Theorem tglowdim2ln 26916

Description: There is always one point outside of any line. Theorem 6.25 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineintmo.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglowdim2l.1	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
tglowdim2ln.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tglowdim2ln.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tglowdim2ln.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
tglowdim2ln	⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 ¬ 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵))

Distinct variable groups:   𝐺,𝑐   𝐼,𝑐   𝑃,𝑐   𝜑,𝑐   𝐴,𝑐   𝐵,𝑐   𝐿,𝑐

Proof of Theorem tglowdim2ln

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineintmo.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tglineintmo.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		tglineintmo.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		tglineintmo.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		tglowdim2l.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
6	1, 2, 3, 4, 5	tglowdim2l 26915	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
8		eleq1w 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑧 → (𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ 𝑧 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
9		simpllr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
10		simplr3 1215	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑧 ∈ 𝑃)
11	8, 9, 10	rspcdva 3554	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑧 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
12	4	ad3antrrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝐺 ∈ TarskiG)
13		simplr1 1213	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑎 ∈ 𝑃)
14		simplr2 1214	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑏 ∈ 𝑃)
15		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → ¬ 𝑎 = 𝑏)
16	15	neqned 2949	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑎 ≠ 𝑏)
17		tglowdim2ln.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
18	17	ad3antrrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝐴 ∈ 𝑃)
19		tglowdim2ln.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
20	19	ad3antrrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝐵 ∈ 𝑃)
21		tglowdim2ln.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
22	21	ad3antrrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝐴 ≠ 𝐵)
23	1, 2, 3, 12, 18, 20, 22	tgelrnln 26895	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
24		eleq1w 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ 𝑎 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
25	24, 9, 13	rspcdva 3554	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑎 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
26		eleq1w 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ 𝑏 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
27	26, 9, 14	rspcdva 3554	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑏 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
28	1, 2, 3, 12, 13, 14, 16, 16, 23, 25, 27	tglinethru 26901	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝑎𝐿𝑏))
29	11, 28	eleqtrd 2841	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏))
30	29	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) → (¬ 𝑎 = 𝑏 → 𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏)))
31	30	orrd 859	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) → (𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏)))
32	31	orcomd 867	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) → (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
33	32	ralrimivvva 3115	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
34		dfral2 3164	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏) ↔ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
35	34	ralbii 3090	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑃 ¬ ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
36		ralnex 3163	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑃 ¬ ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏) ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
37	35, 36	bitri 274	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏) ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
38	37	ralbii 3090	. . . . 5 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏) ↔ ∀𝑎 ∈ 𝑃 ¬ ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
39		ralnex 3163	. . . . 5 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝑃 ¬ ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏) ↔ ¬ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
40	38, 39	bitri 274	. . . 4 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏) ↔ ¬ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
41	33, 40	sylib 217	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ¬ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
42	7, 41	pm2.65da 813	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
43		rexnal 3165	. 2 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑃 ¬ 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ ¬ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
44	42, 43	sylibr 233	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 ¬ 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  2c2 11958  Basecbs 16840  TarskiGcstrkg 26693  Dim_TarskiG≥cstrkgld 26697  Itvcitv 26699  LineGclng 26700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-er 8456  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-concat 14202  df-s1 14229  df-s2 14489  df-s3 14490  df-trkgc 26713  df-trkgb 26714  df-trkgcb 26715  df-trkgld 26717  df-trkg 26718  df-cgrg 26776

This theorem is referenced by:  colperpex  26998  cgrg3col4  27118