Theorem elfzo0 13621

Description: Membership in a half-open integer range based at 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzo0	⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))

Proof of Theorem elfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13584	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘0))
2		elnn0uz 12798	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘0))
3	1, 2	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0)
4		elfzolt3b 13592	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 0 ∈ (0..^𝐵))
5		lbfzo0 13620	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐵) ↔ 𝐵 ∈ ℕ)
6	4, 5	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)
7		elfzolt2 13589	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
8	3, 6, 7	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))
9		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0)
10	9, 2	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘0))
11		nnz 12510	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
12	11	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
13		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
14		elfzo2 13583	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵))
15	10, 12, 13, 14	syl3anbrc 1344	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (0..^𝐵))
16	8, 15	impbii 209	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  0cc0 11028   < clt 11168  ℕcn 12146  ℕ₀cn0 12402  ℤcz 12489  ℤ_≥cuz 12753  ..^cfzo 13575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576

This theorem is referenced by:  elfzo0z  13622  nn0p1elfzo  13623  elfzo0le  13624  fzonmapblen  13629  fzofzim  13630  fzo1fzo0n0  13636  ubmelfzo  13651  elfzodifsumelfzo  13652  elfzonlteqm1  13662  fzonn0p1  13663  fzonn0p1p1  13665  elfzo0l  13677  ubmelm1fzo  13684  elfznelfzo  13693  subfzo0  13710  fvf1tp  13711  zmodidfzoimp  13823  modfzo0difsn  13868  modsumfzodifsn  13869  addmodlteq  13871  tpf1ofv1  14422  tpf1ofv2  14423  tpfo  14425  ccatalpha  14518  ccat2s1fvw  14563  swrdswrd  14629  swrdccatin1  14649  pfxccatin12lem3  14656  repswswrd  14708  cshwidxmod  14727  cshwidxmodr  14728  cshwidx0  14730  cshwidxm1  14731  cshf1  14734  2cshw  14737  cshweqrep  14745  cshw1  14746  cshco  14761  swrds2  14865  pfx2  14872  2swrd2eqwrdeq  14878  wwlktovf  14881  addmodlteqALT  16254  smueqlem  16419  hashgcdlem  16717  prmgaplem3  16983  cshwshashlem2  17026  psgnunilem5  19391  psgnunilem2  19392  psgnunilem3  19393  psgnunilem4  19394  psdmul  22069  usgr2pthlem  29726  uspgrn2crct  29771  crctcshwlkn0lem4  29776  crctcshwlkn0lem5  29777  crctcshwlkn0  29784  wwlksnredwwlkn  29858  clwlkclwwlklem2fv2  29958  clwlkclwwlklem2a4  29959  clwlkclwwlklem2a  29960  clwwisshclwwslemlem  29975  clwwlkel  30008  wwlksext2clwwlk  30019  umgr2cwwkdifex  30027  clwwlknonex2lem2  30070  upgr3v3e3cycl  30142  upgr4cycl4dv4e  30147  eucrctshift  30205  eucrct2eupth  30207  cshwrnid  32916  fzo0pmtrlast  33047  wrdpmtrlast  33048  1arithidomlem1  33485  1arithidomlem2  33486  1arithidom  33487  fiblem  34368  fib1  34370  fibp1  34371  signstfveq0  34547  lpadleft  34653  poimirlem17  37619  poimirlem20  37622  subsubelfzo0  47314  plusmod5ne  47333  submodlt  47338  modm1p1ne  47358  iccpartigtl  47411  lswn0  47432  bgoldbtbndlem4  47796  gpgprismgriedgdmss  48040  gpgusgralem  48044  gpgvtxedg0  48051  gpgvtxedg1  48052  gpg3nbgrvtx0  48064  gpgprismgr4cycllem3  48085  gpg5edgnedg  48118