class)co 7170  Basecbs 16586   GrpHom cghm 18473   RingHom crh 19586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-plusg 16681  df-0g 16818  df-mhm 18072  df-ghm 18474  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-rnghom 19589

This theorem is referenced by:  rhmf1o  19606  rnrhmsubrg  19686  srngf1o  19744  mulgrhm2  20319  chrrhm  20350  domnchr  20351  znf1o  20370  znidomb  20380  evlslem3  20894  evlslem6  20895  evlslem1  20896  evlseu  20897  mpfconst  20915  mpfproj  20916  mpfsubrg  20917  mpfind  20921  evls1val  21090  evls1sca  21093  evl1val  21099  fveval1fvcl  21103  evl1addd  21111  evl1subd  21112  evl1muld  21113  evl1expd  21115  pf1const  21116  pf1id  21117  pf1subrg  21118  mpfpf1  21121  pf1mpf  21122  pf1ind  21125  ply1remlem  24915  ply1rem  24916  fta1glem1  24918  fta1glem2  24919  fta1g  24920  fta1blem  24921  plypf1  24961  dchrzrhmul  25982  lgsqrlem1  26082  lgsqrlem2  26083  lgsqrlem3  26084  lgseisenlem3  26113  lgseisenlem4  26114  rhmdvdsr  31094  rhmopp  31095  rhmdvd  31097  kerunit  31099  znfermltl  31134  rhmpreimaidl  31175  elrspunidl  31178  rhmimaidl  31181  rhmpreimaprmidl  31199  ply1fermltl  31242  mdetlap  31354  rhmpreimacnlem  31406  pl1cn  31477  zrhunitpreima  31498  elzrhunit  31499  qqhval2lem  31501  qqhf  31506  qqhghm  31508  qqhrhm  31509  qqhnm  31510  selvval2lem4  39810  selvcl  39812  evlsexpval  39855  evlsaddval  39856  evlsmulval  39857  mhphf  39864  idomrootle  40592  elringchom  45106  rhmsscmap2  45111  rhmsscmap  45112  rhmsubcsetclem2  45114  rhmsubcrngclem2  45120  ringcsect  45123  ringcinv  45124  funcringcsetc  45127  funcringcsetcALTV2lem8  45135  funcringcsetcALTV2lem9  45136  elringchomALTV  45141  ringcinvALTV  45148  funcringcsetclem8ALTV  45158  funcringcsetclem9ALTV  45159  zrtermoringc  45162  rhmsubclem4  45181