HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shscl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shscl 28728
Description: Closure of subspace sum. (Contributed by NM, 15-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shscl ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ S )

Proof of Theorem shscl
StepHypRef Expression
1 oveq1 6917 . . 3 (𝐴 = if(𝐴S , 𝐴, ℋ) → (𝐴 + 𝐵) = (if(𝐴S , 𝐴, ℋ) + 𝐵))
21eleq1d 2891 . 2 (𝐴 = if(𝐴S , 𝐴, ℋ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ S ↔ (if(𝐴S , 𝐴, ℋ) + 𝐵) ∈ S ))
3 oveq2 6918 . . 3 (𝐵 = if(𝐵S , 𝐵, ℋ) → (if(𝐴S , 𝐴, ℋ) + 𝐵) = (if(𝐴S , 𝐴, ℋ) + if(𝐵S , 𝐵, ℋ)))
43eleq1d 2891 . 2 (𝐵 = if(𝐵S , 𝐵, ℋ) → ((if(𝐴S , 𝐴, ℋ) + 𝐵) ∈ S ↔ (if(𝐴S , 𝐴, ℋ) + if(𝐵S , 𝐵, ℋ)) ∈ S ))
5 helsh 28653 . . . 4 ℋ ∈ S
65elimel 4375 . . 3 if(𝐴S , 𝐴, ℋ) ∈ S
75elimel 4375 . . 3 if(𝐵S , 𝐵, ℋ) ∈ S
86, 7shscli 28727 . 2 (if(𝐴S , 𝐴, ℋ) + if(𝐵S , 𝐵, ℋ)) ∈ S
92, 4, 8dedth2h 4365 1 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1656  wcel 2164  ifcif 4308  (class class class)co 6910  chba 28327   S csh 28336   + cph 28339
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-hilex 28407  ax-hfvadd 28408  ax-hvcom 28409  ax-hvass 28410  ax-hv0cl 28411  ax-hvaddid 28412  ax-hfvmul 28413  ax-hvmulid 28414  ax-hvdistr1 28416  ax-hvdistr2 28417  ax-hvmul0 28418
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-map 8129  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-ltxr 10403  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-grpo 27899  df-ablo 27951  df-hvsub 28379  df-hlim 28380  df-sh 28615  df-ch 28629  df-shs 28718
This theorem is referenced by:  shsvs  28733  spanpr  28990  chscllem2  29048  chscl  29051
  Copyright terms: Public domain W3C validator