Theorem tglowdim2ln 28962

Description: There is always one point outside of any line. Theorem 6.25 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineintmo.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglowdim2l.1	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
tglowdim2ln.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tglowdim2ln.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tglowdim2ln.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
tglowdim2ln	⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 ¬ 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵))

Distinct variable groups:   𝐺,𝑐   𝐼,𝑐   𝑃,𝑐   𝜑,𝑐   𝐴,𝑐   𝐵,𝑐   𝐿,𝑐

Proof of Theorem tglowdim2ln

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineintmo.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tglineintmo.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		tglineintmo.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		tglineintmo.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		tglowdim2l.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
6	1, 2, 3, 4, 5	tglowdim2l 28961	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
8		eleq1w 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑧 → (𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ 𝑧 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
9		simpllr 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
10		simplr3 1236	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑧 ∈ 𝑃)
11	8, 9, 10	rspcdva 3585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑧 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
12	4	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝐺 ∈ TarskiG)
13		simplr1 1234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑎 ∈ 𝑃)
14		simplr2 1235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑏 ∈ 𝑃)
15		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → ¬ 𝑎 = 𝑏)
16	15	neqned 2968	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑎 ≠ 𝑏)
17		tglowdim2ln.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
18	17	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝐴 ∈ 𝑃)
19		tglowdim2ln.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
20	19	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝐵 ∈ 𝑃)
21		tglowdim2ln.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
22	21	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝐴 ≠ 𝐵)
23	1, 2, 3, 12, 18, 20, 22	tgelrnln 28940	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
24		eleq1w 2849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ 𝑎 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
25	24, 9, 13	rspcdva 3585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑎 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
26		eleq1w 2849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ 𝑏 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
27	26, 9, 14	rspcdva 3585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑏 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
28	1, 2, 3, 12, 13, 14, 16, 16, 23, 25, 27	tglinethru 28946	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝑎𝐿𝑏))
29	11, 28	eleqtrd 2868	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏))
30	29	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) → (¬ 𝑎 = 𝑏 → 𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏)))
31	30	orrd 877	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) → (𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏)))
32	31	orcomd 885	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) → (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
33	32	ralrimivvva 3214	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
34		dfral2 3119	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏) ↔ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
35	34	ralbii 3114	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑃 ¬ ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
36		ralnex 3094	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑃 ¬ ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏) ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
37	35, 36	bitri 278	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏) ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
38	37	ralbii 3114	. . . . 5 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏) ↔ ∀𝑎 ∈ 𝑃 ¬ ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
39		ralnex 3094	. . . . 5 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝑃 ¬ ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏) ↔ ¬ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
40	38, 39	bitri 278	. . . 4 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏) ↔ ¬ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
41	33, 40	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ¬ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
42	7, 41	pm2.65da 829	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
43		rexnal 3120	. 2 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑃 ¬ 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ ¬ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
44	42, 43	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 ¬ 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∀wral 3082  ∃wrex 3092   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  2c2 12313  Basecbs 17294  TarskiGcstrkg 28733  Dim_TarskiG≥cstrkgld 28737  Itvcitv 28739  LineGclng 28740

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8703  df-pm 8836  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-xnn0 12596  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-hash 14387  df-word 14571  df-concat 14628  df-s1 14655  df-s2 14911  df-s3 14912  df-trkgc 28754  df-trkgb 28755  df-trkgcb 28756  df-trkgld 28758  df-trkg 28759  df-cgrg 28817

This theorem is used by:  colperpex  29051  cgrg3col4  29207