Theorem shscl 28728

Description: Closure of subspace sum. (Contributed by NM, 15-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shscl	⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ )

Proof of Theorem shscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6917	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) +ℋ 𝐵))
2	1	eleq1d 2891	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) → ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ ↔ (if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ ))
3		oveq2 6918	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, ℋ) → (if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) +ℋ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) +ℋ if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, ℋ)))
4	3	eleq1d 2891	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, ℋ) → ((if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ ↔ (if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) +ℋ if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, ℋ)) ∈ Sℋ ))
5		helsh 28653	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ Sℋ
6	5	elimel 4375	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) ∈ Sℋ
7	5	elimel 4375	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, ℋ) ∈ Sℋ
8	6, 7	shscli 28727	. 2 ⊢ (if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) +ℋ if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, ℋ)) ∈ Sℋ
9	2, 4, 8	dedth2h 4365	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ifcif 4308  (class class class)co 6910   ℋchba 28327   S_ℋ csh 28336   +_ℋ cph 28339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-hilex 28407  ax-hfvadd 28408  ax-hvcom 28409  ax-hvass 28410  ax-hv0cl 28411  ax-hvaddid 28412  ax-hfvmul 28413  ax-hvmulid 28414  ax-hvdistr1 28416  ax-hvdistr2 28417  ax-hvmul0 28418

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-map 8129  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-ltxr 10403  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-grpo 27899  df-ablo 27951  df-hvsub 28379  df-hlim 28380  df-sh 28615  df-ch 28629  df-shs 28718

This theorem is referenced by:  shsvs  28733  spanpr  28990  chscllem2  29048  chscl  29051