Theorem sqeqori 13858

Description: The squares of two complex numbers are equal iff one number equals the other or its negative. Lemma 15-4.7 of [Gleason] p. 311 and its converse. (Contributed by NM, 15-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
binom2.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
binom2.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
sqeqori	⊢ ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = -𝐵))

Proof of Theorem sqeqori

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binom2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		binom2.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3	1, 2	subsqi 13857	. . . 4 ⊢ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))
4	3	eqeq1i 2743	. . 3 ⊢ (((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = 0 ↔ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)) = 0)
5	1	sqcli 13826	. . . 4 ⊢ (𝐴↑2) ∈ ℂ
6	2	sqcli 13826	. . . 4 ⊢ (𝐵↑2) ∈ ℂ
7	5, 6	subeq0i 11231	. . 3 ⊢ (((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = 0 ↔ (𝐴↑2) = (𝐵↑2))
8	1, 2	addcli 10912	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ
9	1, 2	subcli 11227	. . . 4 ⊢ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ
10	8, 9	mul0ori 11553	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)) = 0 ↔ ((𝐴 + 𝐵) = 0 ∨ (𝐴 − 𝐵) = 0))
11	4, 7, 10	3bitr3i 300	. 2 ⊢ ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ ((𝐴 + 𝐵) = 0 ∨ (𝐴 − 𝐵) = 0))
12		orcom 866	. 2 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) = 0 ∨ (𝐴 − 𝐵) = 0) ↔ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ (𝐴 + 𝐵) = 0))
13	1, 2	subeq0i 11231	. . 3 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵)
14	1, 2	subnegi 11230	. . . . 5 ⊢ (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵)
15	14	eqeq1i 2743	. . . 4 ⊢ ((𝐴 − -𝐵) = 0 ↔ (𝐴 + 𝐵) = 0)
16	2	negcli 11219	. . . . 5 ⊢ -𝐵 ∈ ℂ
17	1, 16	subeq0i 11231	. . . 4 ⊢ ((𝐴 − -𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = -𝐵)
18	15, 17	bitr3i 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = -𝐵)
19	13, 18	orbi12i 911	. 2 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ (𝐴 + 𝐵) = 0) ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = -𝐵))
20	11, 12, 19	3bitri 296	1 ⊢ ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = -𝐵))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802   + caddc 10805   · cmul 10807   − cmin 11135  -cneg 11136  2c2 11958  ↑cexp 13710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-seq 13650  df-exp 13711

This theorem is referenced by:  subsq0i  13859  sqeqor  13860  sinhalfpilem  25525