MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqeqori Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqeqori 13564
Description: The squares of two complex numbers are equal iff one number equals the other or its negative. Lemma 15-4.7 of [Gleason] p. 311 and its converse. (Contributed by NM, 15-Jan-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
binom2.1 𝐴 ∈ ℂ
binom2.2 𝐵 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
sqeqori ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (𝐴 = 𝐵𝐴 = -𝐵))

Proof of Theorem sqeqori
StepHypRef Expression
1 binom2.1 . . . . 5 𝐴 ∈ ℂ
2 binom2.2 . . . . 5 𝐵 ∈ ℂ
31, 2subsqi 13563 . . . 4 ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))
43eqeq1i 2823 . . 3 (((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = 0 ↔ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)) = 0)
51sqcli 13532 . . . 4 (𝐴↑2) ∈ ℂ
62sqcli 13532 . . . 4 (𝐵↑2) ∈ ℂ
75, 6subeq0i 10954 . . 3 (((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = 0 ↔ (𝐴↑2) = (𝐵↑2))
81, 2addcli 10635 . . . 4 (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ
91, 2subcli 10950 . . . 4 (𝐴𝐵) ∈ ℂ
108, 9mul0ori 11276 . . 3 (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)) = 0 ↔ ((𝐴 + 𝐵) = 0 ∨ (𝐴𝐵) = 0))
114, 7, 103bitr3i 302 . 2 ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ ((𝐴 + 𝐵) = 0 ∨ (𝐴𝐵) = 0))
12 orcom 864 . 2 (((𝐴 + 𝐵) = 0 ∨ (𝐴𝐵) = 0) ↔ ((𝐴𝐵) = 0 ∨ (𝐴 + 𝐵) = 0))
131, 2subeq0i 10954 . . 3 ((𝐴𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵)
141, 2subnegi 10953 . . . . 5 (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵)
1514eqeq1i 2823 . . . 4 ((𝐴 − -𝐵) = 0 ↔ (𝐴 + 𝐵) = 0)
162negcli 10942 . . . . 5 -𝐵 ∈ ℂ
171, 16subeq0i 10954 . . . 4 ((𝐴 − -𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = -𝐵)
1815, 17bitr3i 278 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = -𝐵)
1913, 18orbi12i 908 . 2 (((𝐴𝐵) = 0 ∨ (𝐴 + 𝐵) = 0) ↔ (𝐴 = 𝐵𝐴 = -𝐵))
2011, 12, 193bitri 298 1 ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (𝐴 = 𝐵𝐴 = -𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wo 841   = wceq 1528  wcel 2105  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525   + caddc 10528   · cmul 10530  cmin 10858  -cneg 10859  2c2 11680  cexp 13417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-seq 13358  df-exp 13418
This theorem is referenced by:  subsq0i  13565  sqeqor  13566  sinhalfpilem  24976
  Copyright terms: Public domain W3C validator