Theorem swrdccatin2d 14805

Description: The subword of a concatenation of two words within the second of the concatenated words. (Contributed by AV, 31-May-2018.) (Revised by Mario Carneiro/AV, 21-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
swrdccatind.l	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = 𝐿)
swrdccatind.w	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉))
swrdccatin2d.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝐿...𝑁))
swrdccatin2d.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))

Assertion

Ref	Expression
swrdccatin2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩))

Proof of Theorem swrdccatin2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdccatind.l	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = 𝐿)
2		swrdccatind.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉))
3	2	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐴) = 𝐿 ∧ 𝜑) → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉))
4		swrdccatin2d.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝐿...𝑁))
5		swrdccatin2d.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))
6	4, 5	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐿...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))))
7	6	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐴) = 𝐿 ∧ 𝜑) → (𝑀 ∈ (𝐿...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))))
8		oveq1 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((♯‘𝐴)...𝑁) = (𝐿...𝑁))
9	8	eleq2d 2852	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (𝑀 ∈ ((♯‘𝐴)...𝑁) ↔ 𝑀 ∈ (𝐿...𝑁)))
10		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (♯‘𝐴) = 𝐿)
11		oveq1 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) = (𝐿 + (♯‘𝐵)))
12	10, 11	oveq12d 7441	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((♯‘𝐴)...((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) = (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))
13	12	eleq2d 2852	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (𝑁 ∈ ((♯‘𝐴)...((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↔ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))))
14	9, 13	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((𝑀 ∈ ((♯‘𝐴)...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ((♯‘𝐴)...((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ↔ (𝑀 ∈ (𝐿...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))))
15	14	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐴) = 𝐿 ∧ 𝜑) → ((𝑀 ∈ ((♯‘𝐴)...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ((♯‘𝐴)...((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ↔ (𝑀 ∈ (𝐿...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))))
16	7, 15	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐴) = 𝐿 ∧ 𝜑) → (𝑀 ∈ ((♯‘𝐴)...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ((♯‘𝐴)...((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))))
17	3, 16	jca 521	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝐴) = 𝐿 ∧ 𝜑) → ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ((♯‘𝐴)...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ((♯‘𝐴)...((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))))
18	17	ex 418	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (𝜑 → ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ((♯‘𝐴)...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ((♯‘𝐴)...((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))))))
19		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐴)
20	19	swrdccatin2 14790	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ ((♯‘𝐴)...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ((♯‘𝐴)...((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − (♯‘𝐴)), (𝑁 − (♯‘𝐴))⟩)))
21	20	imp 412	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ((♯‘𝐴)...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ((♯‘𝐴)...((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − (♯‘𝐴)), (𝑁 − (♯‘𝐴))⟩))
22	18, 21	syl6 36	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − (♯‘𝐴)), (𝑁 − (♯‘𝐴))⟩)))
23		oveq2 7431	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (𝑀 − (♯‘𝐴)) = (𝑀 − 𝐿))
24		oveq2 7431	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (𝑁 − (♯‘𝐴)) = (𝑁 − 𝐿))
25	23, 24	opeq12d 4851	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ⟨(𝑀 − (♯‘𝐴)), (𝑁 − (♯‘𝐴))⟩ = ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩)
26	25	oveq2d 7439	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (𝐵 substr ⟨(𝑀 − (♯‘𝐴)), (𝑁 − (♯‘𝐴))⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩))
27	26	eqeq2d 2777	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − (♯‘𝐴)), (𝑁 − (♯‘𝐴))⟩) ↔ ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩)))
28	22, 27	sylibd 242	. 2 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩)))
29	1, 28	mpcom 39	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)⟩))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ⟨cop 4600  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   + caddc 11121   − cmin 11459  ...cfz 13553  ♯chash 14386  Word cword 14570   ++ cconcat 14627   substr csubstr 14700

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-hash 14387  df-word 14571  df-concat 14628  df-substr 14701

This theorem is used by: (None)