Theorem sqeqori 14241

Description: The squares of two complex numbers are equal iff one number equals the other or its negative. Lemma 15-4.7 of [Gleason] p. 311 and its converse. (Contributed by NM, 15-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
binom2.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
binom2.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
sqeqori	⊢ ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = -𝐵))

Proof of Theorem sqeqori

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binom2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		binom2.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3	1, 2	subsqi 14240	. . . 4 ⊢ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))
4	3	eqeq1i 2770	. . 3 ⊢ (((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = 0 ↔ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)) = 0)
5	1	sqcli 14208	. . . 4 ⊢ (𝐴↑2) ∈ ℂ
6	2	sqcli 14208	. . . 4 ⊢ (𝐵↑2) ∈ ℂ
7	5, 6	subeq0i 11526	. . 3 ⊢ (((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = 0 ↔ (𝐴↑2) = (𝐵↑2))
8	1, 2	addcli 11203	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ
9	1, 2	subcli 11522	. . . 4 ⊢ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ
10	8, 9	mul0ori 11849	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)) = 0 ↔ ((𝐴 + 𝐵) = 0 ∨ (𝐴 − 𝐵) = 0))
11	4, 7, 10	3bitr3i 304	. 2 ⊢ ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ ((𝐴 + 𝐵) = 0 ∨ (𝐴 − 𝐵) = 0))
12		orcom 883	. 2 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) = 0 ∨ (𝐴 − 𝐵) = 0) ↔ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ (𝐴 + 𝐵) = 0))
13	1, 2	subeq0i 11526	. . 3 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵)
14	1, 2	subnegi 11525	. . . . 5 ⊢ (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵)
15	14	eqeq1i 2770	. . . 4 ⊢ ((𝐴 − -𝐵) = 0 ↔ (𝐴 + 𝐵) = 0)
16	2	negcli 11514	. . . . 5 ⊢ -𝐵 ∈ ℂ
17	1, 16	subeq0i 11526	. . . 4 ⊢ ((𝐴 − -𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = -𝐵)
18	15, 17	bitr3i 280	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = -𝐵)
19	13, 18	orbi12i 927	. 2 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ (𝐴 + 𝐵) = 0) ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = -𝐵))
20	11, 12, 19	3bitri 300	1 ⊢ ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = -𝐵))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∨ wo 860   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  0cc0 11088   + caddc 11091   · cmul 11093   − cmin 11429  -cneg 11430  2c2 12286  ↑cexp 14088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-seq 14029  df-exp 14089

This theorem is referenced by:  subsq0i  14242  sqeqor  14243  sinhalfpilem  26586