Theorem colline 28877

Description: Three points are colinear iff there is a line through all three of them. Theorem 6.23 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineintmo.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
colline.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
colline.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
colline.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
colline.4	⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))

Assertion

Ref	Expression
colline	⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍) ↔ ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)))

Distinct variable groups:   𝐿,𝑎   𝑋,𝑎   𝑌,𝑎   𝑍,𝑎   𝜑,𝑎

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑎)   𝐺(𝑎)   𝐼(𝑎)

Proof of Theorem colline

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineintmo.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tglineintmo.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		tglineintmo.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		tglineintmo.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad4antr 744	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		colline.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
7	6	ad4antr 744	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑋 ∈ 𝑃)
8		simplr 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑃)
9		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑋 ≠ 𝑥)
10	1, 2, 3, 5, 7, 8, 9	tgelrnln 28857	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → (𝑋𝐿𝑥) ∈ ran 𝐿)
11	1, 2, 3, 5, 7, 8, 9	tglinerflx1 28860	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑥))
12		simp-4r 795	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑌 = 𝑍)
13		simpllr 787	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑋 = 𝑍)
14	13, 11	eqeltrrd 2866	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑥))
15	12, 14	eqeltrd 2865	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑥))
16		eleq2 2854	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝑋𝐿𝑥) → (𝑋 ∈ 𝑎 ↔ 𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑥)))
17		eleq2 2854	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝑋𝐿𝑥) → (𝑌 ∈ 𝑎 ↔ 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑥)))
18		eleq2 2854	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝑋𝐿𝑥) → (𝑍 ∈ 𝑎 ↔ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑥)))
19	16, 17, 18	3anbi123d 1460	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑋𝐿𝑥) → ((𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎) ↔ (𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑥) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑥) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑥))))
20	19	rspcev 3584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋𝐿𝑥) ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑥) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑥) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑥))) → ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎))
21	10, 11, 15, 14, 20	syl13anc 1395	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎))
22		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
23		colline.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))
24	1, 22, 2, 4, 23, 6	tglowdim1i 28728	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝑋 ≠ 𝑥)
25	24	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝑋 ≠ 𝑥)
26	21, 25	r19.29a 3173	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) → ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎))
27	4	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ 𝑍) → 𝐺 ∈ TarskiG)
28	6	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ 𝑍) → 𝑋 ∈ 𝑃)
29		colline.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
30	29	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ 𝑍) → 𝑍 ∈ 𝑃)
31		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ 𝑍) → 𝑋 ≠ 𝑍)
32	1, 2, 3, 27, 28, 30, 31	tgelrnln 28857	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ 𝑍) → (𝑋𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿)
33	1, 2, 3, 27, 28, 30, 31	tglinerflx1 28860	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ 𝑍) → 𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
34		simplr 780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ 𝑍) → 𝑌 = 𝑍)
35	1, 2, 3, 27, 28, 30, 31	tglinerflx2 28861	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ 𝑍) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
36	34, 35	eqeltrd 2865	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ 𝑍) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
37		eleq2 2854	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑋𝐿𝑍) → (𝑋 ∈ 𝑎 ↔ 𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑍)))
38		eleq2 2854	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑋𝐿𝑍) → (𝑌 ∈ 𝑎 ↔ 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍)))
39		eleq2 2854	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑋𝐿𝑍) → (𝑍 ∈ 𝑎 ↔ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑍)))
40	37, 38, 39	3anbi123d 1460	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑋𝐿𝑍) → ((𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎) ↔ (𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑍))))
41	40	rspcev 3584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑍))) → ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎))
42	32, 33, 36, 35, 41	syl13anc 1395	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ 𝑍) → ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎))
43	26, 42	pm2.61dane 3047	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) → ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎))
44	43	adantlr 727	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) ∧ 𝑌 = 𝑍) → ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎))
45		simpll 778	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝜑)
46		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑌 ≠ 𝑍)
47	46	neneqd 2965	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → ¬ 𝑌 = 𝑍)
48		simplr 780	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
49		orel2 903	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑌 = 𝑍 → ((𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍) → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)))
50	47, 48, 49	sylc 66	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
51	4	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝐺 ∈ TarskiG)
52		colline.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
53	52	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑌 ∈ 𝑃)
54	29	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑍 ∈ 𝑃)
55		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑌 ≠ 𝑍)
56	1, 2, 3, 51, 53, 54, 55	tgelrnln 28857	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → (𝑌𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿)
57	45, 50, 46, 56	syl21anc 850	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → (𝑌𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿)
58	1, 2, 3, 51, 53, 54, 55	tglinerflx1 28860	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑌 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
59	45, 50, 46, 58	syl21anc 850	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑌 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
60	1, 2, 3, 51, 53, 54, 55	tglinerflx2 28861	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑍 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
61	45, 50, 46, 60	syl21anc 850	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑍 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
62		eleq2 2854	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑌𝐿𝑍) → (𝑋 ∈ 𝑎 ↔ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)))
63		eleq2 2854	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑌𝐿𝑍) → (𝑌 ∈ 𝑎 ↔ 𝑌 ∈ (𝑌𝐿𝑍)))
64		eleq2 2854	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑌𝐿𝑍) → (𝑍 ∈ 𝑎 ↔ 𝑍 ∈ (𝑌𝐿𝑍)))
65	62, 63, 64	3anbi123d 1460	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑌𝐿𝑍) → ((𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎) ↔ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∧ 𝑌 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∧ 𝑍 ∈ (𝑌𝐿𝑍))))
66	65	rspcev 3584	. . . 4 ⊢ (((𝑌𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∧ 𝑌 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∧ 𝑍 ∈ (𝑌𝐿𝑍))) → ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎))
67	57, 50, 59, 61, 66	syl13anc 1395	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎))
68	44, 67	pm2.61dane 3047	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) → ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎))
69		df-ne 2961	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ≠ 𝑍 ↔ ¬ 𝑌 = 𝑍)
70		simplr1 1232	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑋 ∈ 𝑎)
71	4	ad3antrrr 742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝐺 ∈ TarskiG)
72	52	ad3antrrr 742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑌 ∈ 𝑃)
73	29	ad3antrrr 742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑍 ∈ 𝑃)
74		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑌 ≠ 𝑍)
75		simpllr 787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑎 ∈ ran 𝐿)
76		simplr2 1233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑌 ∈ 𝑎)
77		simplr3 1234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑍 ∈ 𝑎)
78	1, 2, 3, 71, 72, 73, 74, 74, 75, 76, 77	tglinethru 28863	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑎 = (𝑌𝐿𝑍))
79	70, 78	eleqtrd 2867	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
80	79	ex 417	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)) → (𝑌 ≠ 𝑍 → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)))
81	69, 80	biimtrrid 246	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)) → (¬ 𝑌 = 𝑍 → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)))
82	81	orrd 876	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)) → (𝑌 = 𝑍 ∨ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)))
83	82	orcomd 884	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)) → (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
84	83	r19.29an 3169	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)) → (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
85	68, 84	impbida 812	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍) ↔ ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∃wrex 3089   class class class wbr 5105  ran crn 5653  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ≤ cle 11232  2c2 12286  ♯chash 14357  Basecbs 17259  distcds 17309  TarskiGcstrkg 28654  Itvcitv 28660  LineGclng 28661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-oadd 8445  df-er 8682  df-pm 8815  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-dju 9875  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-n0 12496  df-xnn0 12569  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-hash 14358  df-word 14541  df-concat 14598  df-s1 14624  df-s2 14875  df-s3 14876  df-trkgc 28675  df-trkgb 28676  df-trkgcb 28677  df-trkg 28680  df-cgrg 28738

This theorem is referenced by: (None)