Theorem seqid3 14044

Description: A sequence that consists entirely of "zeroes" sums to "zero". More precisely, a constant sequence with value an element which is a + -idempotent sums (or "+'s") to that element. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqid3.1	⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
seqid3.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
seqid3.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) = 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
seqid3	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑥, +   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥   𝑥,𝑍   𝑥,𝑁

Proof of Theorem seqid3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqid3.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		seqid3.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) = 𝑍)
3		fvex 6910	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
4	3	elsn 4644	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ {𝑍} ↔ (𝐹‘𝑥) = 𝑍)
5	2, 4	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ {𝑍})
6		seqid3.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
7		ovex 7453	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 + 𝑍) ∈ V
8	7	elsn 4644	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 + 𝑍) ∈ {𝑍} ↔ (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
9	6, 8	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑍) ∈ {𝑍})
10		elsni 4646	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑍} → 𝑥 = 𝑍)
11		elsni 4646	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑍} → 𝑦 = 𝑍)
12	10, 11	oveqan12d 7439	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ {𝑍}) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑍 + 𝑍))
13	12	eleq1d 2814	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ {𝑍}) → ((𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑍} ↔ (𝑍 + 𝑍) ∈ {𝑍}))
14	9, 13	syl5ibrcom 246	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ {𝑍}) → (𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑍}))
15	14	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ {𝑍})) → (𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑍})
16	1, 5, 15	seqcl 14020	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ {𝑍})
17		elsni 4646	. 2 ⊢ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ {𝑍} → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝑍)
18	16, 17	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {csn 4629  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  ℤ_≥cuz 12853  ...cfz 13517  seqcseq 13999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-seq 14000

This theorem is referenced by:  seqid  14045  ser0  14052  prodf1  15870  gsumval2  18646  mulgnn0z  19056  gsumval3  19862  lgsval2lem  27253