Theorem elfzo0 13748

Description: Membership in a half-open integer range based at 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzo0	⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))

Proof of Theorem elfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13711	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘0))
2		elnn0uz 12921	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘0))
3	1, 2	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0)
4		elfzolt3b 13719	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 0 ∈ (0..^𝐵))
5		lbfzo0 13747	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐵) ↔ 𝐵 ∈ ℕ)
6	4, 5	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)
7		elfzolt2 13716	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
8	3, 6, 7	3jca 1146	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))
9		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0)
10	9, 2	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘0))
11		nnz 12630	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
12	11	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
13		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
14		elfzo2 13709	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵))
15	10, 12, 13, 14	syl3anbrc 1362	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (0..^𝐵))
16	8, 15	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  0cc0 11118   < clt 11261  ℕcn 12251  ℕ₀cn0 12522  ℤcz 12609  ℤ_≥cuz 12880  ..^cfzo 13701

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702

This theorem is used by:  elfzo0z  13749  nn0p1elfzo  13750  elfzo0le  13751  fzonmapblen  13756  fzofzim  13757  fzo1fzo0n0  13763  ubmelfzo  13778  elfzodifsumelfzo  13779  elfzonlteqm1  13789  fzonn0p1  13790  fzonn0p1p1  13792  elfzo0l  13804  ubmelm1fzo  13811  elfznelfzo  13821  subfzo0  13841  fvf1tp  13842  zmodidfzoimp  13954  modfzo0difsn  13999  modsumfzodifsn  14000  addmodlteq  14002  tpf1ofv1  14554  tpf1ofv2  14555  tpfo  14557  ccatalpha  14652  ccat2s1fvw  14698  swrdswrd  14766  swrdccatin1  14786  pfxccatin12lem3  14793  repswswrd  14847  cshwidxmod  14866  cshwidxmodr  14867  cshwidx0  14869  cshwidxm1  14870  cshf1  14873  2cshw  14876  cshweqrep  14884  cshw1  14885  cshco  14899  swrds2  15003  pfx2  15010  2swrd2eqwrdeq  15016  wwlktovf  15019  addmodlteqALT  16408  smueqlem  16573  hashgcdlem  16872  prmgaplem3  17138  cshwshashlem2  17181  psgnunilem5  19595  psgnunilem2  19596  psgnunilem3  19597  psgnunilem4  19598  psdmul  22366  usgr2pthlem  30149  uspgrn2crct  30194  crctcshwlkn0lem4  30199  crctcshwlkn0lem5  30200  crctcshwlkn0  30207  wwlksnredwwlkn  30281  clwlkclwwlklem2fv2  30384  clwlkclwwlklem2a4  30385  clwlkclwwlklem2a  30386  clwwisshclwwslemlem  30401  clwwlkel  30434  wwlksext2clwwlk  30445  umgr2cwwkdifex  30453  clwwlknonex2lem2  30496  upgr3v3e3cycl  30568  upgr4cycl4dv4e  30573  eucrctshift  30631  eucrct2eupth  30633  cshwrnid  33312  fzo0pmtrlast  33443  wrdpmtrlast  33444  1arithidomlem1  33856  1arithidomlem2  33857  1arithidom  33858  fiblem  34820  fib1  34822  fibp1  34823  signstfveq0  34996  lpadleft  35105  poimirlem17  38329  poimirlem20  38332  subsubelfzo0  48105  plusmod5ne  48129  submodlt  48134  modm1p1ne  48154  iccpartigtl  48213  lswn0  48234  bgoldbtbndlem4  48614  gpgprismgriedgdmss  48858  gpgusgralem  48862  gpgvtxedg0  48869  gpgvtxedg1  48870  gpg3nbgrvtx0  48882  gpgprismgr4cycllem3  48903  gpg5edgnedg  48936