Theorem swrdccatin2d 14771

Description: The subword of a concatenation of two words within the second of the concatenated words. (Contributed by AV, 31-May-2018.) (Revised by Mario Carneiro/AV, 21-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
swrdccatind.l	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = 𝐿)
swrdccatind.w	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉))
swrdccatin2d.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝐿...𝑁))
swrdccatin2d.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))

Assertion

Ref	Expression
swrdccatin2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩))

Proof of Theorem swrdccatin2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdccatind.l	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = 𝐿)
2		swrdccatind.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉))
3	2	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐴) = 𝐿 ∧ 𝜑) → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉))
4		swrdccatin2d.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝐿...𝑁))
5		swrdccatin2d.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))
6	4, 5	jca 520	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐿...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))))
7	6	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐴) = 𝐿 ∧ 𝜑) → (𝑀 ∈ (𝐿...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))))
8		oveq1 7407	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((♯‘𝐴)...𝑁) = (𝐿...𝑁))
9	8	eleq2d 2851	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (𝑀 ∈ ((♯‘𝐴)...𝑁) ↔ 𝑀 ∈ (𝐿...𝑁)))
10		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (♯‘𝐴) = 𝐿)
11		oveq1 7407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) = (𝐿 + (♯‘𝐵)))
12	10, 11	oveq12d 7418	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((♯‘𝐴)...((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) = (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))
13	12	eleq2d 2851	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (𝑁 ∈ ((♯‘𝐴)...((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↔ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))))
14	9, 13	anbi12d 643	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((𝑀 ∈ ((♯‘𝐴)...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ((♯‘𝐴)...((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ↔ (𝑀 ∈ (𝐿...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))))
15	14	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐴) = 𝐿 ∧ 𝜑) → ((𝑀 ∈ ((♯‘𝐴)...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ((♯‘𝐴)...((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ↔ (𝑀 ∈ (𝐿...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))))
16	7, 15	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐴) = 𝐿 ∧ 𝜑) → (𝑀 ∈ ((♯‘𝐴)...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ((♯‘𝐴)...((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))))
17	3, 16	jca 520	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝐴) = 𝐿 ∧ 𝜑) → ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ((♯‘𝐴)...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ((♯‘𝐴)...((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))))
18	17	ex 417	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (𝜑 → ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ((♯‘𝐴)...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ((♯‘𝐴)...((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))))))
19		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐴)
20	19	swrdccatin2 14756	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ ((♯‘𝐴)...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ((♯‘𝐴)...((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − (♯‘𝐴)), (𝑁 − (♯‘𝐴))⟩)))
21	20	imp 411	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ((♯‘𝐴)...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ((♯‘𝐴)...((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − (♯‘𝐴)), (𝑁 − (♯‘𝐴))⟩))
22	18, 21	syl6 36	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − (♯‘𝐴)), (𝑁 − (♯‘𝐴))⟩)))
23		oveq2 7408	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (𝑀 − (♯‘𝐴)) = (𝑀 − 𝐿))
24		oveq2 7408	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (𝑁 − (♯‘𝐴)) = (𝑁 − 𝐿))
25	23, 24	opeq12d 4842	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ⟨(𝑀 − (♯‘𝐴)), (𝑁 − (♯‘𝐴))⟩ = ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩)
26	25	oveq2d 7416	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (𝐵 substr ⟨(𝑀 − (♯‘𝐴)), (𝑁 − (♯‘𝐴))⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩))
27	26	eqeq2d 2776	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − (♯‘𝐴)), (𝑁 − (♯‘𝐴))⟩) ↔ ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩)))
28	22, 27	sylibd 242	. 2 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩)))
29	1, 28	mpcom 39	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4591  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   + caddc 11091   − cmin 11429  ...cfz 13526  ♯chash 14357  Word cword 14540   ++ cconcat 14597   substr csubstr 14668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-hash 14358  df-word 14541  df-concat 14598  df-substr 14669

This theorem is referenced by: (None)