Theorem swrdccatin1d 14647

Description: The subword of a concatenation of two words within the first of the concatenated words. (Contributed by AV, 31-May-2018.) (Revised by Mario Carneiro/AV, 21-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
swrdccatind.l	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = 𝐿)
swrdccatind.w	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉))
swrdccatin1d.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
swrdccatin1d.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...𝐿))

Assertion

Ref	Expression
swrdccatin1d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))

Proof of Theorem swrdccatin1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdccatind.w	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉))
2		swrdccatin1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
3		swrdccatind.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = 𝐿)
4		swrdccatin1d.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...𝐿))
5		oveq2 7354	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (0...(♯‘𝐴)) = (0...𝐿))
6	5	eleq2d 2817	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)) ↔ 𝑁 ∈ (0...𝐿)))
7	4, 6	imbitrrid 246	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴))))
8	3, 7	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
9	2, 8	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴))))
10		swrdccatin1 14629	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)))
11	1, 9, 10	sylc 65	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ⟨cop 4582  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11003  ...cfz 13404  ♯chash 14234  Word cword 14417   ++ cconcat 14474   substr csubstr 14545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-hash 14235  df-word 14418  df-concat 14475  df-substr 14546

This theorem is referenced by: (None)