MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  colline Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem colline 28452
Description: Three points are colinear iff there is a line through all three of them. Theorem 6.23 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineintmo.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
tglineintmo.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
tglineintmo.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
tglineintmo.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
colline.1 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
colline.2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
colline.3 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
colline.4 (πœ‘ β†’ 2 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ))
Assertion
Ref Expression
colline (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘) ∨ π‘Œ = 𝑍) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž)))
Distinct variable groups:   𝐿,π‘Ž   𝑋,π‘Ž   π‘Œ,π‘Ž   𝑍,π‘Ž   πœ‘,π‘Ž
Allowed substitution hints:   𝑃(π‘Ž)   𝐺(π‘Ž)   𝐼(π‘Ž)

Proof of Theorem colline
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tglineintmo.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 tglineintmo.i . . . . . . . 8 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
3 tglineintmo.l . . . . . . . 8 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
4 tglineintmo.g . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
54ad4antr 731 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 β‰  π‘₯) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6 colline.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
76ad4antr 731 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 β‰  π‘₯) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
8 simplr 768 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 β‰  π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑃)
9 simpr 484 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 β‰  π‘₯) β†’ 𝑋 β‰  π‘₯)
101, 2, 3, 5, 7, 8, 9tgelrnln 28433 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 β‰  π‘₯) β†’ (𝑋𝐿π‘₯) ∈ ran 𝐿)
111, 2, 3, 5, 7, 8, 9tglinerflx1 28436 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 β‰  π‘₯) β†’ 𝑋 ∈ (𝑋𝐿π‘₯))
12 simp-4r 783 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 β‰  π‘₯) β†’ π‘Œ = 𝑍)
13 simpllr 775 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 β‰  π‘₯) β†’ 𝑋 = 𝑍)
1413, 11eqeltrrd 2830 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 β‰  π‘₯) β†’ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿π‘₯))
1512, 14eqeltrd 2829 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 β‰  π‘₯) β†’ π‘Œ ∈ (𝑋𝐿π‘₯))
16 eleq2 2818 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = (𝑋𝐿π‘₯) β†’ (𝑋 ∈ π‘Ž ↔ 𝑋 ∈ (𝑋𝐿π‘₯)))
17 eleq2 2818 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = (𝑋𝐿π‘₯) β†’ (π‘Œ ∈ π‘Ž ↔ π‘Œ ∈ (𝑋𝐿π‘₯)))
18 eleq2 2818 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = (𝑋𝐿π‘₯) β†’ (𝑍 ∈ π‘Ž ↔ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿π‘₯)))
1916, 17, 183anbi123d 1433 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (𝑋𝐿π‘₯) β†’ ((𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž) ↔ (𝑋 ∈ (𝑋𝐿π‘₯) ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐿π‘₯) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿π‘₯))))
2019rspcev 3609 . . . . . . 7 (((𝑋𝐿π‘₯) ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑋 ∈ (𝑋𝐿π‘₯) ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐿π‘₯) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿π‘₯))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž))
2110, 11, 15, 14, 20syl13anc 1370 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 β‰  π‘₯) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž))
22 eqid 2728 . . . . . . . 8 (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜πΊ)
23 colline.4 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 2 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ))
241, 22, 2, 4, 23, 6tglowdim1i 28304 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 𝑋 β‰  π‘₯)
2524ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 𝑋 β‰  π‘₯)
2621, 25r19.29a 3159 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) ∧ 𝑋 = 𝑍) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž))
274ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) ∧ 𝑋 β‰  𝑍) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
286ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) ∧ 𝑋 β‰  𝑍) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
29 colline.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
3029ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) ∧ 𝑋 β‰  𝑍) β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
31 simpr 484 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) ∧ 𝑋 β‰  𝑍) β†’ 𝑋 β‰  𝑍)
321, 2, 3, 27, 28, 30, 31tgelrnln 28433 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) ∧ 𝑋 β‰  𝑍) β†’ (𝑋𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿)
331, 2, 3, 27, 28, 30, 31tglinerflx1 28436 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) ∧ 𝑋 β‰  𝑍) β†’ 𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
34 simplr 768 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) ∧ 𝑋 β‰  𝑍) β†’ π‘Œ = 𝑍)
351, 2, 3, 27, 28, 30, 31tglinerflx2 28437 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) ∧ 𝑋 β‰  𝑍) β†’ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
3634, 35eqeltrd 2829 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) ∧ 𝑋 β‰  𝑍) β†’ π‘Œ ∈ (𝑋𝐿𝑍))
37 eleq2 2818 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (𝑋𝐿𝑍) β†’ (𝑋 ∈ π‘Ž ↔ 𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑍)))
38 eleq2 2818 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (𝑋𝐿𝑍) β†’ (π‘Œ ∈ π‘Ž ↔ π‘Œ ∈ (𝑋𝐿𝑍)))
39 eleq2 2818 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (𝑋𝐿𝑍) β†’ (𝑍 ∈ π‘Ž ↔ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑍)))
4037, 38, 393anbi123d 1433 . . . . . . 7 (π‘Ž = (𝑋𝐿𝑍) β†’ ((𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž) ↔ (𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑍))))
4140rspcev 3609 . . . . . 6 (((𝑋𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∧ π‘Œ ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑍))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž))
4232, 33, 36, 35, 41syl13anc 1370 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) ∧ 𝑋 β‰  𝑍) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž))
4326, 42pm2.61dane 3026 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž))
4443adantlr 714 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘) ∨ π‘Œ = 𝑍)) ∧ π‘Œ = 𝑍) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž))
45 simpll 766 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘) ∨ π‘Œ = 𝑍)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ πœ‘)
46 simpr 484 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘) ∨ π‘Œ = 𝑍)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ π‘Œ β‰  𝑍)
4746neneqd 2942 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘) ∨ π‘Œ = 𝑍)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ Β¬ π‘Œ = 𝑍)
48 simplr 768 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘) ∨ π‘Œ = 𝑍)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ (𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘) ∨ π‘Œ = 𝑍))
49 orel2 889 . . . . . 6 (Β¬ π‘Œ = 𝑍 β†’ ((𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘) ∨ π‘Œ = 𝑍) β†’ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘)))
5047, 48, 49sylc 65 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘) ∨ π‘Œ = 𝑍)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘))
514ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
52 colline.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
5352ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
5429ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
55 simpr 484 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ π‘Œ β‰  𝑍)
561, 2, 3, 51, 53, 54, 55tgelrnln 28433 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ (π‘ŒπΏπ‘) ∈ ran 𝐿)
5745, 50, 46, 56syl21anc 837 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘) ∨ π‘Œ = 𝑍)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ (π‘ŒπΏπ‘) ∈ ran 𝐿)
581, 2, 3, 51, 53, 54, 55tglinerflx1 28436 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ π‘Œ ∈ (π‘ŒπΏπ‘))
5945, 50, 46, 58syl21anc 837 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘) ∨ π‘Œ = 𝑍)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ π‘Œ ∈ (π‘ŒπΏπ‘))
601, 2, 3, 51, 53, 54, 55tglinerflx2 28437 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ 𝑍 ∈ (π‘ŒπΏπ‘))
6145, 50, 46, 60syl21anc 837 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘) ∨ π‘Œ = 𝑍)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ 𝑍 ∈ (π‘ŒπΏπ‘))
62 eleq2 2818 . . . . . 6 (π‘Ž = (π‘ŒπΏπ‘) β†’ (𝑋 ∈ π‘Ž ↔ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘)))
63 eleq2 2818 . . . . . 6 (π‘Ž = (π‘ŒπΏπ‘) β†’ (π‘Œ ∈ π‘Ž ↔ π‘Œ ∈ (π‘ŒπΏπ‘)))
64 eleq2 2818 . . . . . 6 (π‘Ž = (π‘ŒπΏπ‘) β†’ (𝑍 ∈ π‘Ž ↔ 𝑍 ∈ (π‘ŒπΏπ‘)))
6562, 63, 643anbi123d 1433 . . . . 5 (π‘Ž = (π‘ŒπΏπ‘) β†’ ((𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž) ↔ (𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘) ∧ π‘Œ ∈ (π‘ŒπΏπ‘) ∧ 𝑍 ∈ (π‘ŒπΏπ‘))))
6665rspcev 3609 . . . 4 (((π‘ŒπΏπ‘) ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘) ∧ π‘Œ ∈ (π‘ŒπΏπ‘) ∧ 𝑍 ∈ (π‘ŒπΏπ‘))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž))
6757, 50, 59, 61, 66syl13anc 1370 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘) ∨ π‘Œ = 𝑍)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž))
6844, 67pm2.61dane 3026 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘) ∨ π‘Œ = 𝑍)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž))
69 df-ne 2938 . . . . . 6 (π‘Œ β‰  𝑍 ↔ Β¬ π‘Œ = 𝑍)
70 simplr1 1213 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ 𝑋 ∈ π‘Ž)
714ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
7252ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
7329ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
74 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ π‘Œ β‰  𝑍)
75 simpllr 775 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ π‘Ž ∈ ran 𝐿)
76 simplr2 1214 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ π‘Œ ∈ π‘Ž)
77 simplr3 1215 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ 𝑍 ∈ π‘Ž)
781, 2, 3, 71, 72, 73, 74, 74, 75, 76, 77tglinethru 28439 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ π‘Ž = (π‘ŒπΏπ‘))
7970, 78eleqtrd 2831 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž)) ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘))
8079ex 412 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž)) β†’ (π‘Œ β‰  𝑍 β†’ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘)))
8169, 80biimtrrid 242 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž)) β†’ (Β¬ π‘Œ = 𝑍 β†’ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘)))
8281orrd 862 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž)) β†’ (π‘Œ = 𝑍 ∨ 𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘)))
8382orcomd 870 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran 𝐿) ∧ (𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž)) β†’ (𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘) ∨ π‘Œ = 𝑍))
8483r19.29an 3155 . 2 ((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘Ž ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž)) β†’ (𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘) ∨ π‘Œ = 𝑍))
8568, 84impbida 800 1 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∈ (π‘ŒπΏπ‘) ∨ π‘Œ = 𝑍) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ran 𝐿(𝑋 ∈ π‘Ž ∧ π‘Œ ∈ π‘Ž ∧ 𝑍 ∈ π‘Ž)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937  βˆƒwrex 3067   class class class wbr 5148  ran crn 5679  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   ≀ cle 11279  2c2 12297  β™―chash 14321  Basecbs 17179  distcds 17241  TarskiGcstrkg 28230  Itvcitv 28236  LineGclng 28237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-oadd 8490  df-er 8724  df-pm 8847  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-hash 14322  df-word 14497  df-concat 14553  df-s1 14578  df-s2 14831  df-s3 14832  df-trkgc 28251  df-trkgb 28252  df-trkgcb 28253  df-trkg 28256  df-cgrg 28314
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator