Theorem elfzo0 13646

Description: Membership in a half-open integer range based at 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzo0	⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))

Proof of Theorem elfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13609	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘0))
2		elnn0uz 12820	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘0))
3	1, 2	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0)
4		elfzolt3b 13617	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 0 ∈ (0..^𝐵))
5		lbfzo0 13645	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐵) ↔ 𝐵 ∈ ℕ)
6	4, 5	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)
7		elfzolt2 13614	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
8	3, 6, 7	3jca 1129	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))
9		simp1 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0)
10	9, 2	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘0))
11		nnz 12536	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
12	11	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
13		simp3 1139	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
14		elfzo2 13607	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵))
15	10, 12, 13, 14	syl3anbrc 1345	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (0..^𝐵))
16	8, 15	impbii 209	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  0cc0 11029   < clt 11170  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ..^cfzo 13599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600

This theorem is referenced by:  elfzo0z  13647  nn0p1elfzo  13648  elfzo0le  13649  fzonmapblen  13654  fzofzim  13655  fzo1fzo0n0  13661  ubmelfzo  13676  elfzodifsumelfzo  13677  elfzonlteqm1  13687  fzonn0p1  13688  fzonn0p1p1  13690  elfzo0l  13702  ubmelm1fzo  13709  elfznelfzo  13719  subfzo0  13738  fvf1tp  13739  zmodidfzoimp  13851  modfzo0difsn  13896  modsumfzodifsn  13897  addmodlteq  13899  tpf1ofv1  14450  tpf1ofv2  14451  tpfo  14453  ccatalpha  14547  ccat2s1fvw  14592  swrdswrd  14658  swrdccatin1  14678  pfxccatin12lem3  14685  repswswrd  14737  cshwidxmod  14756  cshwidxmodr  14757  cshwidx0  14759  cshwidxm1  14760  cshf1  14763  2cshw  14766  cshweqrep  14774  cshw1  14775  cshco  14789  swrds2  14893  pfx2  14900  2swrd2eqwrdeq  14906  wwlktovf  14909  addmodlteqALT  16285  smueqlem  16450  hashgcdlem  16749  prmgaplem3  17015  cshwshashlem2  17058  psgnunilem5  19460  psgnunilem2  19461  psgnunilem3  19462  psgnunilem4  19463  psdmul  22142  usgr2pthlem  29846  uspgrn2crct  29891  crctcshwlkn0lem4  29896  crctcshwlkn0lem5  29897  crctcshwlkn0  29904  wwlksnredwwlkn  29978  clwlkclwwlklem2fv2  30081  clwlkclwwlklem2a4  30082  clwlkclwwlklem2a  30083  clwwisshclwwslemlem  30098  clwwlkel  30131  wwlksext2clwwlk  30142  umgr2cwwkdifex  30150  clwwlknonex2lem2  30193  upgr3v3e3cycl  30265  upgr4cycl4dv4e  30270  eucrctshift  30328  eucrct2eupth  30330  cshwrnid  33036  fzo0pmtrlast  33168  wrdpmtrlast  33169  1arithidomlem1  33610  1arithidomlem2  33611  1arithidom  33612  fiblem  34558  fib1  34560  fibp1  34561  signstfveq0  34737  lpadleft  34843  poimirlem17  37972  poimirlem20  37975  subsubelfzo0  47787  plusmod5ne  47811  submodlt  47816  modm1p1ne  47836  iccpartigtl  47895  lswn0  47916  bgoldbtbndlem4  48296  gpgprismgriedgdmss  48540  gpgusgralem  48544  gpgvtxedg0  48551  gpgvtxedg1  48552  gpg3nbgrvtx0  48564  gpgprismgr4cycllem3  48585  gpg5edgnedg  48618