Theorem sqeqori 14250

Description: The squares of two complex numbers are equal iff one number equals the other or its negative. Lemma 15-4.7 of [Gleason] p. 311 and its converse. (Contributed by NM, 15-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
binom2.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
binom2.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
sqeqori	⊢ ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = -𝐵))

Proof of Theorem sqeqori

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binom2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		binom2.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3	1, 2	subsqi 14249	. . . 4 ⊢ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))
4	3	eqeq1i 2740	. . 3 ⊢ (((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = 0 ↔ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)) = 0)
5	1	sqcli 14217	. . . 4 ⊢ (𝐴↑2) ∈ ℂ
6	2	sqcli 14217	. . . 4 ⊢ (𝐵↑2) ∈ ℂ
7	5, 6	subeq0i 11587	. . 3 ⊢ (((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = 0 ↔ (𝐴↑2) = (𝐵↑2))
8	1, 2	addcli 11265	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ
9	1, 2	subcli 11583	. . . 4 ⊢ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ
10	8, 9	mul0ori 11909	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)) = 0 ↔ ((𝐴 + 𝐵) = 0 ∨ (𝐴 − 𝐵) = 0))
11	4, 7, 10	3bitr3i 301	. 2 ⊢ ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ ((𝐴 + 𝐵) = 0 ∨ (𝐴 − 𝐵) = 0))
12		orcom 870	. 2 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) = 0 ∨ (𝐴 − 𝐵) = 0) ↔ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ (𝐴 + 𝐵) = 0))
13	1, 2	subeq0i 11587	. . 3 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵)
14	1, 2	subnegi 11586	. . . . 5 ⊢ (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵)
15	14	eqeq1i 2740	. . . 4 ⊢ ((𝐴 − -𝐵) = 0 ↔ (𝐴 + 𝐵) = 0)
16	2	negcli 11575	. . . . 5 ⊢ -𝐵 ∈ ℂ
17	1, 16	subeq0i 11587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 − -𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = -𝐵)
18	15, 17	bitr3i 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = -𝐵)
19	13, 18	orbi12i 914	. 2 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ (𝐴 + 𝐵) = 0) ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = -𝐵))
20	11, 12, 19	3bitri 297	1 ⊢ ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = -𝐵))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∨ wo 847   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  0cc0 11153   + caddc 11156   · cmul 11158   − cmin 11490  -cneg 11491  2c2 12319  ↑cexp 14099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-seq 14040  df-exp 14100

This theorem is referenced by:  subsq0i  14251  sqeqor  14252  sinhalfpilem  26520