Theorem ring1zr 20527

Description: The only (unital) ring with a base set consisting of one element is the zero ring (at least if its operations are internal binary operations). Note: The assumption 𝑅 ∈ Ring could be weakened if a definition of a non-unital ring ("Rng") was available (it would be sufficient that the multiplication is closed). (Contributed by FL, 13-Feb-2010.) (Revised by AV, 25-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 7-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ring1zr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ring1zr.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
ring1zr.t	⊢ ∗ = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ring1zr	⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝐵 = {𝑍} ↔ ( + = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ∧ ∗ = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩})))

Proof of Theorem ring1zr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringsrg 19809	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
2		ring1zr.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		ring1zr.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
4		ring1zr.t	. . 3 ⊢ ∗ = (.r‘𝑅)
5	2, 3, 4	srg1zr 19746	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝐵 = {𝑍} ↔ ( + = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ∧ ∗ = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩})))
6	1, 5	syl3anl1 1410	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝐵 = {𝑍} ↔ ( + = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ∧ ∗ = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  {csn 4566  ⟨cop 4572   × cxp 5586   Fn wfn 6425  ‘cfv 6430  Basecbs 16893  +_gcplusg 16943  ._rcmulr 16944  SRingcsrg 19722  Ringcrg 19764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-2 12019  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-plusg 16956  df-0g 17133  df-plusf 18306  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-grp 18561  df-minusg 18562  df-cmn 19369  df-abl 19370  df-mgp 19702  df-ur 19719  df-srg 19723  df-ring 19766

This theorem is referenced by:  rngen1zr  20528