Theorem ccats1pfxeqbi 14717

Description: A word is a prefix of a word with length greater by 1 than the first word iff the second word is the first word concatenated with the last symbol of the second word. (Contributed by AV, 24-Oct-2018.) (Revised by AV, 10-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ccats1pfxeqbi	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) ↔ 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)))

Proof of Theorem ccats1pfxeqbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccats1pfxeq 14689	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)))
2		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
3		lencl 14508	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
4		nn0p1nn 12497	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) + 1) ∈ ℕ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) + 1) ∈ ℕ)
6	5	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → ((♯‘𝑊) + 1) ∈ ℕ)
7		3simpc 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)))
8		lswlgt0cl 14544	. . . . . . 7 ⊢ ((((♯‘𝑊) + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (lastS‘𝑈) ∈ 𝑉)
9	6, 7, 8	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (lastS‘𝑈) ∈ 𝑉)
10	9	s1cld 14578	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩ ∈ Word 𝑉)
11		eqidd 2731	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊))
12		pfxccatid 14716	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) prefix (♯‘𝑊)) = 𝑊)
13	12	eqcomd 2736	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) → 𝑊 = ((𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) prefix (♯‘𝑊)))
14	2, 10, 11, 13	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → 𝑊 = ((𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) prefix (♯‘𝑊)))
15		oveq1 7401	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) → (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) = ((𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) prefix (♯‘𝑊)))
16	15	eqcomd 2736	. . . 4 ⊢ (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) → ((𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) prefix (♯‘𝑊)) = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)))
17	14, 16	sylan9eq 2785	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) ∧ 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)) → 𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)))
18	17	ex 412	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) → 𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊))))
19	1, 18	impbid 212	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) ↔ 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6519  (class class class)co 7394  1c1 11087   + caddc 11089  ℕcn 12197  ℕ₀cn0 12458  ♯chash 14305  Word cword 14488  lastSclsw 14537   ++ cconcat 14545  ⟨“cs1 14570   prefix cpfx 14645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5242  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-cnex 11142  ax-resscn 11143  ax-1cn 11144  ax-icn 11145  ax-addcl 11146  ax-addrcl 11147  ax-mulcl 11148  ax-mulrcl 11149  ax-mulcom 11150  ax-addass 11151  ax-mulass 11152  ax-distr 11153  ax-i2m1 11154  ax-1ne0 11155  ax-1rid 11156  ax-rnegex 11157  ax-rrecex 11158  ax-cnre 11159  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161  ax-pre-ltadd 11162  ax-pre-mulgt0 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-int 4919  df-iun 4965  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7851  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-rdg 8387  df-1o 8443  df-er 8682  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-card 9910  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-xr 11230  df-ltxr 11231  df-le 11232  df-sub 11425  df-neg 11426  df-nn 12198  df-n0 12459  df-xnn0 12532  df-z 12546  df-uz 12810  df-fz 13482  df-fzo 13629  df-hash 14306  df-word 14489  df-lsw 14538  df-concat 14546  df-s1 14571  df-substr 14616  df-pfx 14646

This theorem is referenced by: (None)