Theorem setsiedg 28877

Description: The (indexed) edges of a structure with a base set and an inserted resp. replaced slot for the edge function. (Contributed by AV, 7-Jun-2021.) (Revised by AV, 16-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsvtx.i	⊢ 𝐼 = (.ef‘ndx)
setsvtx.s	⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
setsvtx.b	⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝐺)
setsvtx.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
setsiedg	⊢ (𝜑 → (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = 𝐸)

Proof of Theorem setsiedg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsvtx.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
2		fvexd 6917	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.ef‘ndx) ∈ V)
3		setsvtx.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑊)
4	1, 2, 3	setsn0fun 17151	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ((𝐺 sSet ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩) ∖ {∅}))
5		setsvtx.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝐺)
6	1, 2, 3, 5	basprssdmsets 17202	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(Base‘ndx), (.ef‘ndx)} ⊆ dom (𝐺 sSet ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩))
7		funiedgval 28860	. . 3 ⊢ ((Fun ((𝐺 sSet ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩) ∖ {∅}) ∧ {(Base‘ndx), (.ef‘ndx)} ⊆ dom (𝐺 sSet ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩)) → (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩)) = (.ef‘(𝐺 sSet ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩)))
8	4, 6, 7	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩)) = (.ef‘(𝐺 sSet ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩)))
9		setsvtx.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (.ef‘ndx)
10	9	opeq1i 4881	. . . . 5 ⊢ ⟨𝐼, 𝐸⟩ = ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩
11	10	oveq2i 7437	. . . 4 ⊢ (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = (𝐺 sSet ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩)
12	11	fveq2i 6905	. . 3 ⊢ (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩))
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩)))
14		structex 17128	. . . 4 ⊢ (𝐺 Struct 𝑋 → 𝐺 ∈ V)
15	1, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
16		edgfid 28829	. . . 4 ⊢ .ef = Slot (.ef‘ndx)
17	16	setsid 17186	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → 𝐸 = (.ef‘(𝐺 sSet ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩)))
18	15, 3, 17	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (.ef‘(𝐺 sSet ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩)))
19	8, 13, 18	3eqtr4d 2778	1 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   ∖ cdif 3946   ⊆ wss 3949  ∅c0 4326  {csn 4632  {cpr 4634  ⟨cop 4638   class class class wbr 5152  dom cdm 5682  Fun wfun 6547  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426   Struct cstr 17124   sSet csts 17141  ndxcnx 17171  Basecbs 17189  .efcedgf 28827  iEdgciedg 28838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-oadd 8499  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-dju 9934  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-xnn0 12585  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-fz 13527  df-hash 14332  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-edgf 28828  df-iedg 28840

This theorem is referenced by:  uhgrstrrepe  28919  usgrstrrepe  29076  structtocusgr  29287