Theorem sqeqor 14139

Description: The squares of two complex numbers are equal iff one number equals the other or its negative. Lemma 15-4.7 of [Gleason] p. 311 and its converse. (Contributed by Paul Chapman, 15-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sqeqor	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = -𝐵)))

Proof of Theorem sqeqor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7365	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (𝐴↑2) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2))
2	1	eqeq1d 2738	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) = (𝐵↑2)))
3		eqeq1 2740	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (𝐴 = 𝐵 ↔ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = 𝐵))
4		eqeq1 2740	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (𝐴 = -𝐵 ↔ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = -𝐵))
5	3, 4	orbi12d 918	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = -𝐵) ↔ (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = 𝐵 ∨ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = -𝐵)))
6	2, 5	bibi12d 345	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = -𝐵)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) = (𝐵↑2) ↔ (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = 𝐵 ∨ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = -𝐵))))
7		oveq1 7365	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (𝐵↑2) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)↑2))
8	7	eqeq2d 2747	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) = (𝐵↑2) ↔ (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)↑2)))
9		eqeq2 2748	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = 𝐵 ↔ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)))
10		negeq 11372	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → -𝐵 = -if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0))
11	10	eqeq2d 2747	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = -𝐵 ↔ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = -if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)))
12	9, 11	orbi12d 918	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = 𝐵 ∨ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = -𝐵) ↔ (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∨ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = -if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0))))
13	8, 12	bibi12d 345	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) = (𝐵↑2) ↔ (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = 𝐵 ∨ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = -𝐵)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)↑2) ↔ (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∨ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = -if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)))))
14		0cn 11124	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
15	14	elimel 4549	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ∈ ℂ
16	14	elimel 4549	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∈ ℂ
17	15, 16	sqeqori 14137	. 2 ⊢ ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)↑2) ↔ (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∨ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = -if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)))
18	6, 13, 17	dedth2h 4539	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = -𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ifcif 4479  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  0cc0 11026  -cneg 11365  2c2 12200  ↑cexp 13984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-seq 13925  df-exp 13985

This theorem is referenced by:  sqeqd  15089  sqrmo  15174  eqsqrtor  15290  4sqlem10  16875  cxpsqrt  26668  quad2  26805  atandm3  26844  atans2  26897  dvasin  37905  dvacos  37906  sqrtcval  43882  itschlc0xyqsol1  49012