Theorem ttgitvval 28897

Description: Betweenness for a subcomplex Hilbert space augmented with betweenness. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ttgval.n	⊢ 𝐺 = (toTG‘𝐻)
ttgitvval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ttgitvval.b	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐻)
ttgitvval.m	⊢ − = (-g‘𝐻)
ttgitvval.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
ttgitvval	⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋𝐼𝑌) = {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋))})

Distinct variable groups:   𝑧,𝑘, −   𝑧, ·   𝑘,𝐻,𝑧   𝑃,𝑘,𝑧   𝑘,𝑉,𝑧   𝑘,𝑋,𝑧   𝑘,𝑌,𝑧

Allowed substitution hints:   · (𝑘)   𝐺(𝑧,𝑘)   𝐼(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem ttgitvval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ttgval.n	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (toTG‘𝐻)
2		ttgitvval.b	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐻)
3		ttgitvval.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐻)
4		ttgitvval.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐻)
5		ttgitvval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6	1, 2, 3, 4, 5	ttgval 28884	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ 𝑉 → (𝐺 = ((𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ 𝑃 ↦ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})⟩) sSet ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ 𝑃 ↦ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))})⟩) ∧ 𝐼 = (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ 𝑃 ↦ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})))
7	6	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ 𝑉 → 𝐼 = (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ 𝑃 ↦ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))}))
8	7	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝐼 = (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ 𝑃 ↦ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))}))
9		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → 𝑥 = 𝑋)
10	9	oveq2d 7448	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → (𝑧 − 𝑥) = (𝑧 − 𝑋))
11		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → 𝑦 = 𝑌)
12	11, 9	oveq12d 7450	. . . . . 6 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → (𝑦 − 𝑥) = (𝑌 − 𝑋))
13	12	oveq2d 7448	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → (𝑘 · (𝑦 − 𝑥)) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋)))
14	10, 13	eqeq12d 2752	. . . 4 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → ((𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥)) ↔ (𝑧 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋))))
15	14	rexbidv 3178	. . 3 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → (∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥)) ↔ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋))))
16	15	rabbidv 3443	. 2 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))} = {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋))})
17		simp2 1137	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝑋 ∈ 𝑃)
18		simp3 1138	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝑌 ∈ 𝑃)
19	2	fvexi 6919	. . . 4 ⊢ 𝑃 ∈ V
20	19	rabex 5338	. . 3 ⊢ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋))} ∈ V
21	20	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋))} ∈ V)
22	8, 16, 17, 18, 21	ovmpod 7586	1 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋𝐼𝑌) = {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋))})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3069  {crab 3435  Vcvv 3479  ⟨cop 4631  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432   ∈ cmpo 7434  0cc0 11156  1c1 11157  [,]cicc 13391   sSet csts 17201  ndxcnx 17231  Basecbs 17248   ·_𝑠 cvsca 17302  -_gcsg 18954  Itvcitv 28442  LineGclng 28443  toTGcttg 28882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-dec 12736  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-itv 28444  df-lng 28445  df-ttg 28883

This theorem is referenced by:  ttgelitv  28898