Theorem elfzo0 12761

Description: Membership in a half-open integer range based at 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzo0	⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))

Proof of Theorem elfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 12726	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘0))
2		elnn0uz 11966	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘0))
3	1, 2	sylibr 226	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0)
4		elfzolt3b 12734	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 0 ∈ (0..^𝐵))
5		lbfzo0 12760	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐵) ↔ 𝐵 ∈ ℕ)
6	4, 5	sylib 210	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)
7		elfzolt2 12731	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
8	3, 6, 7	3jca 1159	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))
9		simp1 1167	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0)
10	9, 2	sylib 210	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘0))
11		nnz 11686	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
12	11	3ad2ant2 1165	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
13		simp3 1169	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
14		elfzo2 12725	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵))
15	10, 12, 13, 14	syl3anbrc 1444	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (0..^𝐵))
16	8, 15	impbii 201	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))

Syntax hints:   ↔ wb 198   ∧ w3a 1108   ∈ wcel 2157   class class class wbr 4842  ‘cfv 6100  (class class class)co 6877  0cc0 10223   < clt 10362  ℕcn 11311  ℕ₀cn0 11577  ℤcz 11663  ℤ_≥cuz 11927  ..^cfzo 12717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2776  ax-sep 4974  ax-nul 4982  ax-pow 5034  ax-pr 5096  ax-un 7182  ax-cnex 10279  ax-resscn 10280  ax-1cn 10281  ax-icn 10282  ax-addcl 10283  ax-addrcl 10284  ax-mulcl 10285  ax-mulrcl 10286  ax-mulcom 10287  ax-addass 10288  ax-mulass 10289  ax-distr 10290  ax-i2m1 10291  ax-1ne0 10292  ax-1rid 10293  ax-rnegex 10294  ax-rrecex 10295  ax-cnre 10296  ax-pre-lttri 10297  ax-pre-lttrn 10298  ax-pre-ltadd 10299  ax-pre-mulgt0 10300

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2785  df-cleq 2791  df-clel 2794  df-nfc 2929  df-ne 2971  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3386  df-sbc 3633  df-csb 3728  df-dif 3771  df-un 3773  df-in 3775  df-ss 3782  df-pss 3784  df-nul 4115  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-uni 4628  df-iun 4711  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-tr 4945  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5897  df-ord 5943  df-on 5944  df-lim 5945  df-suc 5946  df-iota 6063  df-fun 6102  df-fn 6103  df-f 6104  df-f1 6105  df-fo 6106  df-f1o 6107  df-fv 6108  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-om 7299  df-1st 7400  df-2nd 7401  df-wrecs 7644  df-recs 7706  df-rdg 7744  df-er 7981  df-en 8195  df-dom 8196  df-sdom 8197  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10557  df-neg 10558  df-nn 11312  df-n0 11578  df-z 11664  df-uz 11928  df-fz 12578  df-fzo 12718

This theorem is referenced by:  elfzo0z  12762  nn0p1elfzo  12763  elfzo0le  12764  fzonmapblen  12766  fzofzim  12767  fzo1fzo0n0  12771  ubmelfzo  12785  elfzodifsumelfzo  12786  elfzonlteqm1  12796  fzonn0p1  12797  fzonn0p1p1  12799  elfzom1p1elfzo  12800  elfzo0l  12810  ubmelm1fzo  12816  elfznelfzo  12825  subfzo0  12842  zmodidfzoimp  12952  modfzo0difsn  12994  modsumfzodifsn  12995  addmodlteq  12997  ccatalpha  13610  ccat2s1fvw  13659  swrdswrd  13745  wrdeqs1catOLD  13771  swrdccatin1  13782  swrdccatin12lem3  13791  repswswrd  13861  cshwidxmod  13885  cshwidxmodr  13886  cshwidx0  13888  cshwidxm1  13889  cshf1  13892  2cshw  13895  cshweqrep  13903  cshw1  13904  cshco  13918  swrds2  14022  pfx2  14029  2swrd2eqwrdeq  14035  2swrd2eqwrdeqOLD  14036  wwlktovf  14039  addmodlteqALT  15383  smueqlem  15544  hashgcdlem  15823  prmgaplem3  16087  cshwshashlem2  16128  psgnunilem5  18223  psgnunilem5OLD  18224  psgnunilem2  18225  psgnunilem3  18226  psgnunilem4  18227  usgr2pthlem  27010  uspgrn2crct  27052  crctcshwlkn0lem4  27057  crctcshwlkn0lem5  27058  crctcshwlkn0  27065  wwlksnredwwlkn  27158  wwlksnredwwlknOLD  27159  clwlkclwwlklem2fv2  27282  clwlkclwwlklem2a4  27283  clwlkclwwlklem2a  27284  clwwisshclwwslemlem  27308  clwwlkel  27348  wwlksext2clwwlk  27366  wwlksext2clwwlkOLD  27367  umgr2cwwkdifex  27376  clwwlknonex2lem2  27441  upgr3v3e3cycl  27517  upgr4cycl4dv4e  27522  eucrctshift  27581  eucrct2eupthOLD  27584  eucrct2eupth  27585  fiblem  30970  fib1  30972  fibp1  30973  signstfveq0  31166  signstfveq0OLD  31167  poimirlem17  33908  poimirlem20  33911  subsubelfzo0  42165  iccpartigtl  42188  lswn0  42209  bgoldbtbndlem4  42467