Theorem ttgelitv 28002

Description: Betweenness for a subcomplex Hilbert space augmented with betweenness. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ttgval.n	⊢ 𝐺 = (toTG‘𝐻)
ttgitvval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ttgitvval.b	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐻)
ttgitvval.m	⊢ − = (-g‘𝐻)
ttgitvval.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐻)
ttgelitv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
ttgelitv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
ttgelitv.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑉)
ttgelitv.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ttgelitv	⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑍 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋))))

Distinct variable groups:   − ,𝑘   𝑘,𝐻   𝑃,𝑘   𝑘,𝑉   𝑘,𝑋   𝑘,𝑌   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   · (𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐼(𝑘)

Proof of Theorem ttgelitv

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ttgelitv.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
2		ttgelitv.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑉)
3		ttgelitv.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
4		ttgelitv.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
5		ttgval.n	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (toTG‘𝐻)
6		ttgitvval.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
7		ttgitvval.b	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐻)
8		ttgitvval.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝐻)
9		ttgitvval.s	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐻)
10	5, 6, 7, 8, 9	ttgitvval 28001	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋𝐼𝑌) = {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋))})
11	2, 3, 4, 10	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) = {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋))})
12	11	eleq2d 2818	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝑍 ∈ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋))}))
13		oveq1 7399	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑧 − 𝑋) = (𝑍 − 𝑋))
14	13	eqeq1d 2733	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → ((𝑧 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋)) ↔ (𝑍 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋))))
15	14	rexbidv 3177	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋)) ↔ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑍 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋))))
16	15	elrab 3678	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋))} ↔ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑍 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋))))
17	12, 16	bitrdi 286	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑍 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋)))))
18	1, 17	mpbirand 705	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑍 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3069  {crab 3431  ‘cfv 6531  (class class class)co 7392  0cc0 11091  1c1 11092  [,]cicc 13308  Basecbs 17125   ·_𝑠 cvsca 17182  -_gcsg 18795  Itvcitv 27546  toTGcttg 27986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5277  ax-sep 5291  ax-nul 5298  ax-pow 5355  ax-pr 5419  ax-un 7707  ax-cnex 11147  ax-resscn 11148  ax-1cn 11149  ax-icn 11150  ax-addcl 11151  ax-addrcl 11152  ax-mulcl 11153  ax-mulrcl 11154  ax-mulcom 11155  ax-addass 11156  ax-mulass 11157  ax-distr 11158  ax-i2m1 11159  ax-1ne0 11160  ax-1rid 11161  ax-rnegex 11162  ax-rrecex 11163  ax-cnre 11164  ax-pre-lttri 11165  ax-pre-lttrn 11166  ax-pre-ltadd 11167  ax-pre-mulgt0 11168

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3474  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4991  df-br 5141  df-opab 5203  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5566  df-eprel 5572  df-po 5580  df-so 5581  df-fr 5623  df-we 5625  df-xp 5674  df-rel 5675  df-cnv 5676  df-co 5677  df-dm 5678  df-rn 5679  df-res 5680  df-ima 5681  df-pred 6288  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7348  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7838  df-1st 7956  df-2nd 7957  df-frecs 8247  df-wrecs 8278  df-recs 8352  df-rdg 8391  df-er 8685  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11231  df-mnf 11232  df-xr 11233  df-ltxr 11234  df-le 11235  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12454  df-dec 12659  df-sets 17078  df-slot 17096  df-ndx 17108  df-itv 27548  df-lng 27549  df-ttg 27987

This theorem is referenced by:  ttgbtwnid  28003  ttgcontlem1  28004