MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdccatin2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdccatin2d 14712
Description: The subword of a concatenation of two words within the second of the concatenated words. (Contributed by AV, 31-May-2018.) (Revised by Mario Carneiro/AV, 21-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
swrdccatind.l (𝜑 → (♯‘𝐴) = 𝐿)
swrdccatind.w (𝜑 → (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉))
swrdccatin2d.1 (𝜑𝑀 ∈ (𝐿...𝑁))
swrdccatin2d.2 (𝜑𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))
Assertion
Ref Expression
swrdccatin2d (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩))

Proof of Theorem swrdccatin2d
StepHypRef Expression
1 swrdccatind.l . 2 (𝜑 → (♯‘𝐴) = 𝐿)
2 swrdccatind.w . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉))
32adantl 481 . . . . . 6 (((♯‘𝐴) = 𝐿𝜑) → (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉))
4 swrdccatin2d.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ (𝐿...𝑁))
5 swrdccatin2d.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))
64, 5jca 511 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐿...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))))
76adantl 481 . . . . . . 7 (((♯‘𝐴) = 𝐿𝜑) → (𝑀 ∈ (𝐿...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))))
8 oveq1 7421 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((♯‘𝐴)...𝑁) = (𝐿...𝑁))
98eleq2d 2814 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (𝑀 ∈ ((♯‘𝐴)...𝑁) ↔ 𝑀 ∈ (𝐿...𝑁)))
10 id 22 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (♯‘𝐴) = 𝐿)
11 oveq1 7421 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) = (𝐿 + (♯‘𝐵)))
1210, 11oveq12d 7432 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((♯‘𝐴)...((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) = (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))
1312eleq2d 2814 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (𝑁 ∈ ((♯‘𝐴)...((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↔ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))))
149, 13anbi12d 630 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((𝑀 ∈ ((♯‘𝐴)...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ((♯‘𝐴)...((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ↔ (𝑀 ∈ (𝐿...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))))
1514adantr 480 . . . . . . 7 (((♯‘𝐴) = 𝐿𝜑) → ((𝑀 ∈ ((♯‘𝐴)...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ((♯‘𝐴)...((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ↔ (𝑀 ∈ (𝐿...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))))
167, 15mpbird 257 . . . . . 6 (((♯‘𝐴) = 𝐿𝜑) → (𝑀 ∈ ((♯‘𝐴)...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ((♯‘𝐴)...((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))))
173, 16jca 511 . . . . 5 (((♯‘𝐴) = 𝐿𝜑) → ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ((♯‘𝐴)...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ((♯‘𝐴)...((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))))
1817ex 412 . . . 4 ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (𝜑 → ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ((♯‘𝐴)...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ((♯‘𝐴)...((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))))))
19 eqid 2727 . . . . . 6 (♯‘𝐴) = (♯‘𝐴)
2019swrdccatin2 14697 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ ((♯‘𝐴)...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ((♯‘𝐴)...((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − (♯‘𝐴)), (𝑁 − (♯‘𝐴))⟩)))
2120imp 406 . . . 4 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ((♯‘𝐴)...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ((♯‘𝐴)...((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − (♯‘𝐴)), (𝑁 − (♯‘𝐴))⟩))
2218, 21syl6 35 . . 3 ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − (♯‘𝐴)), (𝑁 − (♯‘𝐴))⟩)))
23 oveq2 7422 . . . . . 6 ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (𝑀 − (♯‘𝐴)) = (𝑀𝐿))
24 oveq2 7422 . . . . . 6 ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (𝑁 − (♯‘𝐴)) = (𝑁𝐿))
2523, 24opeq12d 4877 . . . . 5 ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ⟨(𝑀 − (♯‘𝐴)), (𝑁 − (♯‘𝐴))⟩ = ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩)
2625oveq2d 7430 . . . 4 ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (𝐵 substr ⟨(𝑀 − (♯‘𝐴)), (𝑁 − (♯‘𝐴))⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩))
2726eqeq2d 2738 . . 3 ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − (♯‘𝐴)), (𝑁 − (♯‘𝐴))⟩) ↔ ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩)))
2822, 27sylibd 238 . 2 ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩)))
291, 28mpcom 38 1 (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  cop 4630  cfv 6542  (class class class)co 7414   + caddc 11127  cmin 11460  ...cfz 13502  chash 14307  Word cword 14482   ++ cconcat 14538   substr csubstr 14608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-hash 14308  df-word 14483  df-concat 14539  df-substr 14609
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator