Theorem colline 28576

Description: Three points are colinear iff there is a line through all three of them. Theorem 6.23 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineintmo.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
colline.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
colline.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
colline.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
colline.4	⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))

Assertion

Ref	Expression
colline	⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍) ↔ ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)))

Distinct variable groups:   𝐿,𝑎   𝑋,𝑎   𝑌,𝑎   𝑍,𝑎   𝜑,𝑎

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑎)   𝐺(𝑎)   𝐼(𝑎)

Proof of Theorem colline

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineintmo.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tglineintmo.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		tglineintmo.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		tglineintmo.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad4antr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		colline.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
7	6	ad4antr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑋 ∈ 𝑃)
8		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑃)
9		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑋 ≠ 𝑥)
10	1, 2, 3, 5, 7, 8, 9	tgelrnln 28557	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → (𝑋𝐿𝑥) ∈ ran 𝐿)
11	1, 2, 3, 5, 7, 8, 9	tglinerflx1 28560	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑥))
12		simp-4r 783	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑌 = 𝑍)
13		simpllr 775	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑋 = 𝑍)
14	13, 11	eqeltrrd 2829	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑥))
15	12, 14	eqeltrd 2828	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑥))
16		eleq2 2817	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝑋𝐿𝑥) → (𝑋 ∈ 𝑎 ↔ 𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑥)))
17		eleq2 2817	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝑋𝐿𝑥) → (𝑌 ∈ 𝑎 ↔ 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑥)))
18		eleq2 2817	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝑋𝐿𝑥) → (𝑍 ∈ 𝑎 ↔ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑥)))
19	16, 17, 18	3anbi123d 1438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑋𝐿𝑥) → ((𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎) ↔ (𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑥) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑥) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑥))))
20	19	rspcev 3588	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋𝐿𝑥) ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑥) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑥) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑥))) → ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎))
21	10, 11, 15, 14, 20	syl13anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎))
22		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
23		colline.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))
24	1, 22, 2, 4, 23, 6	tglowdim1i 28428	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝑋 ≠ 𝑥)
25	24	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝑋 ≠ 𝑥)
26	21, 25	r19.29a 3141	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) → ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎))
27	4	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ 𝑍) → 𝐺 ∈ TarskiG)
28	6	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ 𝑍) → 𝑋 ∈ 𝑃)
29		colline.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
30	29	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ 𝑍) → 𝑍 ∈ 𝑃)
31		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ 𝑍) → 𝑋 ≠ 𝑍)
32	1, 2, 3, 27, 28, 30, 31	tgelrnln 28557	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ 𝑍) → (𝑋𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿)
33	1, 2, 3, 27, 28, 30, 31	tglinerflx1 28560	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ 𝑍) → 𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
34		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ 𝑍) → 𝑌 = 𝑍)
35	1, 2, 3, 27, 28, 30, 31	tglinerflx2 28561	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ 𝑍) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
36	34, 35	eqeltrd 2828	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ 𝑍) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
37		eleq2 2817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑋𝐿𝑍) → (𝑋 ∈ 𝑎 ↔ 𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑍)))
38		eleq2 2817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑋𝐿𝑍) → (𝑌 ∈ 𝑎 ↔ 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍)))
39		eleq2 2817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑋𝐿𝑍) → (𝑍 ∈ 𝑎 ↔ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑍)))
40	37, 38, 39	3anbi123d 1438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑋𝐿𝑍) → ((𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎) ↔ (𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑍))))
41	40	rspcev 3588	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑍))) → ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎))
42	32, 33, 36, 35, 41	syl13anc 1374	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ 𝑍) → ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎))
43	26, 42	pm2.61dane 3012	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) → ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎))
44	43	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) ∧ 𝑌 = 𝑍) → ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎))
45		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝜑)
46		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑌 ≠ 𝑍)
47	46	neneqd 2930	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → ¬ 𝑌 = 𝑍)
48		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
49		orel2 890	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑌 = 𝑍 → ((𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍) → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)))
50	47, 48, 49	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
51	4	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝐺 ∈ TarskiG)
52		colline.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
53	52	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑌 ∈ 𝑃)
54	29	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑍 ∈ 𝑃)
55		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑌 ≠ 𝑍)
56	1, 2, 3, 51, 53, 54, 55	tgelrnln 28557	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → (𝑌𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿)
57	45, 50, 46, 56	syl21anc 837	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → (𝑌𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿)
58	1, 2, 3, 51, 53, 54, 55	tglinerflx1 28560	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑌 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
59	45, 50, 46, 58	syl21anc 837	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑌 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
60	1, 2, 3, 51, 53, 54, 55	tglinerflx2 28561	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑍 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
61	45, 50, 46, 60	syl21anc 837	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑍 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
62		eleq2 2817	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑌𝐿𝑍) → (𝑋 ∈ 𝑎 ↔ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)))
63		eleq2 2817	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑌𝐿𝑍) → (𝑌 ∈ 𝑎 ↔ 𝑌 ∈ (𝑌𝐿𝑍)))
64		eleq2 2817	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑌𝐿𝑍) → (𝑍 ∈ 𝑎 ↔ 𝑍 ∈ (𝑌𝐿𝑍)))
65	62, 63, 64	3anbi123d 1438	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑌𝐿𝑍) → ((𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎) ↔ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∧ 𝑌 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∧ 𝑍 ∈ (𝑌𝐿𝑍))))
66	65	rspcev 3588	. . . 4 ⊢ (((𝑌𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∧ 𝑌 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∧ 𝑍 ∈ (𝑌𝐿𝑍))) → ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎))
67	57, 50, 59, 61, 66	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎))
68	44, 67	pm2.61dane 3012	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) → ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎))
69		df-ne 2926	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ≠ 𝑍 ↔ ¬ 𝑌 = 𝑍)
70		simplr1 1216	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑋 ∈ 𝑎)
71	4	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝐺 ∈ TarskiG)
72	52	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑌 ∈ 𝑃)
73	29	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑍 ∈ 𝑃)
74		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑌 ≠ 𝑍)
75		simpllr 775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑎 ∈ ran 𝐿)
76		simplr2 1217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑌 ∈ 𝑎)
77		simplr3 1218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑍 ∈ 𝑎)
78	1, 2, 3, 71, 72, 73, 74, 74, 75, 76, 77	tglinethru 28563	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑎 = (𝑌𝐿𝑍))
79	70, 78	eleqtrd 2830	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
80	79	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)) → (𝑌 ≠ 𝑍 → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)))
81	69, 80	biimtrrid 243	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)) → (¬ 𝑌 = 𝑍 → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)))
82	81	orrd 863	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)) → (𝑌 = 𝑍 ∨ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)))
83	82	orcomd 871	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)) → (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
84	83	r19.29an 3137	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)) → (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
85	68, 84	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍) ↔ ∃𝑎 ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ 𝑎 ∧ 𝑌 ∈ 𝑎 ∧ 𝑍 ∈ 𝑎)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   class class class wbr 5107  ran crn 5639  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ≤ cle 11209  2c2 12241  ♯chash 14295  Basecbs 17179  distcds 17229  TarskiGcstrkg 28354  Itvcitv 28360  LineGclng 28361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-oadd 8438  df-er 8671  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-hash 14296  df-word 14479  df-concat 14536  df-s1 14561  df-s2 14814  df-s3 14815  df-trkgc 28375  df-trkgb 28376  df-trkgcb 28377  df-trkg 28380  df-cgrg 28438

This theorem is referenced by: (None)