Theorem umgrnloop2 29092

Description: A multigraph has no loops. (Contributed by AV, 27-Oct-2020.) (Revised by AV, 30-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
umgrnloop2	⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → {𝑁, 𝑁} ∉ (Edg‘𝐺))

Proof of Theorem umgrnloop2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	umgrpredgv 29086	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑁, 𝑁} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)))
4	3	simpld 494	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑁, 𝑁} ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))
5		eqid 2734	. . . 4 ⊢ 𝑁 = 𝑁
6	2	umgredgne 29091	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑁, 𝑁} ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝑁 ≠ 𝑁)
7		eqneqall 2942	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 𝑁 → (𝑁 ≠ 𝑁 → ¬ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)))
8	5, 6, 7	mpsyl 68	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑁, 𝑁} ∈ (Edg‘𝐺)) → ¬ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))
9	4, 8	pm2.65da 816	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ¬ {𝑁, 𝑁} ∈ (Edg‘𝐺))
10		df-nel 3036	. 2 ⊢ ({𝑁, 𝑁} ∉ (Edg‘𝐺) ↔ ¬ {𝑁, 𝑁} ∈ (Edg‘𝐺))
11	9, 10	sylibr 234	1 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → {𝑁, 𝑁} ∉ (Edg‘𝐺))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931   ∉ wnel 3035  {cpr 4608  ‘cfv 6541  Vtxcvtx 28942  Edgcedg 28993  UMGraphcumgr 29027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-oadd 8492  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-dju 9923  df-card 9961  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13530  df-hash 14353  df-edg 28994  df-umgr 29029

This theorem is referenced by: (None)