Theorem ttgitvval 29209

Description: Betweenness for a subcomplex Hilbert space augmented with betweenness. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ttgval.n	⊢ 𝐺 = (toTG‘𝐻)
ttgitvval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ttgitvval.b	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐻)
ttgitvval.m	⊢ − = (-g‘𝐻)
ttgitvval.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
ttgitvval	⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋𝐼𝑌) = {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋))})

Distinct variable groups:   𝑧,𝑘, −   𝑧, ·   𝑘,𝐻,𝑧   𝑃,𝑘,𝑧   𝑘,𝑉,𝑧   𝑘,𝑋,𝑧   𝑘,𝑌,𝑧

Allowed substitution hints:   · (𝑘)   𝐺(𝑧,𝑘)   𝐼(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem ttgitvval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ttgval.n	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (toTG‘𝐻)
2		ttgitvval.b	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐻)
3		ttgitvval.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐻)
4		ttgitvval.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐻)
5		ttgitvval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6	1, 2, 3, 4, 5	ttgval 29202	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ 𝑉 → (𝐺 = ((𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ 𝑃 ↦ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})⟩) sSet ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ 𝑃 ↦ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))})⟩) ∧ 𝐼 = (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ 𝑃 ↦ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})))
7	6	simprd 500	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ 𝑉 → 𝐼 = (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ 𝑃 ↦ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))}))
8	7	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝐼 = (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ 𝑃 ↦ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))}))
9		simprl 782	. . . . . 6 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → 𝑥 = 𝑋)
10	9	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → (𝑧 − 𝑥) = (𝑧 − 𝑋))
11		simprr 784	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → 𝑦 = 𝑌)
12	11, 9	oveq12d 7430	. . . . . 6 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → (𝑦 − 𝑥) = (𝑌 − 𝑋))
13	12	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → (𝑘 · (𝑦 − 𝑥)) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋)))
14	10, 13	eqeq12d 2779	. . . 4 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → ((𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥)) ↔ (𝑧 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋))))
15	14	rexbidv 3189	. . 3 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → (∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥)) ↔ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋))))
16	15	rabbidv 3423	. 2 ⊢ (((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))} = {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋))})
17		simp2 1155	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝑋 ∈ 𝑃)
18		simp3 1156	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝑌 ∈ 𝑃)
19	2	fvexi 6897	. . . 4 ⊢ 𝑃 ∈ V
20	19	rabex 5311	. . 3 ⊢ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋))} ∈ V
21	20	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋))} ∈ V)
22	8, 16, 17, 18, 21	ovmpod 7564	1 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋𝐼𝑌) = {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋))})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089  {crab 3416  Vcvv 3455  ⟨cop 4596  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  0cc0 11101  1c1 11102  [,]cicc 13376   sSet csts 17224  ndxcnx 17254  Basecbs 17270   ·_𝑠 cvsca 17315  -_gcsg 19003  Itvcitv 28680  LineGclng 28681  toTGcttg 29200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-dec 12713  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-itv 28682  df-lng 28683  df-ttg 29201

This theorem is referenced by:  ttgelitv  29210