Theorem tglowdim2ln 28719

Description: There is always one point outside of any line. Theorem 6.25 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineintmo.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglowdim2l.1	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
tglowdim2ln.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tglowdim2ln.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tglowdim2ln.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
tglowdim2ln	⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 ¬ 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵))

Distinct variable groups:   𝐺,𝑐   𝐼,𝑐   𝑃,𝑐   𝜑,𝑐   𝐴,𝑐   𝐵,𝑐   𝐿,𝑐

Proof of Theorem tglowdim2ln

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineintmo.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tglineintmo.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		tglineintmo.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		tglineintmo.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		tglowdim2l.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
6	1, 2, 3, 4, 5	tglowdim2l 28718	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
8		eleq1w 2819	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑧 → (𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ 𝑧 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
9		simpllr 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
10		simplr3 1219	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑧 ∈ 𝑃)
11	8, 9, 10	rspcdva 3565	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑧 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
12	4	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝐺 ∈ TarskiG)
13		simplr1 1217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑎 ∈ 𝑃)
14		simplr2 1218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑏 ∈ 𝑃)
15		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → ¬ 𝑎 = 𝑏)
16	15	neqned 2939	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑎 ≠ 𝑏)
17		tglowdim2ln.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
18	17	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝐴 ∈ 𝑃)
19		tglowdim2ln.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
20	19	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝐵 ∈ 𝑃)
21		tglowdim2ln.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
22	21	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝐴 ≠ 𝐵)
23	1, 2, 3, 12, 18, 20, 22	tgelrnln 28698	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
24		eleq1w 2819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ 𝑎 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
25	24, 9, 13	rspcdva 3565	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑎 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
26		eleq1w 2819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ 𝑏 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
27	26, 9, 14	rspcdva 3565	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑏 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
28	1, 2, 3, 12, 13, 14, 16, 16, 23, 25, 27	tglinethru 28704	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝑎𝐿𝑏))
29	11, 28	eleqtrd 2838	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏))
30	29	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) → (¬ 𝑎 = 𝑏 → 𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏)))
31	30	orrd 864	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) → (𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏)))
32	31	orcomd 872	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) → (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
33	32	ralrimivvva 3183	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
34		dfral2 3088	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏) ↔ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
35	34	ralbii 3083	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑃 ¬ ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
36		ralnex 3063	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑃 ¬ ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏) ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
37	35, 36	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏) ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
38	37	ralbii 3083	. . . . 5 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏) ↔ ∀𝑎 ∈ 𝑃 ¬ ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
39		ralnex 3063	. . . . 5 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝑃 ¬ ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏) ↔ ¬ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
40	38, 39	bitri 275	. . . 4 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏) ↔ ¬ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
41	33, 40	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ¬ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
42	7, 41	pm2.65da 817	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
43		rexnal 3089	. 2 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑃 ¬ 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ ¬ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
44	42, 43	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 ¬ 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3061   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  2c2 12236  Basecbs 17179  TarskiGcstrkg 28495  Dim_TarskiG≥cstrkgld 28499  Itvcitv 28501  LineGclng 28502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-oadd 8409  df-er 8643  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-hash 14293  df-word 14476  df-concat 14533  df-s1 14559  df-s2 14810  df-s3 14811  df-trkgc 28516  df-trkgb 28517  df-trkgcb 28518  df-trkgld 28520  df-trkg 28521  df-cgrg 28579

This theorem is referenced by:  colperpex  28801  cgrg3col4  28921