Theorem seqid3 14070

Description: A sequence that consists entirely of "zeroes" sums to "zero". More precisely, a constant sequence with value an element which is a + -idempotent sums (or "+'s") to that element. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqid3.1	⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
seqid3.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
seqid3.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) = 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
seqid3	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑥, +   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥   𝑥,𝑍   𝑥,𝑁

Proof of Theorem seqid3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqid3.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		seqid3.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) = 𝑍)
3		fvex 6884	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
4	3	elsn 4600	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ {𝑍} ↔ (𝐹‘𝑥) = 𝑍)
5	2, 4	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ {𝑍})
6		seqid3.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
7		ovex 7433	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 + 𝑍) ∈ V
8	7	elsn 4600	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 + 𝑍) ∈ {𝑍} ↔ (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
9	6, 8	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑍) ∈ {𝑍})
10		elsni 4602	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑍} → 𝑥 = 𝑍)
11		elsni 4602	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑍} → 𝑦 = 𝑍)
12	10, 11	oveqan12d 7419	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ {𝑍}) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑍 + 𝑍))
13	12	eleq1d 2850	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ {𝑍}) → ((𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑍} ↔ (𝑍 + 𝑍) ∈ {𝑍}))
14	9, 13	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ {𝑍}) → (𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑍}))
15	14	imp 411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ {𝑍})) → (𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑍})
16	1, 5, 15	seqcl 14046	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ {𝑍})
17		elsni 4602	. 2 ⊢ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ {𝑍} → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝑍)
18	16, 17	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  {csn 4585  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℤ_≥cuz 12850  ...cfz 13523  seqcseq 14025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-fz 13524  df-seq 14026

This theorem is referenced by:  seqid  14071  ser0  14078  prodf1  15933  gsumval2  18732  mulgnn0z  19155  gsumval3  19965  lgsval2lem  27425