Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqeqor Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqeqor 13570
 Description: The squares of two complex numbers are equal iff one number equals the other or its negative. Lemma 15-4.7 of [Gleason] p. 311 and its converse. (Contributed by Paul Chapman, 15-Mar-2008.)
Assertion
Ref Expression
sqeqor ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (𝐴 = 𝐵𝐴 = -𝐵)))

Proof of Theorem sqeqor
StepHypRef Expression
1 oveq1 7155 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (𝐴↑2) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2))
21eqeq1d 2821 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) = (𝐵↑2)))
3 eqeq1 2823 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (𝐴 = 𝐵 ↔ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = 𝐵))
4 eqeq1 2823 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (𝐴 = -𝐵 ↔ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = -𝐵))
53, 4orbi12d 914 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((𝐴 = 𝐵𝐴 = -𝐵) ↔ (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = 𝐵 ∨ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = -𝐵)))
62, 5bibi12d 348 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (𝐴 = 𝐵𝐴 = -𝐵)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) = (𝐵↑2) ↔ (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = 𝐵 ∨ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = -𝐵))))
7 oveq1 7155 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (𝐵↑2) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)↑2))
87eqeq2d 2830 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) = (𝐵↑2) ↔ (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)↑2)))
9 eqeq2 2831 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = 𝐵 ↔ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)))
10 negeq 10870 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → -𝐵 = -if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0))
1110eqeq2d 2830 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = -𝐵 ↔ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = -if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)))
129, 11orbi12d 914 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = 𝐵 ∨ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = -𝐵) ↔ (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∨ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = -if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0))))
138, 12bibi12d 348 . 2 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) = (𝐵↑2) ↔ (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = 𝐵 ∨ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = -𝐵)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)↑2) ↔ (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∨ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = -if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)))))
14 0cn 10625 . . . 4 0 ∈ ℂ
1514elimel 4532 . . 3 if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ∈ ℂ
1614elimel 4532 . . 3 if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∈ ℂ
1715, 16sqeqori 13568 . 2 ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)↑2) ↔ (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∨ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) = -if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)))
186, 13, 17dedth2h 4522 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (𝐴 = 𝐵𝐴 = -𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  ifcif 4465  (class class class)co 7148  ℂcc 10527  0cc0 10529  -cneg 10863  2c2 11684  ↑cexp 13421 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-seq 13362  df-exp 13422 This theorem is referenced by:  sqeqd  14517  sqrmo  14603  eqsqrtor  14718  4sqlem10  16275  cxpsqrt  25278  quad2  25409  atandm3  25448  atans2  25501  dvasin  34960  dvacos  34961  itschlc0xyqsol1  44733
 Copyright terms: Public domain W3C validator