Theorem setsiedg 28842

Description: The (indexed) edges of a structure with a base set and an inserted resp. replaced slot for the edge function. (Contributed by AV, 7-Jun-2021.) (Revised by AV, 16-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsvtx.i	⊢ 𝐼 = (.ef‘ndx)
setsvtx.s	⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
setsvtx.b	⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝐺)
setsvtx.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
setsiedg	⊢ (𝜑 → (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = 𝐸)

Proof of Theorem setsiedg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsvtx.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
2		fvexd 6906	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.ef‘ndx) ∈ V)
3		setsvtx.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑊)
4	1, 2, 3	setsn0fun 17135	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ((𝐺 sSet ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩) ∖ {∅}))
5		setsvtx.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝐺)
6	1, 2, 3, 5	basprssdmsets 17186	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(Base‘ndx), (.ef‘ndx)} ⊆ dom (𝐺 sSet ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩))
7		funiedgval 28825	. . 3 ⊢ ((Fun ((𝐺 sSet ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩) ∖ {∅}) ∧ {(Base‘ndx), (.ef‘ndx)} ⊆ dom (𝐺 sSet ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩)) → (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩)) = (.ef‘(𝐺 sSet ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩)))
8	4, 6, 7	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩)) = (.ef‘(𝐺 sSet ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩)))
9		setsvtx.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (.ef‘ndx)
10	9	opeq1i 4872	. . . . 5 ⊢ ⟨𝐼, 𝐸⟩ = ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩
11	10	oveq2i 7425	. . . 4 ⊢ (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = (𝐺 sSet ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩)
12	11	fveq2i 6894	. . 3 ⊢ (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩))
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩)))
14		structex 17112	. . . 4 ⊢ (𝐺 Struct 𝑋 → 𝐺 ∈ V)
15	1, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
16		edgfid 28794	. . . 4 ⊢ .ef = Slot (.ef‘ndx)
17	16	setsid 17170	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → 𝐸 = (.ef‘(𝐺 sSet ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩)))
18	15, 3, 17	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (.ef‘(𝐺 sSet ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩)))
19	8, 13, 18	3eqtr4d 2778	1 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3470   ∖ cdif 3942   ⊆ wss 3945  ∅c0 4318  {csn 4624  {cpr 4626  ⟨cop 4630   class class class wbr 5142  dom cdm 5672  Fun wfun 6536  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   Struct cstr 17108   sSet csts 17125  ndxcnx 17155  Basecbs 17173  .efcedgf 28792  iEdgciedg 28803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-dju 9918  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-xnn0 12569  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-fz 13511  df-hash 14316  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-edgf 28793  df-iedg 28805

This theorem is referenced by:  uhgrstrrepe  28884  usgrstrrepe  29041  structtocusgr  29252