Theorem elfzo0 13756

Description: Membership in a half-open integer range based at 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzo0	⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))

Proof of Theorem elfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13719	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘0))
2		elnn0uz 12928	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘0))
3	1, 2	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0)
4		elfzolt3b 13727	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 0 ∈ (0..^𝐵))
5		lbfzo0 13755	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐵) ↔ 𝐵 ∈ ℕ)
6	4, 5	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)
7		elfzolt2 13724	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
8	3, 6, 7	3jca 1146	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))
9		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0)
10	9, 2	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘0))
11		nnz 12636	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
12	11	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
13		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
14		elfzo2 13717	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵))
15	10, 12, 13, 14	syl3anbrc 1362	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (0..^𝐵))
16	8, 15	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  0cc0 11124   < clt 11267  ℕcn 12257  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ℤ_≥cuz 12887  ..^cfzo 13709

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-fzo 13710

This theorem is used by:  elfzo0z  13757  nn0p1elfzo  13758  elfzo0le  13759  fzonmapblen  13764  fzofzim  13765  fzo1fzo0n0  13771  ubmelfzo  13786  elfzodifsumelfzo  13787  elfzonlteqm1  13797  fzonn0p1  13798  fzonn0p1p1  13800  elfzo0l  13812  ubmelm1fzo  13819  elfznelfzo  13829  subfzo0  13849  fvf1tp  13850  zmodidfzoimp  13962  modfzo0difsn  14007  modsumfzodifsn  14008  addmodlteq  14010  tpf1ofv1  14562  tpf1ofv2  14563  tpfo  14565  ccatalpha  14660  ccat2s1fvw  14706  swrdswrd  14774  swrdccatin1  14794  pfxccatin12lem3  14801  repswswrd  14855  cshwidxmod  14874  cshwidxmodr  14875  cshwidx0  14877  cshwidxm1  14878  cshf1  14881  2cshw  14884  cshweqrep  14892  cshw1  14893  cshco  14907  swrds2  15011  pfx2  15018  2swrd2eqwrdeq  15026  wwlktovf  15029  addmodlteqALT  16415  smueqlem  16580  hashgcdlem  16879  prmgaplem3  17145  cshwshashlem2  17188  psgnunilem5  19621  psgnunilem2  19622  psgnunilem3  19623  psgnunilem4  19624  psdmul  22394  usgr2pthlem  30228  uspgrn2crct  30276  crctcshwlkn0lem4  30281  crctcshwlkn0lem5  30282  crctcshwlkn0  30289  wwlksnredwwlkn  30363  clwlkclwwlklem2fv2  30466  clwlkclwwlklem2a4  30467  clwlkclwwlklem2a  30468  clwwisshclwwslemlem  30483  clwwlkel  30516  wwlksext2clwwlk  30527  umgr2cwwkdifex  30535  clwwlknonex2lem2  30578  upgr3v3e3cycl  30660  upgr4cycl4dv4e  30665  eucrctshift  30723  eucrct2eupth  30725  cshwrnid  33401  fzo0pmtrlast  33532  wrdpmtrlast  33533  1arithidomlem1  33945  1arithidomlem2  33946  1arithidom  33947  fiblem  34909  fib1  34911  fibp1  34912  signstfveq0  35085  lpadleft  35194  poimirlem17  38386  poimirlem20  38389  subsubelfzo0  48215  plusmod5ne  48239  submodlt  48244  modm1p1ne  48264  iccpartigtl  48323  lswn0  48344  bgoldbtbndlem4  48724  gpgprismgriedgdmss  48968  gpgusgralem  48972  gpgvtxedg0  48979  gpgvtxedg1  48980  gpg3nbgrvtx0  48992  gpgprismgr4cycllem3  49013  gpg5edgnedg  49046