Theorem rhmf 20715

Description: A ring homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rhmf.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem rhmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmghm 20714	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
2		rhmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rhmf.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
4	2, 3	ghmf 19434	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
5	1, 4	syl 18	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387   GrpHom cghm 19427   RingHom crh 20699

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-0g 17612  df-mhm 18978  df-ghm 19428  df-mgp 20361  df-ur 20408  df-ring 20461  df-rhm 20702

This theorem is used by:  rhmcl  20716  rimcnv  20717  crngrhmfo  20726  rhmf1o  20727  rhmdvdsr  20758  rhmopp  20759  rnrhmsubrg  20857  elringchom  20905  rhmsscmap2  20910  rhmsscmap  20911  rhmsubcsetclem2  20913  rhmsubcrngclem2  20919  ringcsect  20922  ringcinv  20923  funcringcsetc  20926  zrtermoringc  20927  rhmsubclem4  20940  imadrhmcl  21054  srngf1o  21105  rhmpreimaidl  21571  rhmpreimaprmidl  21635  mulgrhm2  21784  fermltlchr  21835  chrrhm  21837  domnchr  21838  znf1o  21857  znidomb  21867  evlslem3  22389  evlslem6  22390  evlslem1  22391  evlseu  22392  evlcl  22411  evladdval  22412  evlmulval  22413  mpfconst  22418  mpfproj  22419  mpfsubrg  22420  mpfind  22424  rhmcomulmpl  22433  evlscl  22434  evlsexpval  22437  evlsaddval  22438  evlsmulval  22439  selvcl  22449  ply1fermltlchr  22630  evls1val  22638  evls1sca  22641  evl1val  22647  fveval1fvcl  22651  evl1addd  22659  evl1subd  22660  evl1muld  22661  evl1expd  22663  pf1const  22664  pf1id  22665  pf1subrg  22666  mpfpf1  22669  pf1mpf  22670  pf1ind  22673  evls1expd  22685  evls1fpws  22687  ressply1evl  22688  rhmmpl  22698  rhmply1vr1  22702  rhmply1vsca  22703  ply1remlem  26483  ply1rem  26484  fta1glem1  26486  fta1glem2  26487  fta1g  26488  fta1blem  26489  idomrootle  26491  plypf1  26531  dchrzrhmul  27573  lgsqrlem1  27673  lgsqrlem2  27674  lgsqrlem3  27675  lgseisenlem3  27704  lgseisenlem4  27705  ricdomn1  33850  rndrhmcl  33858  rhmdvd  33885  kerunit  33886  znfermltl  33922  elrspunidl  33978  rhmimaidl  33982  evls1fn  34092  evls1dm  34093  evls1fvf  34094  evl1fvf  34095  mplidomlem  34159  esplyfval0  34196  esplyfval2  34197  esplympl  34199  esplyfval3  34204  vieta  34212  elirng  34318  irngss  34319  irngnzply1lem  34322  irngnzply1  34323  mdetlap  34464  rhmpreimacnlem  34516  pl1cn  34587  zrhunitpreima  34608  elzrhunit  34609  zrhcntr  34611  qqhval2lem  34613  qqhf  34618  qqhghm  34620  qqhrhm  34621  qqhnm  34622  zndvdchrrhm  43024  fldhmf1  43141  aks6d1c1  43167  hashscontpowcl  43171  hashscontpow  43173  aks6d1c4  43175  aks6d1c2lem4  43178  aks6d1c2  43181  aks6d1c5lem0  43186  aks6d1c5lem3  43188  aks6d1c5lem2  43189  aks6d1c5  43190  aks6d1c6lem1  43221  aks6d1c6lem2  43222  aks6d1c6lem3  43223  aks6d1c6lem5  43228  aks6d1c7lem1  43231  rhmqusspan  43236  aks5lem2  43238  aks5lem3a  43240  aks5lem5a  43242  imacrhmcl  43582  rhmcomulpsr  43611  rhmpsr  43612  funcringcsetcALTV2lem8  49394  funcringcsetcALTV2lem9  49395  elringchomALTV  49400  ringcinvALTV  49407  funcringcsetclem8ALTV  49417  funcringcsetclem9ALTV  49418