Theorem elfzo0 13628

Description: Membership in a half-open integer range based at 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzo0	⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))

Proof of Theorem elfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13591	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘0))
2		elnn0uz 12804	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘0))
3	1, 2	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0)
4		elfzolt3b 13599	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 0 ∈ (0..^𝐵))
5		lbfzo0 13627	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐵) ↔ 𝐵 ∈ ℕ)
6	4, 5	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)
7		elfzolt2 13596	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
8	3, 6, 7	3jca 1129	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))
9		simp1 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0)
10	9, 2	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘0))
11		nnz 12521	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
12	11	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
13		simp3 1139	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
14		elfzo2 13590	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵))
15	10, 12, 13, 14	syl3anbrc 1345	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (0..^𝐵))
16	8, 15	impbii 209	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038   < clt 11178  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763  ..^cfzo 13582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583

This theorem is referenced by:  elfzo0z  13629  nn0p1elfzo  13630  elfzo0le  13631  fzonmapblen  13636  fzofzim  13637  fzo1fzo0n0  13643  ubmelfzo  13658  elfzodifsumelfzo  13659  elfzonlteqm1  13669  fzonn0p1  13670  fzonn0p1p1  13672  elfzo0l  13684  ubmelm1fzo  13691  elfznelfzo  13701  subfzo0  13720  fvf1tp  13721  zmodidfzoimp  13833  modfzo0difsn  13878  modsumfzodifsn  13879  addmodlteq  13881  tpf1ofv1  14432  tpf1ofv2  14433  tpfo  14435  ccatalpha  14529  ccat2s1fvw  14574  swrdswrd  14640  swrdccatin1  14660  pfxccatin12lem3  14667  repswswrd  14719  cshwidxmod  14738  cshwidxmodr  14739  cshwidx0  14741  cshwidxm1  14742  cshf1  14745  2cshw  14748  cshweqrep  14756  cshw1  14757  cshco  14771  swrds2  14875  pfx2  14882  2swrd2eqwrdeq  14888  wwlktovf  14891  addmodlteqALT  16264  smueqlem  16429  hashgcdlem  16727  prmgaplem3  16993  cshwshashlem2  17036  psgnunilem5  19435  psgnunilem2  19436  psgnunilem3  19437  psgnunilem4  19438  psdmul  22121  usgr2pthlem  29848  uspgrn2crct  29893  crctcshwlkn0lem4  29898  crctcshwlkn0lem5  29899  crctcshwlkn0  29906  wwlksnredwwlkn  29980  clwlkclwwlklem2fv2  30083  clwlkclwwlklem2a4  30084  clwlkclwwlklem2a  30085  clwwisshclwwslemlem  30100  clwwlkel  30133  wwlksext2clwwlk  30144  umgr2cwwkdifex  30152  clwwlknonex2lem2  30195  upgr3v3e3cycl  30267  upgr4cycl4dv4e  30272  eucrctshift  30330  eucrct2eupth  30332  cshwrnid  33053  fzo0pmtrlast  33185  wrdpmtrlast  33186  1arithidomlem1  33627  1arithidomlem2  33628  1arithidom  33629  fiblem  34575  fib1  34577  fibp1  34578  signstfveq0  34754  lpadleft  34860  poimirlem17  37885  poimirlem20  37888  subsubelfzo0  47683  plusmod5ne  47702  submodlt  47707  modm1p1ne  47727  iccpartigtl  47780  lswn0  47801  bgoldbtbndlem4  48165  gpgprismgriedgdmss  48409  gpgusgralem  48413  gpgvtxedg0  48420  gpgvtxedg1  48421  gpg3nbgrvtx0  48433  gpgprismgr4cycllem3  48454  gpg5edgnedg  48487