Theorem ring1zr 20051

Description: The only (unital) ring with a base set consisting of one element is the zero ring (at least if its operations are internal binary operations). Note: The assumption 𝑅 ∈ Ring could be weakened if a definition of a non-unital ring ("Rng") was available (it would be sufficient that the multiplication is closed). (Contributed by FL, 13-Feb-2010.) (Revised by AV, 25-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 7-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ring1zr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ring1zr.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
ring1zr.t	⊢ ∗ = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ring1zr	⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝐵 = {𝑍} ↔ ( + = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ∧ ∗ = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩})))

Proof of Theorem ring1zr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringsrg 19342	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
2		ring1zr.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		ring1zr.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
4		ring1zr.t	. . 3 ⊢ ∗ = (.r‘𝑅)
5	2, 3, 4	srg1zr 19282	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝐵 = {𝑍} ↔ ( + = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ∧ ∗ = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩})))
6	1, 5	syl3anl1 1408	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝐵 = {𝑍} ↔ ( + = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ∧ ∗ = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  {csn 4570  ⟨cop 4576   × cxp 5556   Fn wfn 6353  ‘cfv 6358  Basecbs 16486  +_gcplusg 16568  ._rcmulr 16569  SRingcsrg 19258  Ringcrg 19300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-plusg 16581  df-0g 16718  df-plusf 17854  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-cmn 18911  df-abl 18912  df-mgp 19243  df-ur 19255  df-srg 19259  df-ring 19302

This theorem is referenced by:  rngen1zr  20052