MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzo0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzo0 13068
Description: Membership in a half-open integer range based at 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzo0 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))

Proof of Theorem elfzo0
StepHypRef Expression
1 elfzouz 13032 . . . 4 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ (ℤ‘0))
2 elnn0uz 12272 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘0))
31, 2sylibr 235 . . 3 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0)
4 elfzolt3b 13040 . . . 4 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 0 ∈ (0..^𝐵))
5 lbfzo0 13067 . . . 4 (0 ∈ (0..^𝐵) ↔ 𝐵 ∈ ℕ)
64, 5sylib 219 . . 3 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)
7 elfzolt2 13037 . . 3 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
83, 6, 73jca 1122 . 2 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))
9 simp1 1130 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0)
109, 2sylib 219 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (ℤ‘0))
11 nnz 11993 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
12113ad2ant2 1128 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
13 simp3 1132 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
14 elfzo2 13031 . . 3 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵))
1510, 12, 13, 14syl3anbrc 1337 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (0..^𝐵))
168, 15impbii 210 1 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  w3a 1081  wcel 2107   class class class wbr 5063  cfv 6352  (class class class)co 7148  0cc0 10526   < clt 10664  cn 11627  0cn0 11886  cz 11970  cuz 12232  ..^cfzo 13023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-fz 12883  df-fzo 13024
This theorem is referenced by:  elfzo0z  13069  nn0p1elfzo  13070  elfzo0le  13071  fzonmapblen  13073  fzofzim  13074  fzo1fzo0n0  13078  ubmelfzo  13092  elfzodifsumelfzo  13093  elfzonlteqm1  13103  fzonn0p1  13104  fzonn0p1p1  13106  elfzo0l  13117  ubmelm1fzo  13123  elfznelfzo  13132  subfzo0  13149  zmodidfzoimp  13259  modfzo0difsn  13301  modsumfzodifsn  13302  addmodlteq  13304  ccatalpha  13937  ccat2s1fvw  13988  ccat2s1fvwOLD  13989  swrdswrd  14057  swrdccatin1  14077  pfxccatin12lem3  14084  repswswrd  14136  cshwidxmod  14155  cshwidxmodr  14156  cshwidx0  14158  cshwidxm1  14159  cshf1  14162  2cshw  14165  cshweqrep  14173  cshw1  14174  cshco  14188  swrds2  14292  pfx2  14299  2swrd2eqwrdeq  14305  wwlktovf  14310  addmodlteqALT  15665  smueqlem  15829  hashgcdlem  16115  prmgaplem3  16379  cshwshashlem2  16420  psgnunilem5  18542  psgnunilem2  18543  psgnunilem3  18544  psgnunilem4  18545  usgr2pthlem  27458  uspgrn2crct  27500  crctcshwlkn0lem4  27505  crctcshwlkn0lem5  27506  crctcshwlkn0  27513  wwlksnredwwlkn  27587  clwlkclwwlklem2fv2  27688  clwlkclwwlklem2a4  27689  clwlkclwwlklem2a  27690  clwwisshclwwslemlem  27705  clwwlkel  27739  wwlksext2clwwlk  27750  umgr2cwwkdifex  27758  clwwlknonex2lem2  27801  upgr3v3e3cycl  27873  upgr4cycl4dv4e  27878  eucrctshift  27936  eucrct2eupth  27938  cshwrnid  30549  fiblem  31542  fib1  31544  fibp1  31545  signstfveq0  31733  lpadleft  31840  poimirlem17  34776  poimirlem20  34779  subsubelfzo0  43392  iccpartigtl  43415  lswn0  43436  bgoldbtbndlem4  43805
  Copyright terms: Public domain W3C validator