Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttgitvval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ttgitvval 26674
 Description: Betweenness for a subcomplex Hilbert space augmented with betweenness. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ttgval.n 𝐺 = (toTG‘𝐻)
ttgitvval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ttgitvval.b 𝑃 = (Base‘𝐻)
ttgitvval.m = (-g𝐻)
ttgitvval.s · = ( ·𝑠𝐻)
Assertion
Ref Expression
ttgitvval ((𝐻𝑉𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋𝐼𝑌) = {𝑧𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 𝑋))})
Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,   𝑧, ·   𝑘,𝐻,𝑧   𝑃,𝑘,𝑧   𝑘,𝑉,𝑧   𝑘,𝑋,𝑧   𝑘,𝑌,𝑧
Allowed substitution hints:   · (𝑘)   𝐺(𝑧,𝑘)   𝐼(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem ttgitvval
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ttgval.n . . . . 5 𝐺 = (toTG‘𝐻)
2 ttgitvval.b . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐻)
3 ttgitvval.m . . . . 5 = (-g𝐻)
4 ttgitvval.s . . . . 5 · = ( ·𝑠𝐻)
5 ttgitvval.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
61, 2, 3, 4, 5ttgval 26667 . . . 4 (𝐻𝑉 → (𝐺 = ((𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥𝑃, 𝑦𝑃 ↦ {𝑧𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 𝑥))})⟩) sSet ⟨(LineG‘ndx), (𝑥𝑃, 𝑦𝑃 ↦ {𝑧𝑃 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))})⟩) ∧ 𝐼 = (𝑥𝑃, 𝑦𝑃 ↦ {𝑧𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 𝑥))})))
76simprd 499 . . 3 (𝐻𝑉𝐼 = (𝑥𝑃, 𝑦𝑃 ↦ {𝑧𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 𝑥))}))
873ad2ant1 1130 . 2 ((𝐻𝑉𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝐼 = (𝑥𝑃, 𝑦𝑃 ↦ {𝑧𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 𝑥))}))
9 simprl 770 . . . . . 6 (((𝐻𝑉𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌)) → 𝑥 = 𝑋)
109oveq2d 7156 . . . . 5 (((𝐻𝑉𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌)) → (𝑧 𝑥) = (𝑧 𝑋))
11 simprr 772 . . . . . . 7 (((𝐻𝑉𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌)) → 𝑦 = 𝑌)
1211, 9oveq12d 7158 . . . . . 6 (((𝐻𝑉𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌)) → (𝑦 𝑥) = (𝑌 𝑋))
1312oveq2d 7156 . . . . 5 (((𝐻𝑉𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌)) → (𝑘 · (𝑦 𝑥)) = (𝑘 · (𝑌 𝑋)))
1410, 13eqeq12d 2838 . . . 4 (((𝐻𝑉𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌)) → ((𝑧 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 𝑥)) ↔ (𝑧 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 𝑋))))
1514rexbidv 3283 . . 3 (((𝐻𝑉𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌)) → (∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 𝑥)) ↔ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 𝑋))))
1615rabbidv 3455 . 2 (((𝐻𝑉𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌)) → {𝑧𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 𝑥))} = {𝑧𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 𝑋))})
17 simp2 1134 . 2 ((𝐻𝑉𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝑋𝑃)
18 simp3 1135 . 2 ((𝐻𝑉𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝑌𝑃)
192fvexi 6666 . . . 4 𝑃 ∈ V
2019rabex 5211 . . 3 {𝑧𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 𝑋))} ∈ V
2120a1i 11 . 2 ((𝐻𝑉𝑋𝑃𝑌𝑃) → {𝑧𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 𝑋))} ∈ V)
228, 16, 17, 18, 21ovmpod 7286 1 ((𝐻𝑉𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋𝐼𝑌) = {𝑧𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 𝑋))})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ w3o 1083   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3131  {crab 3134  Vcvv 3469  ⟨cop 4545  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140   ∈ cmpo 7142  0cc0 10526  1c1 10527  [,]cicc 12729  ndxcnx 16471   sSet csts 16472  Basecbs 16474   ·𝑠 cvsca 16560  -gcsg 18096  Itvcitv 26228  LineGclng 26229  toTGcttg 26665 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-dec 12087  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-sets 16481  df-itv 26230  df-lng 26231  df-ttg 26666 This theorem is referenced by:  ttgelitv  26675
 Copyright terms: Public domain W3C validator