Theorem elfzo0 13604

Description: Membership in a half-open integer range based at 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzo0	⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))

Proof of Theorem elfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13567	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘0))
2		elnn0uz 12781	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘0))
3	1, 2	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0)
4		elfzolt3b 13575	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 0 ∈ (0..^𝐵))
5		lbfzo0 13603	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐵) ↔ 𝐵 ∈ ℕ)
6	4, 5	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)
7		elfzolt2 13572	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
8	3, 6, 7	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))
9		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0)
10	9, 2	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘0))
11		nnz 12498	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
12	11	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
13		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
14		elfzo2 13566	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵))
15	10, 12, 13, 14	syl3anbrc 1344	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (0..^𝐵))
16	8, 15	impbii 209	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  0cc0 11015   < clt 11155  ℕcn 12134  ℕ₀cn0 12390  ℤcz 12477  ℤ_≥cuz 12740  ..^cfzo 13558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-fz 13412  df-fzo 13559

This theorem is referenced by:  elfzo0z  13605  nn0p1elfzo  13606  elfzo0le  13607  fzonmapblen  13612  fzofzim  13613  fzo1fzo0n0  13619  ubmelfzo  13634  elfzodifsumelfzo  13635  elfzonlteqm1  13645  fzonn0p1  13646  fzonn0p1p1  13648  elfzo0l  13660  ubmelm1fzo  13667  elfznelfzo  13677  subfzo0  13696  fvf1tp  13697  zmodidfzoimp  13809  modfzo0difsn  13854  modsumfzodifsn  13855  addmodlteq  13857  tpf1ofv1  14408  tpf1ofv2  14409  tpfo  14411  ccatalpha  14505  ccat2s1fvw  14550  swrdswrd  14616  swrdccatin1  14636  pfxccatin12lem3  14643  repswswrd  14695  cshwidxmod  14714  cshwidxmodr  14715  cshwidx0  14717  cshwidxm1  14718  cshf1  14721  2cshw  14724  cshweqrep  14732  cshw1  14733  cshco  14747  swrds2  14851  pfx2  14858  2swrd2eqwrdeq  14864  wwlktovf  14867  addmodlteqALT  16240  smueqlem  16405  hashgcdlem  16703  prmgaplem3  16969  cshwshashlem2  17012  psgnunilem5  19410  psgnunilem2  19411  psgnunilem3  19412  psgnunilem4  19413  psdmul  22084  usgr2pthlem  29745  uspgrn2crct  29790  crctcshwlkn0lem4  29795  crctcshwlkn0lem5  29796  crctcshwlkn0  29803  wwlksnredwwlkn  29877  clwlkclwwlklem2fv2  29980  clwlkclwwlklem2a4  29981  clwlkclwwlklem2a  29982  clwwisshclwwslemlem  29997  clwwlkel  30030  wwlksext2clwwlk  30041  umgr2cwwkdifex  30049  clwwlknonex2lem2  30092  upgr3v3e3cycl  30164  upgr4cycl4dv4e  30169  eucrctshift  30227  eucrct2eupth  30229  cshwrnid  32951  fzo0pmtrlast  33070  wrdpmtrlast  33071  1arithidomlem1  33509  1arithidomlem2  33510  1arithidom  33511  fiblem  34434  fib1  34436  fibp1  34437  signstfveq0  34613  lpadleft  34719  poimirlem17  37700  poimirlem20  37703  subsubelfzo0  47453  plusmod5ne  47472  submodlt  47477  modm1p1ne  47497  iccpartigtl  47550  lswn0  47571  bgoldbtbndlem4  47935  gpgprismgriedgdmss  48179  gpgusgralem  48183  gpgvtxedg0  48190  gpgvtxedg1  48191  gpg3nbgrvtx0  48203  gpgprismgr4cycllem3  48224  gpg5edgnedg  48257