Theorem elfzo0 13731

Description: Membership in a half-open integer range based at 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzo0	⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))

Proof of Theorem elfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13694	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘0))
2		elnn0uz 12904	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘0))
3	1, 2	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0)
4		elfzolt3b 13702	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 0 ∈ (0..^𝐵))
5		lbfzo0 13730	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐵) ↔ 𝐵 ∈ ℕ)
6	4, 5	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)
7		elfzolt2 13699	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
8	3, 6, 7	3jca 1146	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))
9		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0)
10	9, 2	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘0))
11		nnz 12613	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
12	11	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
13		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
14		elfzo2 13692	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵))
15	10, 12, 13, 14	syl3anbrc 1362	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (0..^𝐵))
16	8, 15	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  0cc0 11101   < clt 11244  ℕcn 12234  ℕ₀cn0 12505  ℤcz 12592  ℤ_≥cuz 12863  ..^cfzo 13684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685

This theorem is referenced by:  elfzo0z  13732  nn0p1elfzo  13733  elfzo0le  13734  fzonmapblen  13739  fzofzim  13740  fzo1fzo0n0  13746  ubmelfzo  13761  elfzodifsumelfzo  13762  elfzonlteqm1  13772  fzonn0p1  13773  fzonn0p1p1  13775  elfzo0l  13787  ubmelm1fzo  13794  elfznelfzo  13804  subfzo0  13823  fvf1tp  13824  zmodidfzoimp  13936  modfzo0difsn  13981  modsumfzodifsn  13982  addmodlteq  13984  tpf1ofv1  14536  tpf1ofv2  14537  tpfo  14539  ccatalpha  14633  ccat2s1fvw  14678  swrdswrd  14744  swrdccatin1  14764  pfxccatin12lem3  14771  repswswrd  14823  cshwidxmod  14842  cshwidxmodr  14843  cshwidx0  14845  cshwidxm1  14846  cshf1  14849  2cshw  14852  cshweqrep  14860  cshw1  14861  cshco  14875  swrds2  14979  pfx2  14986  2swrd2eqwrdeq  14992  wwlktovf  14995  addmodlteqALT  16384  smueqlem  16549  hashgcdlem  16848  prmgaplem3  17114  cshwshashlem2  17157  psgnunilem5  19565  psgnunilem2  19566  psgnunilem3  19567  psgnunilem4  19568  psdmul  22310  usgr2pthlem  30093  uspgrn2crct  30138  crctcshwlkn0lem4  30143  crctcshwlkn0lem5  30144  crctcshwlkn0  30151  wwlksnredwwlkn  30225  clwlkclwwlklem2fv2  30328  clwlkclwwlklem2a4  30329  clwlkclwwlklem2a  30330  clwwisshclwwslemlem  30345  clwwlkel  30378  wwlksext2clwwlk  30389  umgr2cwwkdifex  30397  clwwlknonex2lem2  30440  upgr3v3e3cycl  30512  upgr4cycl4dv4e  30517  eucrctshift  30575  eucrct2eupth  30577  cshwrnid  33262  fzo0pmtrlast  33393  wrdpmtrlast  33394  1arithidomlem1  33806  1arithidomlem2  33807  1arithidom  33808  fiblem  34769  fib1  34771  fibp1  34772  signstfveq0  34945  lpadleft  35054  poimirlem17  38269  poimirlem20  38272  subsubelfzo0  48047  plusmod5ne  48071  submodlt  48076  modm1p1ne  48096  iccpartigtl  48155  lswn0  48176  bgoldbtbndlem4  48556  gpgprismgriedgdmss  48800  gpgusgralem  48804  gpgvtxedg0  48811  gpgvtxedg1  48812  gpg3nbgrvtx0  48824  gpgprismgr4cycllem3  48845  gpg5edgnedg  48878