Theorem seqid3 14069

Description: A sequence that consists entirely of "zeroes" sums to "zero". More precisely, a constant sequence with value an element which is a + -idempotent sums (or "+'s") to that element. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqid3.1	⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
seqid3.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
seqid3.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) = 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
seqid3	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑥, +   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥   𝑥,𝑍   𝑥,𝑁

Proof of Theorem seqid3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqid3.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		seqid3.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) = 𝑍)
3		fvex 6894	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
4	3	elsn 4621	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ {𝑍} ↔ (𝐹‘𝑥) = 𝑍)
5	2, 4	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ {𝑍})
6		seqid3.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
7		ovex 7443	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 + 𝑍) ∈ V
8	7	elsn 4621	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 + 𝑍) ∈ {𝑍} ↔ (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
9	6, 8	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑍) ∈ {𝑍})
10		elsni 4623	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑍} → 𝑥 = 𝑍)
11		elsni 4623	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑍} → 𝑦 = 𝑍)
12	10, 11	oveqan12d 7429	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ {𝑍}) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑍 + 𝑍))
13	12	eleq1d 2820	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ {𝑍}) → ((𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑍} ↔ (𝑍 + 𝑍) ∈ {𝑍}))
14	9, 13	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ {𝑍}) → (𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑍}))
15	14	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ {𝑍})) → (𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑍})
16	1, 5, 15	seqcl 14045	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ {𝑍})
17		elsni 4623	. 2 ⊢ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ {𝑍} → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝑍)
18	16, 17	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4606  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℤ_≥cuz 12857  ...cfz 13529  seqcseq 14024

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-seq 14025

This theorem is referenced by:  seqid  14070  ser0  14077  prodf1  15912  gsumval2  18669  mulgnn0z  19089  gsumval3  19893  lgsval2lem  27275