Theorem elfzo0 13839

Description: Membership in a half-open integer range based at 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzo0	⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))

Proof of Theorem elfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13802	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘0))
2		elnn0uz 13010	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘0))
3	1, 2	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0)
4		elfzolt3b 13810	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 0 ∈ (0..^𝐵))
5		lbfzo0 13838	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐵) ↔ 𝐵 ∈ ℕ)
6	4, 5	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)
7		elfzolt2 13807	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
8	3, 6, 7	3jca 1146	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))
9		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0)
10	9, 2	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘0))
11		nnz 12718	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
12	11	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
13		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
14		elfzo2 13800	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵))
15	10, 12, 13, 14	syl3anbrc 1362	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (0..^𝐵))
16	8, 15	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  0cc0 11204   < clt 11347  ℕcn 12339  ℕ₀cn0 12610  ℤcz 12697  ℤ_≥cuz 12969  ..^cfzo 13792

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-fz 13644  df-fzo 13793

This theorem is used by:  elfzo0z  13840  nn0p1elfzo  13841  elfzo0le  13842  fzonmapblen  13847  fzofzim  13848  fzo1fzo0n0  13854  ubmelfzo  13869  elfzodifsumelfzo  13870  elfzonlteqm1  13880  fzonn0p1  13881  fzonn0p1p1  13883  elfzo0l  13895  ubmelm1fzo  13902  elfznelfzo  13912  subfzo0  13932  fvf1tp  13933  zmodidfzoimp  14045  modfzo0difsn  14090  modsumfzodifsn  14091  addmodlteq  14093  tpf1ofv1  14646  tpf1ofv2  14647  tpfo  14649  ccatalpha  14744  ccat2s1fvw  14791  swrdswrd  14859  swrdccatin1  14879  pfxccatin12lem3  14886  repswswrd  14940  cshwidxmod  14959  cshwidxmodr  14960  cshwidx0  14962  cshwidxm1  14963  cshf1  14966  2cshw  14969  cshweqrep  14977  cshw1  14978  cshco  14992  swrds2  15097  pfx2  15104  2swrd2eqwrdeq  15112  wwlktovf  15115  addmodlteqALT  16501  smueqlem  16666  hashgcdlem  16971  prmgaplem3  17237  cshwshashlem2  17280  psgnunilem5  19714  psgnunilem2  19715  psgnunilem3  19716  psgnunilem4  19717  psdmul  22493  usgr2pthlem  30355  uspgrn2crct  30403  crctcshwlkn0lem4  30408  crctcshwlkn0lem5  30409  crctcshwlkn0  30416  wwlksnredwwlkn  30490  clwlkclwwlklem2fv2  30593  clwlkclwwlklem2a4  30594  clwlkclwwlklem2a  30595  clwwisshclwwslemlem  30610  clwwlkel  30643  wwlksext2clwwlk  30654  umgr2cwwkdifex  30662  clwwlknonex2lem2  30705  upgr3v3e3cycl  30787  upgr4cycl4dv4e  30792  eucrctshift  30850  eucrct2eupth  30852  cshwrnid  33569  fzo0pmtrlast  33700  wrdpmtrlast  33701  1arithidomlem1  34114  1arithidomlem2  34115  1arithidom  34116  fiblem  35077  fib1  35079  fibp1  35080  signstfveq0  35253  lpadleft  35362  poimirlem17  38649  poimirlem20  38652  subsubelfzo0  48491  plusmod5ne  48515  submodlt  48520  modm1p1ne  48540  iccpartigtl  48599  lswn0  48620  bgoldbtbndlem4  49000  gpgprismgriedgdmss  49244  gpgusgralem  49248  gpgvtxedg0  49255  gpgvtxedg1  49256  gpg3nbgrvtx0  49268  gpgprismgr4cycllem3  49289  gpg5edgnedg  49322