MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccats1pfxeqbi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ccats1pfxeqbi 14716
Description: A word is a prefix of a word with length greater by 1 than the first word iff the second word is the first word concatenated with the last symbol of the second word. (Contributed by AV, 24-Oct-2018.) (Revised by AV, 10-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
ccats1pfxeqbi ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ (π‘Š = (π‘ˆ prefix (β™―β€˜π‘Š)) ↔ π‘ˆ = (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘ˆ)β€βŸ©)))
Proof of Theorem ccats1pfxeqbi
StepHypRef Expression
1 ccats1pfxeq 14688 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ (π‘Š = (π‘ˆ prefix (β™―β€˜π‘Š)) β†’ π‘ˆ = (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘ˆ)β€βŸ©)))
2 simp1 1134 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ π‘Š ∈ Word 𝑉)
3 lencl 14507 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
4 nn0p1nn 12533 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ ((β™―β€˜π‘Š) + 1) ∈ β„•)
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ ((β™―β€˜π‘Š) + 1) ∈ β„•)
653ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) + 1) ∈ β„•)
7 3simpc 1148 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ (π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)))
8 lswlgt0cl 14543 . . . . . . 7 ((((β™―β€˜π‘Š) + 1) ∈ β„• ∧ (π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1))) β†’ (lastSβ€˜π‘ˆ) ∈ 𝑉)
96, 7, 8syl2anc 583 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ (lastSβ€˜π‘ˆ) ∈ 𝑉)
109s1cld 14577 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘ˆ)β€βŸ© ∈ Word 𝑉)
11 eqidd 2728 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ (β™―β€˜π‘Š) = (β™―β€˜π‘Š))
12 pfxccatid 14715 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘ˆ)β€βŸ© ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (β™―β€˜π‘Š)) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘ˆ)β€βŸ©) prefix (β™―β€˜π‘Š)) = π‘Š)
1312eqcomd 2733 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘ˆ)β€βŸ© ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (β™―β€˜π‘Š)) β†’ π‘Š = ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘ˆ)β€βŸ©) prefix (β™―β€˜π‘Š)))
142, 10, 11, 13syl3anc 1369 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ π‘Š = ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘ˆ)β€βŸ©) prefix (β™―β€˜π‘Š)))
15 oveq1 7421 . . . . 5 (π‘ˆ = (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘ˆ)β€βŸ©) β†’ (π‘ˆ prefix (β™―β€˜π‘Š)) = ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘ˆ)β€βŸ©) prefix (β™―β€˜π‘Š)))
1615eqcomd 2733 . . . 4 (π‘ˆ = (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘ˆ)β€βŸ©) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘ˆ)β€βŸ©) prefix (β™―β€˜π‘Š)) = (π‘ˆ prefix (β™―β€˜π‘Š)))
1714, 16sylan9eq 2787 . . 3 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) ∧ π‘ˆ = (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘ˆ)β€βŸ©)) β†’ π‘Š = (π‘ˆ prefix (β™―β€˜π‘Š)))
1817ex 412 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ (π‘ˆ = (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘ˆ)β€βŸ©) β†’ π‘Š = (π‘ˆ prefix (β™―β€˜π‘Š))))
191, 18impbid 211 1 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ (π‘Š = (π‘ˆ prefix (β™―β€˜π‘Š)) ↔ π‘ˆ = (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘ˆ)β€βŸ©)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  1c1 11131   + caddc 11133  β„•cn 12234  β„•0cn0 12494  β™―chash 14313  Word cword 14488  lastSclsw 14536   ++ cconcat 14544  βŸ¨β€œcs1 14569   prefix cpfx 14644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-hash 14314  df-word 14489  df-lsw 14537  df-concat 14545  df-s1 14570  df-substr 14615  df-pfx 14645
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator