MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  colline Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem colline 27640
Description: Three points are colinear iff there is a line through all three of them. Theorem 6.23 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineintmo.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
tglineintmo.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
tglineintmo.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
tglineintmo.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
colline.1 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
colline.2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
colline.3 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
colline.4 (πœ‘ β†’ 2 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ))
Assertion
Ref Expression
colline (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘) ∨ π‘Œ = 𝑍) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž)))
Distinct variable groups:   𝐿,π‘Ž   𝑋,π‘Ž   π‘Œ,π‘Ž   𝑍,π‘Ž   πœ‘,π‘Ž
Allowed substitution hints:   𝑃(π‘Ž)   𝐺(π‘Ž)   𝐼(π‘Ž)

Proof of Theorem colline
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tglineintmo.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 tglineintmo.i . . . . . . . 8 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
3 tglineintmo.l . . . . . . . 8 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
4 tglineintmo.g . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
54ad4antr 731 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 β‰  π‘₯) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6 colline.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
76ad4antr 731 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 β‰  π‘₯) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
8 simplr 768 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 β‰  π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑃)
9 simpr 486 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 β‰  π‘₯) β†’ 𝑋 β‰  π‘₯)
101, 2, 3, 5, 7, 8, 9tgelrnln 27621 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 β‰  π‘₯) β†’ (𝑋𝐿π‘₯) ∈ ran 𝐿)
111, 2, 3, 5, 7, 8, 9tglinerflx1 27624 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 β‰  π‘₯) β†’ 𝑋 ∈ (𝑋𝐿π‘₯))
12 simp-4r 783 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 β‰  π‘₯) β†’ π‘Œ = 𝑍)
13 simpllr 775 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 β‰  π‘₯) β†’ 𝑋 = 𝑍)
1413, 11eqeltrrd 2835 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 β‰  π‘₯) β†’ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿π‘₯))
1512, 14eqeltrd 2834 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 β‰  π‘₯) β†’ π‘Œ ∈ (𝑋𝐿π‘₯))
16 eleq2 2823 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = (𝑋𝐿π‘₯) β†’ (𝑋 ∈ π‘Ž ↔ 𝑋 ∈ (𝑋𝐿π‘₯)))
17 eleq2 2823 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = (𝑋𝐿π‘₯) β†’ (π‘Œ ∈ π‘Ž ↔ π‘Œ ∈ (𝑋𝐿π‘₯)))
18 eleq2 2823 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = (𝑋𝐿π‘₯) β†’ (𝑍 ∈ π‘Ž ↔ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿π‘₯)))
1916, 17, 183anbi123d 1437 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (𝑋𝐿π‘₯) β†’ ((𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž) ↔ (𝑋 ∈ (𝑋𝐿π‘₯) ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐿π‘₯) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿π‘₯))))
2019rspcev 3583 . . . . . . 7 (((𝑋𝐿π‘₯) ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑋 ∈ (𝑋𝐿π‘₯) ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐿π‘₯) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿π‘₯))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž))
2110, 11, 15, 14, 20syl13anc 1373 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 β‰  π‘₯) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž))
22 eqid 2733 . . . . . . . 8 (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜πΊ)
23 colline.4 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 2 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ))
241, 22, 2, 4, 23, 6tglowdim1i 27492 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 𝑋 β‰  π‘₯)
2524ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 𝑋 β‰  π‘₯)
2621, 25r19.29a 3156 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž))
274ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) ∧ 𝑋 β‰  𝑍) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
286ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) ∧ 𝑋 β‰  𝑍) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
29 colline.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
3029ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) ∧ 𝑋 β‰  𝑍) β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
31 simpr 486 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) ∧ 𝑋 β‰  𝑍) β†’ 𝑋 β‰  𝑍)
321, 2, 3, 27, 28, 30, 31tgelrnln 27621 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) ∧ 𝑋 β‰  𝑍) β†’ (𝑋𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿)
331, 2, 3, 27, 28, 30, 31tglinerflx1 27624 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) ∧ 𝑋 β‰  𝑍) β†’ 𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
34 simplr 768 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) ∧ 𝑋 β‰  𝑍) β†’ π‘Œ = 𝑍)
351, 2, 3, 27, 28, 30, 31tglinerflx2 27625 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) ∧ 𝑋 β‰  𝑍) β†’ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
3634, 35eqeltrd 2834 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) ∧ 𝑋 β‰  𝑍) β†’ π‘Œ ∈ (𝑋𝐿𝑍))
37 eleq2 2823 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (𝑋𝐿𝑍) β†’ (𝑋 ∈ π‘Ž ↔ 𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑍)))
38 eleq2 2823 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (𝑋𝐿𝑍) β†’ (π‘Œ ∈ π‘Ž ↔ π‘Œ ∈ (𝑋𝐿𝑍)))
39 eleq2 2823 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (𝑋𝐿𝑍) β†’ (𝑍 ∈ π‘Ž ↔ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑍)))
4037, 38, 393anbi123d 1437 . . . . . . 7 (π‘Ž = (𝑋𝐿𝑍) β†’ ((𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž) ↔ (𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑍))))
4140rspcev 3583 . . . . . 6 (((𝑋𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑍))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž))
4232, 33, 36, 35, 41syl13anc 1373 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) ∧ 𝑋 β‰  𝑍) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž))
4326, 42pm2.61dane 3029 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž))
4443adantlr 714 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘) ∨ π‘Œ = 𝑍)) ∧ π‘Œ = 𝑍) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž))
45 simpll 766 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘) ∨ π‘Œ = 𝑍)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ πœ‘)
46 simpr 486 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘) ∨ π‘Œ = 𝑍)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ π‘Œ β‰  𝑍)
4746neneqd 2945 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘) ∨ π‘Œ = 𝑍)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ Β¬ π‘Œ = 𝑍)
48 simplr 768 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘) ∨ π‘Œ = 𝑍)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ (𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘) ∨ π‘Œ = 𝑍))
49 orel2 890 . . . . . 6 (Β¬ π‘Œ = 𝑍 β†’ ((𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘) ∨ π‘Œ = 𝑍) β†’ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘)))
5047, 48, 49sylc 65 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘) ∨ π‘Œ = 𝑍)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘))
514ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
52 colline.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
5352ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
5429ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
55 simpr 486 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ π‘Œ β‰  𝑍)
561, 2, 3, 51, 53, 54, 55tgelrnln 27621 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ (π‘ŒπΏπ‘) ∈ ran 𝐿)
5745, 50, 46, 56syl21anc 837 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘) ∨ π‘Œ = 𝑍)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ (π‘ŒπΏπ‘) ∈ ran 𝐿)
581, 2, 3, 51, 53, 54, 55tglinerflx1 27624 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ π‘Œ ∈ (π‘ŒπΏπ‘))
5945, 50, 46, 58syl21anc 837 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘) ∨ π‘Œ = 𝑍)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ π‘Œ ∈ (π‘ŒπΏπ‘))
601, 2, 3, 51, 53, 54, 55tglinerflx2 27625 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ 𝑍 ∈ (π‘ŒπΏπ‘))
6145, 50, 46, 60syl21anc 837 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘) ∨ π‘Œ = 𝑍)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ 𝑍 ∈ (π‘ŒπΏπ‘))
62 eleq2 2823 . . . . . 6 (π‘Ž = (π‘ŒπΏπ‘) β†’ (𝑋 ∈ π‘Ž ↔ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘)))
63 eleq2 2823 . . . . . 6 (π‘Ž = (π‘ŒπΏπ‘) β†’ (π‘Œ ∈ π‘Ž ↔ π‘Œ ∈ (π‘ŒπΏπ‘)))
64 eleq2 2823 . . . . . 6 (π‘Ž = (π‘ŒπΏπ‘) β†’ (𝑍 ∈ π‘Ž ↔ 𝑍 ∈ (π‘ŒπΏπ‘)))
6562, 63, 643anbi123d 1437 . . . . 5 (π‘Ž = (π‘ŒπΏπ‘) β†’ ((𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž) ↔ (𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘) ∧ π‘Œ ∈ (π‘ŒπΏπ‘) ∧ 𝑍 ∈ (π‘ŒπΏπ‘))))
6665rspcev 3583 . . . 4 (((π‘ŒπΏπ‘) ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘) ∧ π‘Œ ∈ (π‘ŒπΏπ‘) ∧ 𝑍 ∈ (π‘ŒπΏπ‘))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž))
6757, 50, 59, 61, 66syl13anc 1373 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘) ∨ π‘Œ = 𝑍)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž))
6844, 67pm2.61dane 3029 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘) ∨ π‘Œ = 𝑍)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž))
69 df-ne 2941 . . . . . 6 (π‘Œ β‰  𝑍 ↔ Β¬ π‘Œ = 𝑍)
70 simplr1 1216 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ 𝑋 ∈ π‘Ž)
714ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
7252ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
7329ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
74 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ π‘Œ β‰  𝑍)
75 simpllr 775 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ π‘Ž ∈ ran 𝐿)
76 simplr2 1217 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ π‘Œ ∈ π‘Ž)
77 simplr3 1218 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ 𝑍 ∈ π‘Ž)
781, 2, 3, 71, 72, 73, 74, 74, 75, 76, 77tglinethru 27627 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ π‘Ž = (π‘ŒπΏπ‘))
7970, 78eleqtrd 2836 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘))
8079ex 414 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž)) β†’ (π‘Œ β‰  𝑍 β†’ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘)))
8169, 80biimtrrid 242 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž)) β†’ (Β¬ π‘Œ = 𝑍 β†’ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘)))
8281orrd 862 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž)) β†’ (π‘Œ = 𝑍 ∨ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘)))
8382orcomd 870 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž)) β†’ (𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘) ∨ π‘Œ = 𝑍))
8483r19.29an 3152 . 2 ((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘Ž ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž)) β†’ (𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘) ∨ π‘Œ = 𝑍))
8568, 84impbida 800 1 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘) ∨ π‘Œ = 𝑍) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5109  ran crn 5638  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ≀ cle 11198  2c2 12216  β™―chash 14239  Basecbs 17091  distcds 17150  TarskiGcstrkg 27418  Itvcitv 27424  LineGclng 27425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-oadd 8420  df-er 8654  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-hash 14240  df-word 14412  df-concat 14468  df-s1 14493  df-s2 14746  df-s3 14747  df-trkgc 27439  df-trkgb 27440  df-trkgcb 27441  df-trkg 27444  df-cgrg 27502
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator