Theorem elfzo0 13717

Description: Membership in a half-open integer range based at 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzo0	⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))

Proof of Theorem elfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13680	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘0))
2		elnn0uz 12897	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘0))
3	1, 2	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0)
4		elfzolt3b 13688	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 0 ∈ (0..^𝐵))
5		lbfzo0 13716	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐵) ↔ 𝐵 ∈ ℕ)
6	4, 5	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)
7		elfzolt2 13685	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
8	3, 6, 7	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))
9		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0)
10	9, 2	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘0))
11		nnz 12609	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
12	11	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
13		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
14		elfzo2 13679	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵))
15	10, 12, 13, 14	syl3anbrc 1344	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (0..^𝐵))
16	8, 15	impbii 209	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  0cc0 11129   < clt 11269  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12501  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852  ..^cfzo 13671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672

This theorem is referenced by:  elfzo0z  13718  nn0p1elfzo  13719  elfzo0le  13720  fzonmapblen  13725  fzofzim  13726  fzo1fzo0n0  13731  ubmelfzo  13746  elfzodifsumelfzo  13747  elfzonlteqm1  13757  fzonn0p1  13758  fzonn0p1p1  13760  elfzo0l  13772  ubmelm1fzo  13779  elfznelfzo  13788  subfzo0  13805  fvf1tp  13806  zmodidfzoimp  13918  modfzo0difsn  13961  modsumfzodifsn  13962  addmodlteq  13964  tpf1ofv1  14515  tpf1ofv2  14516  tpfo  14518  ccatalpha  14611  ccat2s1fvw  14656  swrdswrd  14723  swrdccatin1  14743  pfxccatin12lem3  14750  repswswrd  14802  cshwidxmod  14821  cshwidxmodr  14822  cshwidx0  14824  cshwidxm1  14825  cshf1  14828  2cshw  14831  cshweqrep  14839  cshw1  14840  cshco  14855  swrds2  14959  pfx2  14966  2swrd2eqwrdeq  14972  wwlktovf  14975  addmodlteqALT  16344  smueqlem  16509  hashgcdlem  16807  prmgaplem3  17073  cshwshashlem2  17116  psgnunilem5  19475  psgnunilem2  19476  psgnunilem3  19477  psgnunilem4  19478  psdmul  22104  usgr2pthlem  29745  uspgrn2crct  29790  crctcshwlkn0lem4  29795  crctcshwlkn0lem5  29796  crctcshwlkn0  29803  wwlksnredwwlkn  29877  clwlkclwwlklem2fv2  29977  clwlkclwwlklem2a4  29978  clwlkclwwlklem2a  29979  clwwisshclwwslemlem  29994  clwwlkel  30027  wwlksext2clwwlk  30038  umgr2cwwkdifex  30046  clwwlknonex2lem2  30089  upgr3v3e3cycl  30161  upgr4cycl4dv4e  30166  eucrctshift  30224  eucrct2eupth  30226  cshwrnid  32937  fzo0pmtrlast  33103  wrdpmtrlast  33104  1arithidomlem1  33550  1arithidomlem2  33551  1arithidom  33552  fiblem  34430  fib1  34432  fibp1  34433  signstfveq0  34609  lpadleft  34715  poimirlem17  37661  poimirlem20  37664  subsubelfzo0  47355  plusmod5ne  47374  submodlt  47379  iccpartigtl  47437  lswn0  47458  bgoldbtbndlem4  47822  gpgprismgriedgdmss  48056  gpgusgralem  48060  gpgvtxedg0  48067  gpgvtxedg1  48068  gpg3nbgrvtx0  48078  gpgprismgr4cycllem3  48096