Theorem colline 27591

Description: Three points are colinear iff there is a line through all three of them. Theorem 6.23 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineintmo.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
colline.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
colline.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
colline.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
colline.4	⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))

Assertion

Ref	Expression
colline	⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍) ↔ ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)))

Distinct variable groups:   𝐿,𝑎   𝑋,𝑎   𝑌,𝑎   𝑍,𝑎   𝜑,𝑎

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑎)   𝐺(𝑎)   𝐼(𝑎)

Proof of Theorem colline

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineintmo.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tglineintmo.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		tglineintmo.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		tglineintmo.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad4antr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		colline.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
7	6	ad4antr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑋 ∈ 𝑃)
8		simplr 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑃)
9		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑋 ≠ 𝑥)
10	1, 2, 3, 5, 7, 8, 9	tgelrnln 27572	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → (𝑋𝐿𝑥) ∈ ran 𝐿)
11	1, 2, 3, 5, 7, 8, 9	tglinerflx1 27575	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑥))
12		simp-4r 782	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑌 = 𝑍)
13		simpllr 774	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑋 = 𝑍)
14	13, 11	eqeltrrd 2839	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑥))
15	12, 14	eqeltrd 2838	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑥))
16		eleq2 2826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝑋𝐿𝑥) → (𝑋 ∈ 𝑎 ↔ 𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑥)))
17		eleq2 2826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝑋𝐿𝑥) → (𝑌 ∈ 𝑎 ↔ 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑥)))
18		eleq2 2826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝑋𝐿𝑥) → (𝑍 ∈ 𝑎 ↔ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑥)))
19	16, 17, 18	3anbi123d 1436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑋𝐿𝑥) → ((𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎) ↔ (𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑥) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑥) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑥))))
20	19	rspcev 3581	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋𝐿𝑥) ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑥) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑥) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑥))) → ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎))
21	10, 11, 15, 14, 20	syl13anc 1372	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎))
22		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
23		colline.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))
24	1, 22, 2, 4, 23, 6	tglowdim1i 27443	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝑋 ≠ 𝑥)
25	24	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝑋 ≠ 𝑥)
26	21, 25	r19.29a 3159	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) → ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎))
27	4	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ 𝑍) → 𝐺 ∈ TarskiG)
28	6	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ 𝑍) → 𝑋 ∈ 𝑃)
29		colline.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
30	29	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ 𝑍) → 𝑍 ∈ 𝑃)
31		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ 𝑍) → 𝑋 ≠ 𝑍)
32	1, 2, 3, 27, 28, 30, 31	tgelrnln 27572	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ 𝑍) → (𝑋𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿)
33	1, 2, 3, 27, 28, 30, 31	tglinerflx1 27575	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ 𝑍) → 𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
34		simplr 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ 𝑍) → 𝑌 = 𝑍)
35	1, 2, 3, 27, 28, 30, 31	tglinerflx2 27576	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ 𝑍) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
36	34, 35	eqeltrd 2838	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ 𝑍) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
37		eleq2 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑋𝐿𝑍) → (𝑋 ∈ 𝑎 ↔ 𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑍)))
38		eleq2 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑋𝐿𝑍) → (𝑌 ∈ 𝑎 ↔ 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍)))
39		eleq2 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑋𝐿𝑍) → (𝑍 ∈ 𝑎 ↔ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑍)))
40	37, 38, 39	3anbi123d 1436	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑋𝐿𝑍) → ((𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎) ↔ (𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑍))))
41	40	rspcev 3581	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑍))) → ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎))
42	32, 33, 36, 35, 41	syl13anc 1372	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ 𝑍) → ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎))
43	26, 42	pm2.61dane 3032	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) → ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎))
44	43	adantlr 713	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) ∧ 𝑌 = 𝑍) → ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎))
45		simpll 765	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝜑)
46		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑌 ≠ 𝑍)
47	46	neneqd 2948	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → ¬ 𝑌 = 𝑍)
48		simplr 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
49		orel2 889	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑌 = 𝑍 → ((𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍) → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)))
50	47, 48, 49	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
51	4	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝐺 ∈ TarskiG)
52		colline.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
53	52	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑌 ∈ 𝑃)
54	29	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑍 ∈ 𝑃)
55		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑌 ≠ 𝑍)
56	1, 2, 3, 51, 53, 54, 55	tgelrnln 27572	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → (𝑌𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿)
57	45, 50, 46, 56	syl21anc 836	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → (𝑌𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿)
58	1, 2, 3, 51, 53, 54, 55	tglinerflx1 27575	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑌 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
59	45, 50, 46, 58	syl21anc 836	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑌 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
60	1, 2, 3, 51, 53, 54, 55	tglinerflx2 27576	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑍 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
61	45, 50, 46, 60	syl21anc 836	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑍 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
62		eleq2 2826	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑌𝐿𝑍) → (𝑋 ∈ 𝑎 ↔ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)))
63		eleq2 2826	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑌𝐿𝑍) → (𝑌 ∈ 𝑎 ↔ 𝑌 ∈ (𝑌𝐿𝑍)))
64		eleq2 2826	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑌𝐿𝑍) → (𝑍 ∈ 𝑎 ↔ 𝑍 ∈ (𝑌𝐿𝑍)))
65	62, 63, 64	3anbi123d 1436	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑌𝐿𝑍) → ((𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎) ↔ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∧ 𝑌 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∧ 𝑍 ∈ (𝑌𝐿𝑍))))
66	65	rspcev 3581	. . . 4 ⊢ (((𝑌𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∧ 𝑌 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∧ 𝑍 ∈ (𝑌𝐿𝑍))) → ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎))
67	57, 50, 59, 61, 66	syl13anc 1372	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎))
68	44, 67	pm2.61dane 3032	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) → ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎))
69		df-ne 2944	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ≠ 𝑍 ↔ ¬ 𝑌 = 𝑍)
70		simplr1 1215	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑋 ∈ 𝑎)
71	4	ad3antrrr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝐺 ∈ TarskiG)
72	52	ad3antrrr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑌 ∈ 𝑃)
73	29	ad3antrrr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑍 ∈ 𝑃)
74		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑌 ≠ 𝑍)
75		simpllr 774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑎 ∈ ran 𝐿)
76		simplr2 1216	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑌 ∈ 𝑎)
77		simplr3 1217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑍 ∈ 𝑎)
78	1, 2, 3, 71, 72, 73, 74, 74, 75, 76, 77	tglinethru 27578	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑎 = (𝑌𝐿𝑍))
79	70, 78	eleqtrd 2840	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
80	79	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)) → (𝑌 ≠ 𝑍 → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)))
81	69, 80	biimtrrid 242	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)) → (¬ 𝑌 = 𝑍 → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)))
82	81	orrd 861	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)) → (𝑌 = 𝑍 ∨ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)))
83	82	orcomd 869	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)) → (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
84	83	r19.29an 3155	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)) → (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
85	68, 84	impbida 799	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍) ↔ ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3073   class class class wbr 5105  ran crn 5634  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ≤ cle 11190  2c2 12208  ♯chash 14230  Basecbs 17083  distcds 17142  TarskiGcstrkg 27369  Itvcitv 27375  LineGclng 27376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-er 8648  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-hash 14231  df-word 14403  df-concat 14459  df-s1 14484  df-s2 14737  df-s3 14738  df-trkgc 27390  df-trkgb 27391  df-trkgcb 27392  df-trkg 27395  df-cgrg 27453

This theorem is referenced by: (None)