Theorem elfzo0 13600

Description: Membership in a half-open integer range based at 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzo0	⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))

Proof of Theorem elfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13563	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘0))
2		elnn0uz 12777	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘0))
3	1, 2	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0)
4		elfzolt3b 13571	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 0 ∈ (0..^𝐵))
5		lbfzo0 13599	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐵) ↔ 𝐵 ∈ ℕ)
6	4, 5	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)
7		elfzolt2 13568	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
8	3, 6, 7	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))
9		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0)
10	9, 2	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘0))
11		nnz 12489	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
12	11	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
13		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
14		elfzo2 13562	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵))
15	10, 12, 13, 14	syl3anbrc 1344	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (0..^𝐵))
16	8, 15	impbii 209	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11006   < clt 11146  ℕcn 12125  ℕ₀cn0 12381  ℤcz 12468  ℤ_≥cuz 12732  ..^cfzo 13554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555

This theorem is referenced by:  elfzo0z  13601  nn0p1elfzo  13602  elfzo0le  13603  fzonmapblen  13608  fzofzim  13609  fzo1fzo0n0  13615  ubmelfzo  13630  elfzodifsumelfzo  13631  elfzonlteqm1  13641  fzonn0p1  13642  fzonn0p1p1  13644  elfzo0l  13656  ubmelm1fzo  13663  elfznelfzo  13673  subfzo0  13692  fvf1tp  13693  zmodidfzoimp  13805  modfzo0difsn  13850  modsumfzodifsn  13851  addmodlteq  13853  tpf1ofv1  14404  tpf1ofv2  14405  tpfo  14407  ccatalpha  14501  ccat2s1fvw  14546  swrdswrd  14612  swrdccatin1  14632  pfxccatin12lem3  14639  repswswrd  14691  cshwidxmod  14710  cshwidxmodr  14711  cshwidx0  14713  cshwidxm1  14714  cshf1  14717  2cshw  14720  cshweqrep  14728  cshw1  14729  cshco  14743  swrds2  14847  pfx2  14854  2swrd2eqwrdeq  14860  wwlktovf  14863  addmodlteqALT  16236  smueqlem  16401  hashgcdlem  16699  prmgaplem3  16965  cshwshashlem2  17008  psgnunilem5  19407  psgnunilem2  19408  psgnunilem3  19409  psgnunilem4  19410  psdmul  22082  usgr2pthlem  29742  uspgrn2crct  29787  crctcshwlkn0lem4  29792  crctcshwlkn0lem5  29793  crctcshwlkn0  29800  wwlksnredwwlkn  29874  clwlkclwwlklem2fv2  29974  clwlkclwwlklem2a4  29975  clwlkclwwlklem2a  29976  clwwisshclwwslemlem  29991  clwwlkel  30024  wwlksext2clwwlk  30035  umgr2cwwkdifex  30043  clwwlknonex2lem2  30086  upgr3v3e3cycl  30158  upgr4cycl4dv4e  30163  eucrctshift  30221  eucrct2eupth  30223  cshwrnid  32940  fzo0pmtrlast  33059  wrdpmtrlast  33060  1arithidomlem1  33498  1arithidomlem2  33499  1arithidom  33500  fiblem  34409  fib1  34411  fibp1  34412  signstfveq0  34588  lpadleft  34694  poimirlem17  37683  poimirlem20  37686  subsubelfzo0  47363  plusmod5ne  47382  submodlt  47387  modm1p1ne  47407  iccpartigtl  47460  lswn0  47481  bgoldbtbndlem4  47845  gpgprismgriedgdmss  48089  gpgusgralem  48093  gpgvtxedg0  48100  gpgvtxedg1  48101  gpg3nbgrvtx0  48113  gpgprismgr4cycllem3  48134  gpg5edgnedg  48167