Theorem umgrpredgv 29545

Description: An edge of a multigraph always connects two vertices. Analogue of umgredgprv 29512. This theorem does not hold for arbitrary pseudographs: if either 𝑀 or 𝑁 is a proper class, then {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸 could still hold ({𝑀, 𝑁} would be either {𝑀} or {𝑁}, see prprc1 4733 or prprc2 4734, i.e. a loop), but 𝑀 ∈ 𝑉 or 𝑁 ∈ 𝑉 would not be true. (Contributed by AV, 27-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgredg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgredg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgrpredgv	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉))

Proof of Theorem umgrpredgv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgredg.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
2	1	eleq2i 2857	. . 3 ⊢ ({𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸 ↔ {𝑀, 𝑁} ∈ (Edg‘𝐺))
3		edgumgr 29540	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ (Edg‘𝐺)) → ({𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
4	2, 3	sylan2b 606	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → ({𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
5		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ {𝑀, 𝑁} = {𝑀, 𝑁}
6	5	hashprdifel 14452	. . . 4 ⊢ ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ≠ 𝑁))
7		upgredg.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8	7	eqcomi 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = 𝑉
9	8	pweqi 4580	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 (Vtx‘𝐺) = 𝒫 𝑉
10	9	eleq2i 2857	. . . . . 6 ⊢ ({𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ↔ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 𝑉)
11		prelpw 5429	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁}) → ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ↔ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 𝑉))
12	11	biimprd 251	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁}) → ({𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 𝑉 → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
13	10, 12	biimtrid 245	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁}) → ({𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
14	13	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) → ({𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
15	6, 14	syl 18	. . 3 ⊢ ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → ({𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
16	15	impcom 413	. 2 ⊢ (({𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉))
17	4, 16	syl 18	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  𝒫 cpw 4564  {cpr 4593  ‘cfv 6540  2c2 12310  ♯chash 14384  Vtxcvtx 29401  Edgcedg 29452  UMGraphcumgr 29486

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-oadd 8463  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-dju 9903  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-fz 13552  df-hash 14385  df-edg 29453  df-umgr 29488

This theorem is used by:  umgrnloop2  29551  usgrpredgv  29605  umgr2edg  29617  umgrvad2edg  29621  nbumgr  29755  umgr2adedgwlklem  30360  umgr2adedgspth  30364  frgrncvvdeqlem2  30722  fusgr2wsp2nb  30756  pgnbgreunbgr  48948