Theorem elfzo0 13699

Description: Membership in a half-open integer range based at 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzo0	⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))

Proof of Theorem elfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13662	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘0))
2		elnn0uz 12873	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘0))
3	1, 2	sylibr 236	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0)
4		elfzolt3b 13670	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 0 ∈ (0..^𝐵))
5		lbfzo0 13698	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐵) ↔ 𝐵 ∈ ℕ)
6	4, 5	sylib 220	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)
7		elfzolt2 13667	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
8	3, 6, 7	3jca 1140	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))
9		simp1 1148	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0)
10	9, 2	sylib 220	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘0))
11		nnz 12582	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
12	11	3ad2ant2 1146	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
13		simp3 1150	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
14		elfzo2 13660	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵))
15	10, 12, 13, 14	syl3anbrc 1356	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (0..^𝐵))
16	8, 15	impbii 211	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ w3a 1097   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  0cc0 11066   < clt 11209  ℕcn 12203  ℕ₀cn0 12474  ℤcz 12561  ℤ_≥cuz 12832  ..^cfzo 13652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-n0 12475  df-z 12562  df-uz 12833  df-fz 13506  df-fzo 13653

This theorem is referenced by:  elfzo0z  13700  nn0p1elfzo  13701  elfzo0le  13702  fzonmapblen  13707  fzofzim  13708  fzo1fzo0n0  13714  ubmelfzo  13729  elfzodifsumelfzo  13730  elfzonlteqm1  13740  fzonn0p1  13741  fzonn0p1p1  13743  elfzo0l  13755  ubmelm1fzo  13762  elfznelfzo  13772  subfzo0  13791  fvf1tp  13792  zmodidfzoimp  13904  modfzo0difsn  13949  modsumfzodifsn  13950  addmodlteq  13952  tpf1ofv1  14503  tpf1ofv2  14504  tpfo  14506  ccatalpha  14600  ccat2s1fvw  14645  swrdswrd  14711  swrdccatin1  14731  pfxccatin12lem3  14738  repswswrd  14790  cshwidxmod  14809  cshwidxmodr  14810  cshwidx0  14812  cshwidxm1  14813  cshf1  14816  2cshw  14819  cshweqrep  14827  cshw1  14828  cshco  14842  swrds2  14946  pfx2  14953  2swrd2eqwrdeq  14959  wwlktovf  14962  addmodlteqALT  16349  smueqlem  16514  hashgcdlem  16813  prmgaplem3  17079  cshwshashlem2  17122  psgnunilem5  19524  psgnunilem2  19525  psgnunilem3  19526  psgnunilem4  19527  psdmul  22218  usgr2pthlem  29919  uspgrn2crct  29964  crctcshwlkn0lem4  29969  crctcshwlkn0lem5  29970  crctcshwlkn0  29977  wwlksnredwwlkn  30051  clwlkclwwlklem2fv2  30154  clwlkclwwlklem2a4  30155  clwlkclwwlklem2a  30156  clwwisshclwwslemlem  30171  clwwlkel  30204  wwlksext2clwwlk  30215  umgr2cwwkdifex  30223  clwwlknonex2lem2  30266  upgr3v3e3cycl  30338  upgr4cycl4dv4e  30343  eucrctshift  30401  eucrct2eupth  30403  cshwrnid  33099  fzo0pmtrlast  33232  wrdpmtrlast  33233  1arithidomlem1  33691  1arithidomlem2  33692  1arithidom  33693  fiblem  34655  fib1  34657  fibp1  34658  signstfveq0  34831  lpadleft  34940  poimirlem17  38096  poimirlem20  38099  subsubelfzo0  47881  plusmod5ne  47905  submodlt  47910  modm1p1ne  47930  iccpartigtl  47989  lswn0  48010  bgoldbtbndlem4  48390  gpgprismgriedgdmss  48634  gpgusgralem  48638  gpgvtxedg0  48645  gpgvtxedg1  48646  gpg3nbgrvtx0  48658  gpgprismgr4cycllem3  48679  gpg5edgnedg  48712