Theorem sersub 14191

Description: The difference of two infinite series. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
sersub.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
sersub.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
sersub.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
sersub.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
sersub	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝐻   𝑘,𝑁

Proof of Theorem sersub

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 11285	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
2	1	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
3		subcl 11559	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ)
4	3	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ)
5		addsub4 11604	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑧 + 𝑤)) = ((𝑥 − 𝑧) + (𝑦 − 𝑤)))
6	5	eqcomd 2766	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → ((𝑥 − 𝑧) + (𝑦 − 𝑤)) = ((𝑥 + 𝑦) − (𝑧 + 𝑤)))
7	6	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ))) → ((𝑥 − 𝑧) + (𝑦 − 𝑤)) = ((𝑥 + 𝑦) − (𝑧 + 𝑤)))
8		sersub.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
9		sersub.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
10		sersub.3	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
11		sersub.4	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)))
12	2, 4, 7, 8, 9, 10, 11	seqcaopr2 14184	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11201   + caddc 11206   − cmin 11544  ℤ_≥cuz 12968  ...cfz 13642  seqcseq 14147

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-seq 14148

This theorem is used by:  serle  14203  cvgcmp  15988  abelthlem6  26768  atantayl  27270