Theorem umgrpredgv 29227

Description: An edge of a multigraph always connects two vertices. Analogue of umgredgprv 29194. This theorem does not hold for arbitrary pseudographs: if either 𝑀 or 𝑁 is a proper class, then {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸 could still hold ({𝑀, 𝑁} would be either {𝑀} or {𝑁}, see prprc1 4697 or prprc2 4698, i.e. a loop), but 𝑀 ∈ 𝑉 or 𝑁 ∈ 𝑉 would not be true. (Contributed by AV, 27-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgredg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgredg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgrpredgv	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉))

Proof of Theorem umgrpredgv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgredg.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
2	1	eleq2i 2831	. . 3 ⊢ ({𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸 ↔ {𝑀, 𝑁} ∈ (Edg‘𝐺))
3		edgumgr 29222	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ (Edg‘𝐺)) → ({𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
4	2, 3	sylan2b 600	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → ({𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
5		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ {𝑀, 𝑁} = {𝑀, 𝑁}
6	5	hashprdifel 14351	. . . 4 ⊢ ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ≠ 𝑁))
7		upgredg.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8	7	eqcomi 2748	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = 𝑉
9	8	pweqi 4545	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 (Vtx‘𝐺) = 𝒫 𝑉
10	9	eleq2i 2831	. . . . . 6 ⊢ ({𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ↔ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 𝑉)
11		prelpw 5385	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁}) → ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ↔ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 𝑉))
12	11	biimprd 249	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁}) → ({𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 𝑉 → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
13	10, 12	biimtrid 243	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁}) → ({𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
14	13	3adant3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) → ({𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
15	6, 14	syl 17	. . 3 ⊢ ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → ({𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
16	15	impcom 408	. 2 ⊢ (({𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉))
17	4, 16	syl 17	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  𝒫 cpw 4529  {cpr 4557  ‘cfv 6485  2c2 12227  ♯chash 14283  Vtxcvtx 29083  Edgcedg 29134  UMGraphcumgr 29168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-hash 14284  df-edg 29135  df-umgr 29170

This theorem is referenced by:  umgrnloop2  29233  usgrpredgv  29284  umgr2edg  29296  umgrvad2edg  29300  nbumgr  29434  umgr2adedgwlklem  30030  umgr2adedgspth  30034  frgrncvvdeqlem2  30388  fusgr2wsp2nb  30422  pgnbgreunbgr  48616