MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttgitvval Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ttgitvval 28403
Description: Betweenness for a subcomplex Hilbert space augmented with betweenness. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ttgval.n 𝐺 = (toTGβ€˜π»)
ttgitvval.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
ttgitvval.b 𝑃 = (Baseβ€˜π»)
ttgitvval.m βˆ’ = (-gβ€˜π»)
ttgitvval.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π»)
Assertion
Ref Expression
ttgitvval ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (π‘‹πΌπ‘Œ) = {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (0[,]1)(𝑧 βˆ’ 𝑋) = (π‘˜ Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋))})
Distinct variable groups:   𝑧,π‘˜, βˆ’   𝑧, Β·   π‘˜,𝐻,𝑧   𝑃,π‘˜,𝑧   π‘˜,𝑉,𝑧   π‘˜,𝑋,𝑧   π‘˜,π‘Œ,𝑧
Allowed substitution hints:   Β· (π‘˜)   𝐺(𝑧,π‘˜)   𝐼(𝑧,π‘˜)
Proof of Theorem ttgitvval
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ttgval.n . . . . 5 𝐺 = (toTGβ€˜π»)
2 ttgitvval.b . . . . 5 𝑃 = (Baseβ€˜π»)
3 ttgitvval.m . . . . 5 βˆ’ = (-gβ€˜π»)
4 ttgitvval.s . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π»)
5 ttgitvval.i . . . . 5 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
61, 2, 3, 4, 5ttgval 28390 . . . 4 (𝐻 ∈ 𝑉 β†’ (𝐺 = ((𝐻 sSet ⟨(Itvβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ 𝑃 ↦ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (0[,]1)(𝑧 βˆ’ π‘₯) = (π‘˜ Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯))})⟩) sSet ⟨(LineGβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ 𝑃 ↦ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))})⟩) ∧ 𝐼 = (π‘₯ ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ 𝑃 ↦ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (0[,]1)(𝑧 βˆ’ π‘₯) = (π‘˜ Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯))})))
76simprd 495 . . 3 (𝐻 ∈ 𝑉 β†’ 𝐼 = (π‘₯ ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ 𝑃 ↦ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (0[,]1)(𝑧 βˆ’ π‘₯) = (π‘˜ Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯))}))
873ad2ant1 1132 . 2 ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ 𝐼 = (π‘₯ ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ 𝑃 ↦ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (0[,]1)(𝑧 βˆ’ π‘₯) = (π‘˜ Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯))}))
9 simprl 768 . . . . . 6 (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ)) β†’ π‘₯ = 𝑋)
109oveq2d 7428 . . . . 5 (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ)) β†’ (𝑧 βˆ’ π‘₯) = (𝑧 βˆ’ 𝑋))
11 simprr 770 . . . . . . 7 (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ)) β†’ 𝑦 = π‘Œ)
1211, 9oveq12d 7430 . . . . . 6 (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ)) β†’ (𝑦 βˆ’ π‘₯) = (π‘Œ βˆ’ 𝑋))
1312oveq2d 7428 . . . . 5 (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ)) β†’ (π‘˜ Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯)) = (π‘˜ Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋)))
1410, 13eqeq12d 2747 . . . 4 (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ)) β†’ ((𝑧 βˆ’ π‘₯) = (π‘˜ Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ↔ (𝑧 βˆ’ 𝑋) = (π‘˜ Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋))))
1514rexbidv 3177 . . 3 (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ)) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (0[,]1)(𝑧 βˆ’ π‘₯) = (π‘˜ Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (0[,]1)(𝑧 βˆ’ 𝑋) = (π‘˜ Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋))))
1615rabbidv 3439 . 2 (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯ = 𝑋 ∧ 𝑦 = π‘Œ)) β†’ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (0[,]1)(𝑧 βˆ’ π‘₯) = (π‘˜ Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯))} = {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (0[,]1)(𝑧 βˆ’ 𝑋) = (π‘˜ Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋))})
17 simp2 1136 . 2 ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
18 simp3 1137 . 2 ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
192fvexi 6906 . . . 4 𝑃 ∈ V
2019rabex 5333 . . 3 {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (0[,]1)(𝑧 βˆ’ 𝑋) = (π‘˜ Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋))} ∈ V
2120a1i 11 . 2 ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (0[,]1)(𝑧 βˆ’ 𝑋) = (π‘˜ Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋))} ∈ V)
228, 16, 17, 18, 21ovmpod 7563 1 ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (π‘‹πΌπ‘Œ) = {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (0[,]1)(𝑧 βˆ’ 𝑋) = (π‘˜ Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆƒwrex 3069  {crab 3431  Vcvv 3473  βŸ¨cop 4635  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  0cc0 11113  1c1 11114  [,]cicc 13332   sSet csts 17101  ndxcnx 17131  Basecbs 17149   ·𝑠 cvsca 17206  -gcsg 18858  Itvcitv 27948  LineGclng 27949  toTGcttg 28388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-dec 12683  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-itv 27950  df-lng 27951  df-ttg 28389
This theorem is referenced by:  ttgelitv  28404
  Copyright terms: Public domain W3C validator