Theorem rhmf 20263

Description: A ring homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rhmf.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem rhmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmghm 20262	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
2		rhmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rhmf.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
4	2, 3	ghmf 19096	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144   GrpHom cghm 19089   RingHom crh 20248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-mhm 18671  df-ghm 19090  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-rnghom 20251

This theorem is referenced by:  rhmf1o  20269  rhmdvdsr  20287  rhmopp  20288  rnrhmsubrg  20352  imadrhmcl  20413  srngf1o  20462  mulgrhm2  21048  chrrhm  21083  domnchr  21084  znf1o  21107  znidomb  21117  evlslem3  21643  evlslem6  21644  evlslem1  21645  evlseu  21646  mpfconst  21664  mpfproj  21665  mpfsubrg  21666  mpfind  21670  evls1val  21839  evls1sca  21842  evl1val  21848  fveval1fvcl  21852  evl1addd  21860  evl1subd  21861  evl1muld  21862  evl1expd  21864  pf1const  21865  pf1id  21866  pf1subrg  21867  mpfpf1  21870  pf1mpf  21871  pf1ind  21874  ply1remlem  25680  ply1rem  25681  fta1glem1  25683  fta1glem2  25684  fta1g  25685  fta1blem  25686  plypf1  25726  dchrzrhmul  26749  lgsqrlem1  26849  lgsqrlem2  26850  lgsqrlem3  26851  lgseisenlem3  26880  lgseisenlem4  26881  rndrhmcl  32396  rhmdvd  32436  kerunit  32437  fermltlchr  32478  znfermltl  32479  rhmpreimaidl  32537  elrspunidl  32546  rhmimaidl  32550  rhmpreimaprmidl  32570  evls1fn  32640  evls1dm  32641  evls1fvf  32642  evls1expd  32644  evls1fpws  32646  ressply1evl  32647  ply1fermltlchr  32662  elirng  32750  irngss  32751  irngnzply1lem  32754  irngnzply1  32755  mdetlap  32812  rhmpreimacnlem  32864  pl1cn  32935  zrhunitpreima  32958  elzrhunit  32959  qqhval2lem  32961  qqhf  32966  qqhghm  32968  qqhrhm  32969  qqhnm  32970  fldhmf1  40955  imacrhmcl  41089  rimcnv  41092  rhmcomulmpl  41124  rhmmpl  41125  evlscl  41130  evlsexpval  41139  evlsaddval  41140  evlsmulval  41141  evlcl  41144  evladdval  41147  evlmulval  41148  selvcl  41155  idomrootle  41937  elringchom  46912  rhmsscmap2  46917  rhmsscmap  46918  rhmsubcsetclem2  46920  rhmsubcrngclem2  46926  ringcsect  46929  ringcinv  46930  funcringcsetc  46933  funcringcsetcALTV2lem8  46941  funcringcsetcALTV2lem9  46942  elringchomALTV  46947  ringcinvALTV  46954  funcringcsetclem8ALTV  46964  funcringcsetclem9ALTV  46965  zrtermoringc  46968  rhmsubclem4  46987