MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzo0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzo0 13613
Description: Membership in a half-open integer range based at 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzo0 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))

Proof of Theorem elfzo0
StepHypRef Expression
1 elfzouz 13576 . . . 4 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ (ℤ‘0))
2 elnn0uz 12808 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘0))
31, 2sylibr 233 . . 3 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0)
4 elfzolt3b 13584 . . . 4 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 0 ∈ (0..^𝐵))
5 lbfzo0 13612 . . . 4 (0 ∈ (0..^𝐵) ↔ 𝐵 ∈ ℕ)
64, 5sylib 217 . . 3 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)
7 elfzolt2 13581 . . 3 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
83, 6, 73jca 1128 . 2 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))
9 simp1 1136 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0)
109, 2sylib 217 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (ℤ‘0))
11 nnz 12520 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
12113ad2ant2 1134 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
13 simp3 1138 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
14 elfzo2 13575 . . 3 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵))
1510, 12, 13, 14syl3anbrc 1343 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (0..^𝐵))
168, 15impbii 208 1 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  w3a 1087  wcel 2106   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  0cc0 11051   < clt 11189  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  ..^cfzo 13567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568
This theorem is referenced by:  elfzo0z  13614  nn0p1elfzo  13615  elfzo0le  13616  fzonmapblen  13618  fzofzim  13619  fzo1fzo0n0  13623  ubmelfzo  13637  elfzodifsumelfzo  13638  elfzonlteqm1  13648  fzonn0p1  13649  fzonn0p1p1  13651  elfzo0l  13662  ubmelm1fzo  13668  elfznelfzo  13677  subfzo0  13694  zmodidfzoimp  13806  modfzo0difsn  13848  modsumfzodifsn  13849  addmodlteq  13851  ccatalpha  14481  ccat2s1fvw  14526  swrdswrd  14593  swrdccatin1  14613  pfxccatin12lem3  14620  repswswrd  14672  cshwidxmod  14691  cshwidxmodr  14692  cshwidx0  14694  cshwidxm1  14695  cshf1  14698  2cshw  14701  cshweqrep  14709  cshw1  14710  cshco  14725  swrds2  14829  pfx2  14836  2swrd2eqwrdeq  14842  wwlktovf  14845  addmodlteqALT  16207  smueqlem  16370  hashgcdlem  16660  prmgaplem3  16925  cshwshashlem2  16969  psgnunilem5  19276  psgnunilem2  19277  psgnunilem3  19278  psgnunilem4  19279  usgr2pthlem  28711  uspgrn2crct  28753  crctcshwlkn0lem4  28758  crctcshwlkn0lem5  28759  crctcshwlkn0  28766  wwlksnredwwlkn  28840  clwlkclwwlklem2fv2  28940  clwlkclwwlklem2a4  28941  clwlkclwwlklem2a  28942  clwwisshclwwslemlem  28957  clwwlkel  28990  wwlksext2clwwlk  29001  umgr2cwwkdifex  29009  clwwlknonex2lem2  29052  upgr3v3e3cycl  29124  upgr4cycl4dv4e  29129  eucrctshift  29187  eucrct2eupth  29189  cshwrnid  31815  fiblem  32998  fib1  33000  fibp1  33001  signstfveq0  33189  lpadleft  33296  poimirlem17  36095  poimirlem20  36098  subsubelfzo0  45548  iccpartigtl  45605  lswn0  45626  bgoldbtbndlem4  45990
  Copyright terms: Public domain W3C validator