Theorem swrdccatin2d 14188

Description: The subword of a concatenation of two words within the second of the concatenated words. (Contributed by AV, 31-May-2018.) (Revised by Mario Carneiro/AV, 21-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
swrdccatind.l	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = 𝐿)
swrdccatind.w	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉))
swrdccatin2d.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝐿...𝑁))
swrdccatin2d.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))

Assertion

Ref	Expression
swrdccatin2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩))

Proof of Theorem swrdccatin2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdccatind.l	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = 𝐿)
2		swrdccatind.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉))
3	2	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐴) = 𝐿 ∧ 𝜑) → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉))
4		swrdccatin2d.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝐿...𝑁))
5		swrdccatin2d.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))
6	4, 5	jca 515	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐿...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))))
7	6	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐴) = 𝐿 ∧ 𝜑) → (𝑀 ∈ (𝐿...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))))
8		oveq1 7171	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((♯‘𝐴)...𝑁) = (𝐿...𝑁))
9	8	eleq2d 2818	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (𝑀 ∈ ((♯‘𝐴)...𝑁) ↔ 𝑀 ∈ (𝐿...𝑁)))
10		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (♯‘𝐴) = 𝐿)
11		oveq1 7171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) = (𝐿 + (♯‘𝐵)))
12	10, 11	oveq12d 7182	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((♯‘𝐴)...((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) = (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))
13	12	eleq2d 2818	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (𝑁 ∈ ((♯‘𝐴)...((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↔ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))))
14	9, 13	anbi12d 634	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((𝑀 ∈ ((♯‘𝐴)...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ((♯‘𝐴)...((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ↔ (𝑀 ∈ (𝐿...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))))
15	14	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐴) = 𝐿 ∧ 𝜑) → ((𝑀 ∈ ((♯‘𝐴)...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ((♯‘𝐴)...((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ↔ (𝑀 ∈ (𝐿...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))))
16	7, 15	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐴) = 𝐿 ∧ 𝜑) → (𝑀 ∈ ((♯‘𝐴)...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ((♯‘𝐴)...((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))))
17	3, 16	jca 515	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝐴) = 𝐿 ∧ 𝜑) → ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ((♯‘𝐴)...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ((♯‘𝐴)...((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))))
18	17	ex 416	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (𝜑 → ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ((♯‘𝐴)...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ((♯‘𝐴)...((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))))))
19		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐴)
20	19	swrdccatin2 14173	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ ((♯‘𝐴)...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ((♯‘𝐴)...((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − (♯‘𝐴)), (𝑁 − (♯‘𝐴))⟩)))
21	20	imp 410	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ((♯‘𝐴)...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ((♯‘𝐴)...((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − (♯‘𝐴)), (𝑁 − (♯‘𝐴))⟩))
22	18, 21	syl6 35	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − (♯‘𝐴)), (𝑁 − (♯‘𝐴))⟩)))
23		oveq2 7172	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (𝑀 − (♯‘𝐴)) = (𝑀 − 𝐿))
24		oveq2 7172	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (𝑁 − (♯‘𝐴)) = (𝑁 − 𝐿))
25	23, 24	opeq12d 4766	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ⟨(𝑀 − (♯‘𝐴)), (𝑁 − (♯‘𝐴))⟩ = ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩)
26	25	oveq2d 7180	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (𝐵 substr ⟨(𝑀 − (♯‘𝐴)), (𝑁 − (♯‘𝐴))⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩))
27	26	eqeq2d 2749	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − (♯‘𝐴)), (𝑁 − (♯‘𝐴))⟩) ↔ ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩)))
28	22, 27	sylibd 242	. 2 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩)))
29	1, 28	mpcom 38	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2113  ⟨cop 4519  ‘cfv 6333  (class class class)co 7164   + caddc 10611   − cmin 10941  ...cfz 12974  ♯chash 13775  Word cword 13948   ++ cconcat 14004   substr csubstr 14084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-hash 13776  df-word 13949  df-concat 14005  df-substr 14085

This theorem is referenced by: (None)