Theorem ttgitvval 26668

Description: Betweenness for a subcomplex Hilbert space augmented with betweenness. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ttgval.n	⊢ 𝐺 = (toTG‘𝐻)
ttgitvval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ttgitvval.b	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐻)
ttgitvval.m	⊢ − = (-g‘𝐻)
ttgitvval.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
ttgitvval	⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋𝐼𝑌) = {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋))})

Distinct variable groups:   𝑧,𝑘, −   𝑧, ·   𝑘,𝐻,𝑧   𝑃,𝑘,𝑧   𝑘,𝑉,𝑧   𝑘,𝑋,𝑧   𝑘,𝑌,𝑧

Allowed substitution hints:   · (𝑘)   𝐺(𝑧,𝑘)   𝐼(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem ttgitvval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ttgval.n	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (toTG‘𝐻)
2		ttgitvval.b	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐻)
3		ttgitvval.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐻)
4		ttgitvval.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐻)
5		ttgitvval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6	1, 2, 3, 4, 5	ttgval 26661	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ 𝑉 → (𝐺 = ((𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ 𝑃 ↦ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})⟩) sSet ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ 𝑃 ↦ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))})⟩) ∧ 𝐼 = (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ 𝑃 ↦ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})))
7	6	simprd 498	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ 𝑉 → 𝐼 = (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ 𝑃 ↦ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))}))
8	7	3ad2ant1 1129	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝐼 = (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ 𝑃 ↦ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))}))
9		simprl 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → 𝑥 = 𝑋)
10	9	oveq2d 7172	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → (𝑧 − 𝑥) = (𝑧 − 𝑋))
11		simprr 771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → 𝑦 = 𝑌)
12	11, 9	oveq12d 7174	. . . . . 6 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → (𝑦 − 𝑥) = (𝑌 − 𝑋))
13	12	oveq2d 7172	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → (𝑘 · (𝑦 − 𝑥)) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋)))
14	10, 13	eqeq12d 2837	. . . 4 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → ((𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥)) ↔ (𝑧 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋))))
15	14	rexbidv 3297	. . 3 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → (∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥)) ↔ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋))))
16	15	rabbidv 3480	. 2 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))} = {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋))})
17		simp2 1133	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝑋 ∈ 𝑃)
18		simp3 1134	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝑌 ∈ 𝑃)
19	2	fvexi 6684	. . . 4 ⊢ 𝑃 ∈ V
20	19	rabex 5235	. . 3 ⊢ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋))} ∈ V
21	20	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋))} ∈ V)
22	8, 16, 17, 18, 21	ovmpod 7302	1 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋𝐼𝑌) = {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋))})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ w3o 1082   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3139  {crab 3142  Vcvv 3494  ⟨cop 4573  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ∈ cmpo 7158  0cc0 10537  1c1 10538  [,]cicc 12742  ndxcnx 16480   sSet csts 16481  Basecbs 16483   ·_𝑠 cvsca 16569  -_gcsg 18105  Itvcitv 26222  LineGclng 26223  toTGcttg 26659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-dec 12100  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-sets 16490  df-itv 26224  df-lng 26225  df-ttg 26660

This theorem is referenced by:  ttgelitv  26669