Theorem sqeqor 13272

Description: The squares of two complex numbers are equal iff one number equals the other or its negative. Lemma 15-4.7 of [Gleason] p. 311 and its converse. (Contributed by Paul Chapman, 15-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sqeqor	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = -𝐵)))

Proof of Theorem sqeqor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6912	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (𝐴↑2) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2))
2	1	eqeq1d 2827	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) = (𝐵↑2)))
3		eqeq1 2829	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (𝐴 = 𝐵 ↔ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = 𝐵))
4		eqeq1 2829	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (𝐴 = -𝐵 ↔ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = -𝐵))
5	3, 4	orbi12d 949	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = -𝐵) ↔ (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = 𝐵 ∨ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = -𝐵)))
6	2, 5	bibi12d 337	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = -𝐵)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) = (𝐵↑2) ↔ (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = 𝐵 ∨ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = -𝐵))))
7		oveq1 6912	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (𝐵↑2) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)↑2))
8	7	eqeq2d 2835	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) = (𝐵↑2) ↔ (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)↑2)))
9		eqeq2 2836	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = 𝐵 ↔ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)))
10		negeq 10593	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → -𝐵 = -if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0))
11	10	eqeq2d 2835	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = -𝐵 ↔ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = -if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)))
12	9, 11	orbi12d 949	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = 𝐵 ∨ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = -𝐵) ↔ (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∨ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = -if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0))))
13	8, 12	bibi12d 337	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) = (𝐵↑2) ↔ (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = 𝐵 ∨ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = -𝐵)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)↑2) ↔ (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∨ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = -if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)))))
14		0cn 10348	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
15	14	elimel 4373	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ∈ ℂ
16	14	elimel 4373	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∈ ℂ
17	15, 16	sqeqori 13270	. 2 ⊢ ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)↑2) ↔ (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∨ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = -if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)))
18	6, 13, 17	dedth2h 4363	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = -𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∨ wo 880   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ifcif 4306  (class class class)co 6905  ℂcc 10250  0cc0 10252  -cneg 10586  2c2 11406  ↑cexp 13154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-seq 13096  df-exp 13155

This theorem is referenced by:  sqeqd  14283  sqrmo  14369  eqsqrtor  14483  4sqlem10  16022  cxpsqrt  24848  quad2  24979  atandm3  25018  atans2  25071  dvasin  34039  dvacos  34040