Theorem ttgelitv 29243

Description: Betweenness for a subcomplex Hilbert space augmented with betweenness. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ttgval.n	⊢ 𝐺 = (toTG‘𝐻)
ttgitvval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ttgitvval.b	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐻)
ttgitvval.m	⊢ − = (-g‘𝐻)
ttgitvval.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐻)
ttgelitv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
ttgelitv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
ttgelitv.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑉)
ttgelitv.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ttgelitv	⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑍 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋))))

Distinct variable groups:   − ,𝑘   𝑘,𝐻   𝑃,𝑘   𝑘,𝑉   𝑘,𝑋   𝑘,𝑌   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   · (𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐼(𝑘)

Proof of Theorem ttgelitv

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ttgelitv.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
2		ttgelitv.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑉)
3		ttgelitv.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
4		ttgelitv.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
5		ttgval.n	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (toTG‘𝐻)
6		ttgitvval.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
7		ttgitvval.b	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐻)
8		ttgitvval.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝐻)
9		ttgitvval.s	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐻)
10	5, 6, 7, 8, 9	ttgitvval 29242	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋𝐼𝑌) = {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋))})
11	2, 3, 4, 10	syl3anc 1397	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) = {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋))})
12	11	eleq2d 2848	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝑍 ∈ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋))}))
13		oveq1 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑧 − 𝑋) = (𝑍 − 𝑋))
14	13	eqeq1d 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → ((𝑧 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋)) ↔ (𝑍 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋))))
15	14	rexbidv 3188	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋)) ↔ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑍 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋))))
16	15	elrab 3649	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋))} ↔ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑍 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋))))
17	12, 16	bitrdi 290	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑍 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋)))))
18	1, 17	mpbirand 719	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑍 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∃wrex 3088  {crab 3415  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  0cc0 11106  1c1 11107  [,]cicc 13381  Basecbs 17275   ·_𝑠 cvsca 17320  -_gcsg 19008  Itvcitv 28713  toTGcttg 29233

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-dec 12718  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-itv 28715  df-lng 28716  df-ttg 29234

This theorem is used by:  ttgbtwnid  29244  ttgcontlem1  29245