Theorem ccats1pfxeqbi 14891

Description: A word is a prefix of a word with length greater by 1 than the first word iff the second word is the first word concatenated with the last symbol of the second word. (Contributed by AV, 24-Oct-2018.) (Revised by AV, 10-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ccats1pfxeqbi	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) ↔ 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)))

Proof of Theorem ccats1pfxeqbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccats1pfxeq 14863	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)))
2		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
3		lencl 14678	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
4		nn0p1nn 12645	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) + 1) ∈ ℕ)
5	3, 4	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) + 1) ∈ ℕ)
6	5	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → ((♯‘𝑊) + 1) ∈ ℕ)
7		3simpc 1168	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)))
8		lswlgt0cl 14714	. . . . . . 7 ⊢ ((((♯‘𝑊) + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (lastS‘𝑈) ∈ 𝑉)
9	6, 7, 8	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (lastS‘𝑈) ∈ 𝑉)
10	9	s1cld 14750	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩ ∈ Word 𝑉)
11		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊))
12		pfxccatid 14890	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) prefix (♯‘𝑊)) = 𝑊)
13	12	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) → 𝑊 = ((𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) prefix (♯‘𝑊)))
14	2, 10, 11, 13	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → 𝑊 = ((𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) prefix (♯‘𝑊)))
15		oveq1 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) → (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) = ((𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) prefix (♯‘𝑊)))
16	15	eqcomd 2766	. . . 4 ⊢ (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) → ((𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) prefix (♯‘𝑊)) = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)))
17	14, 16	sylan9eq 2815	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) ∧ 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)) → 𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)))
18	17	ex 418	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) → 𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊))))
19	1, 18	impbid 215	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) ↔ 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1c1 11201   + caddc 11203  ℕcn 12335  ℕ₀cn0 12606  ♯chash 14474  Word cword 14658  lastSclsw 14707   ++ cconcat 14715  ⟨“cs1 14742   prefix cpfx 14820

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-hash 14475  df-word 14659  df-lsw 14708  df-concat 14716  df-s1 14743  df-substr 14789  df-pfx 14821

This theorem is used by: (None)