Theorem tglowdim2ln 28614

Description: There is always one point outside of any line. Theorem 6.25 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineintmo.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglowdim2l.1	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
tglowdim2ln.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tglowdim2ln.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tglowdim2ln.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
tglowdim2ln	⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 ¬ 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵))

Distinct variable groups:   𝐺,𝑐   𝐼,𝑐   𝑃,𝑐   𝜑,𝑐   𝐴,𝑐   𝐵,𝑐   𝐿,𝑐

Proof of Theorem tglowdim2ln

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineintmo.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tglineintmo.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		tglineintmo.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		tglineintmo.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		tglowdim2l.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
6	1, 2, 3, 4, 5	tglowdim2l 28613	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
8		eleq1w 2811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑧 → (𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ 𝑧 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
9		simpllr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
10		simplr3 1218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑧 ∈ 𝑃)
11	8, 9, 10	rspcdva 3580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑧 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
12	4	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝐺 ∈ TarskiG)
13		simplr1 1216	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑎 ∈ 𝑃)
14		simplr2 1217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑏 ∈ 𝑃)
15		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → ¬ 𝑎 = 𝑏)
16	15	neqned 2932	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑎 ≠ 𝑏)
17		tglowdim2ln.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
18	17	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝐴 ∈ 𝑃)
19		tglowdim2ln.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
20	19	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝐵 ∈ 𝑃)
21		tglowdim2ln.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
22	21	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝐴 ≠ 𝐵)
23	1, 2, 3, 12, 18, 20, 22	tgelrnln 28593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
24		eleq1w 2811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ 𝑎 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
25	24, 9, 13	rspcdva 3580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑎 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
26		eleq1w 2811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ 𝑏 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
27	26, 9, 14	rspcdva 3580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑏 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
28	1, 2, 3, 12, 13, 14, 16, 16, 23, 25, 27	tglinethru 28599	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝑎𝐿𝑏))
29	11, 28	eleqtrd 2830	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏))
30	29	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) → (¬ 𝑎 = 𝑏 → 𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏)))
31	30	orrd 863	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) → (𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏)))
32	31	orcomd 871	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) → (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
33	32	ralrimivvva 3175	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
34		dfral2 3080	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏) ↔ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
35	34	ralbii 3075	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑃 ¬ ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
36		ralnex 3055	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑃 ¬ ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏) ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
37	35, 36	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏) ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
38	37	ralbii 3075	. . . . 5 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏) ↔ ∀𝑎 ∈ 𝑃 ¬ ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
39		ralnex 3055	. . . . 5 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝑃 ¬ ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏) ↔ ¬ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
40	38, 39	bitri 275	. . . 4 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏) ↔ ¬ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
41	33, 40	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ¬ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
42	7, 41	pm2.65da 816	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
43		rexnal 3081	. 2 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑃 ¬ 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ ¬ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
44	42, 43	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 ¬ 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  2c2 12201  Basecbs 17138  TarskiGcstrkg 28390  Dim_TarskiG≥cstrkgld 28394  Itvcitv 28396  LineGclng 28397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-er 8632  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-hash 14256  df-word 14439  df-concat 14496  df-s1 14521  df-s2 14773  df-s3 14774  df-trkgc 28411  df-trkgb 28412  df-trkgcb 28413  df-trkgld 28415  df-trkg 28416  df-cgrg 28474

This theorem is referenced by:  colperpex  28696  cgrg3col4  28816