Theorem elfzo0 13717

Description: Membership in a half-open integer range based at 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzo0	⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))

Proof of Theorem elfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13680	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘0))
2		elnn0uz 12891	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘0))
3	1, 2	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0)
4		elfzolt3b 13688	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 0 ∈ (0..^𝐵))
5		lbfzo0 13716	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐵) ↔ 𝐵 ∈ ℕ)
6	4, 5	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)
7		elfzolt2 13685	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
8	3, 6, 7	3jca 1144	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))
9		simp1 1152	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0)
10	9, 2	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘0))
11		nnz 12600	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
12	11	3ad2ant2 1150	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
13		simp3 1154	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
14		elfzo2 13678	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵))
15	10, 12, 13, 14	syl3anbrc 1360	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (0..^𝐵))
16	8, 15	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5104  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  0cc0 11088   < clt 11231  ℕcn 12221  ℕ₀cn0 12492  ℤcz 12579  ℤ_≥cuz 12850  ..^cfzo 13670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-fz 13524  df-fzo 13671

This theorem is referenced by:  elfzo0z  13718  nn0p1elfzo  13719  elfzo0le  13720  fzonmapblen  13725  fzofzim  13726  fzo1fzo0n0  13732  ubmelfzo  13747  elfzodifsumelfzo  13748  elfzonlteqm1  13758  fzonn0p1  13759  fzonn0p1p1  13761  elfzo0l  13773  ubmelm1fzo  13780  elfznelfzo  13790  subfzo0  13809  fvf1tp  13810  zmodidfzoimp  13922  modfzo0difsn  13967  modsumfzodifsn  13968  addmodlteq  13970  tpf1ofv1  14522  tpf1ofv2  14523  tpfo  14525  ccatalpha  14619  ccat2s1fvw  14664  swrdswrd  14730  swrdccatin1  14750  pfxccatin12lem3  14757  repswswrd  14809  cshwidxmod  14828  cshwidxmodr  14829  cshwidx0  14831  cshwidxm1  14832  cshf1  14835  2cshw  14838  cshweqrep  14846  cshw1  14847  cshco  14861  swrds2  14965  pfx2  14972  2swrd2eqwrdeq  14978  wwlktovf  14981  addmodlteqALT  16371  smueqlem  16536  hashgcdlem  16835  prmgaplem3  17101  cshwshashlem2  17144  psgnunilem5  19552  psgnunilem2  19553  psgnunilem3  19554  psgnunilem4  19555  psdmul  22286  usgr2pthlem  30017  uspgrn2crct  30062  crctcshwlkn0lem4  30067  crctcshwlkn0lem5  30068  crctcshwlkn0  30075  wwlksnredwwlkn  30149  clwlkclwwlklem2fv2  30252  clwlkclwwlklem2a4  30253  clwlkclwwlklem2a  30254  clwwisshclwwslemlem  30269  clwwlkel  30302  wwlksext2clwwlk  30313  umgr2cwwkdifex  30321  clwwlknonex2lem2  30364  upgr3v3e3cycl  30436  upgr4cycl4dv4e  30441  eucrctshift  30499  eucrct2eupth  30501  cshwrnid  33189  fzo0pmtrlast  33320  wrdpmtrlast  33321  1arithidomlem1  33737  1arithidomlem2  33738  1arithidom  33739  fiblem  34700  fib1  34702  fibp1  34703  signstfveq0  34876  lpadleft  34985  poimirlem17  38143  poimirlem20  38146  subsubelfzo0  47920  plusmod5ne  47944  submodlt  47949  modm1p1ne  47969  iccpartigtl  48028  lswn0  48049  bgoldbtbndlem4  48429  gpgprismgriedgdmss  48673  gpgusgralem  48677  gpgvtxedg0  48684  gpgvtxedg1  48685  gpg3nbgrvtx0  48697  gpgprismgr4cycllem3  48718  gpg5edgnedg  48751