MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sersub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sersub 14008
Description: The difference of two infinite series. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
sersub.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
sersub.2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
sersub.3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
sersub.4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)))
Assertion
Ref Expression
sersub (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝐻   𝑘,𝑁

Proof of Theorem sersub
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addcl 11188 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
21adantl 481 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
3 subcl 11456 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝑦) ∈ ℂ)
43adantl 481 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥𝑦) ∈ ℂ)
5 addsub4 11500 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑧 + 𝑤)) = ((𝑥𝑧) + (𝑦𝑤)))
65eqcomd 2730 . . 3 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → ((𝑥𝑧) + (𝑦𝑤)) = ((𝑥 + 𝑦) − (𝑧 + 𝑤)))
76adantl 481 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ))) → ((𝑥𝑧) + (𝑦𝑤)) = ((𝑥 + 𝑦) − (𝑧 + 𝑤)))
8 sersub.1 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
9 sersub.2 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
10 sersub.3 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
11 sersub.4 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)))
122, 4, 7, 8, 9, 10, 11seqcaopr2 14001 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6533  (class class class)co 7401  cc 11104   + caddc 11109  cmin 11441  cuz 12819  ...cfz 13481  seqcseq 13963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964
This theorem is referenced by:  serle  14020  cvgcmp  15759  abelthlem6  26290  atantayl  26785
  Copyright terms: Public domain W3C validator