Theorem tglowdim2ln 28807

Description: There is always one point outside of any line. Theorem 6.25 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineintmo.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglowdim2l.1	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
tglowdim2ln.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tglowdim2ln.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tglowdim2ln.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
tglowdim2ln	⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 ¬ 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵))

Distinct variable groups:   𝐺,𝑐   𝐼,𝑐   𝑃,𝑐   𝜑,𝑐   𝐴,𝑐   𝐵,𝑐   𝐿,𝑐

Proof of Theorem tglowdim2ln

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineintmo.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tglineintmo.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		tglineintmo.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		tglineintmo.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		tglowdim2l.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
6	1, 2, 3, 4, 5	tglowdim2l 28806	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
7	6	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
8		eleq1w 2844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑧 → (𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ 𝑧 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
9		simpllr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
10		simplr3 1230	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑧 ∈ 𝑃)
11	8, 9, 10	rspcdva 3581	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑧 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
12	4	ad3antrrr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝐺 ∈ TarskiG)
13		simplr1 1228	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑎 ∈ 𝑃)
14		simplr2 1229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑏 ∈ 𝑃)
15		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → ¬ 𝑎 = 𝑏)
16	15	neqned 2963	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑎 ≠ 𝑏)
17		tglowdim2ln.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
18	17	ad3antrrr 740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝐴 ∈ 𝑃)
19		tglowdim2ln.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
20	19	ad3antrrr 740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝐵 ∈ 𝑃)
21		tglowdim2ln.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
22	21	ad3antrrr 740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝐴 ≠ 𝐵)
23	1, 2, 3, 12, 18, 20, 22	tgelrnln 28786	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
24		eleq1w 2844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ 𝑎 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
25	24, 9, 13	rspcdva 3581	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑎 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
26		eleq1w 2844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ 𝑏 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
27	26, 9, 14	rspcdva 3581	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑏 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
28	1, 2, 3, 12, 13, 14, 16, 16, 23, 25, 27	tglinethru 28792	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝑎𝐿𝑏))
29	11, 28	eleqtrd 2863	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏))
30	29	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) → (¬ 𝑎 = 𝑏 → 𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏)))
31	30	orrd 874	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) → (𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏)))
32	31	orcomd 882	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) → (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
33	32	ralrimivvva 3207	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
34		dfral2 3112	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏) ↔ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
35	34	ralbii 3107	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑃 ¬ ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
36		ralnex 3087	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑃 ¬ ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏) ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
37	35, 36	bitri 277	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏) ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
38	37	ralbii 3107	. . . . 5 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏) ↔ ∀𝑎 ∈ 𝑃 ¬ ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
39		ralnex 3087	. . . . 5 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝑃 ¬ ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏) ↔ ¬ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
40	38, 39	bitri 277	. . . 4 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏) ↔ ¬ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
41	33, 40	sylib 220	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) → ¬ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
42	7, 41	pm2.65da 826	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
43		rexnal 3113	. 2 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑃 ¬ 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ ¬ ∀𝑐 ∈ 𝑃 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
44	42, 43	sylibr 236	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 ¬ 𝑐 ∈ (𝐴𝐿𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075  ∃wrex 3085   class class class wbr 5097  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  2c2 12265  Basecbs 17235  TarskiGcstrkg 28583  Dim_TarskiG≥cstrkgld 28587  Itvcitv 28589  LineGclng 28590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-oadd 8434  df-er 8671  df-pm 8804  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-dju 9852  df-card 9890  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-n0 12475  df-xnn0 12548  df-z 12562  df-uz 12833  df-fz 13506  df-fzo 13653  df-hash 14337  df-word 14520  df-concat 14577  df-s1 14603  df-s2 14854  df-s3 14855  df-trkgc 28604  df-trkgb 28605  df-trkgcb 28606  df-trkgld 28608  df-trkg 28609  df-cgrg 28667

This theorem is referenced by:  colperpex  28889  cgrg3col4  29009