Theorem elfzo0 13875

Description: Membership in a half-open integer range based at 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzo0	⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))

Proof of Theorem elfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13838	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘0))
2		elnn0uz 13046	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘0))
3	1, 2	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0)
4		elfzolt3b 13846	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 0 ∈ (0..^𝐵))
5		lbfzo0 13874	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐵) ↔ 𝐵 ∈ ℕ)
6	4, 5	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)
7		elfzolt2 13843	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
8	3, 6, 7	3jca 1146	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))
9		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0)
10	9, 2	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘0))
11		nnz 12754	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
12	11	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
13		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
14		elfzo2 13836	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵))
15	10, 12, 13, 14	syl3anbrc 1362	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (0..^𝐵))
16	8, 15	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  0cc0 11239   < clt 11382  ℕcn 12375  ℕ₀cn0 12646  ℤcz 12733  ℤ_≥cuz 13005  ..^cfzo 13828

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829

This theorem is used by:  elfzo0z  13876  nn0p1elfzo  13877  elfzo0le  13878  fzonmapblen  13883  fzofzim  13884  fzo1fzo0n0  13890  ubmelfzo  13905  elfzodifsumelfzo  13906  elfzonlteqm1  13916  fzonn0p1  13917  fzonn0p1p1  13919  elfzo0l  13931  ubmelm1fzo  13938  elfznelfzo  13948  subfzo0  13968  fvf1tp  13969  zmodidfzoimp  14081  modfzo0difsn  14126  modsumfzodifsn  14127  addmodlteq  14129  tpf1ofv1  14683  tpf1ofv2  14684  tpfo  14686  ccatalpha  14781  ccat2s1fvw  14828  swrdswrd  14896  swrdccatin1  14916  pfxccatin12lem3  14923  repswswrd  14977  cshwidxmod  14996  cshwidxmodr  14997  cshwidx0  14999  cshwidxm1  15000  cshf1  15003  2cshw  15006  cshweqrep  15014  cshw1  15015  cshco  15029  swrds2  15134  pfx2  15141  2swrd2eqwrdeq  15149  wwlktovf  15152  addmodlteqALT  16539  smueqlem  16704  hashgcdlem  17009  prmgaplem3  17275  cshwshashlem2  17318  psgnunilem5  19759  psgnunilem2  19760  psgnunilem3  19761  psgnunilem4  19762  psdmul  22542  usgr2pthlem  30406  uspgrn2crct  30454  crctcshwlkn0lem4  30459  crctcshwlkn0lem5  30460  crctcshwlkn0  30467  wwlksnredwwlkn  30541  clwlkclwwlklem2fv2  30644  clwlkclwwlklem2a4  30645  clwlkclwwlklem2a  30646  clwwisshclwwslemlem  30661  clwwlkel  30694  wwlksext2clwwlk  30705  umgr2cwwkdifex  30713  clwwlknonex2lem2  30756  upgr3v3e3cycl  30838  upgr4cycl4dv4e  30843  eucrctshift  30901  eucrct2eupth  30903  cshwrnid  33618  fzo0pmtrlast  33752  wrdpmtrlast  33753  1arithidomlem1  34171  1arithidomlem2  34172  1arithidom  34173  fiblem  35141  fib1  35143  fibp1  35144  signstfveq0  35317  lpadleft  35426  poimirlem17  38823  poimirlem20  38826  subsubelfzo0  48670  plusmod5ne  48694  submodlt  48699  modm1p1ne  48719  iccpartigtl  48778  lswn0  48799  bgoldbtbndlem4  49179  gpgprismgriedgdmss  49423  gpgusgralem  49427  gpgvtxedg0  49434  gpgvtxedg1  49435  gpg3nbgrvtx0  49447  gpgprismgr4cycllem3  49468  gpg5edgnedg  49501