Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgrpredgv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgrpredgv 27047
 Description: An edge of a multigraph always connects two vertices. Analogue of umgredgprv 27014. This theorem does not hold for arbitrary pseudographs: if either 𝑀 or 𝑁 is a proper class, then {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸 could still hold ({𝑀, 𝑁} would be either {𝑀} or {𝑁}, see prprc1 4662 or prprc2 4663, i.e. a loop), but 𝑀 ∈ 𝑉 or 𝑁 ∈ 𝑉 would not be true. (Contributed by AV, 27-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
upgredg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgredg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
umgrpredgv ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → (𝑀𝑉𝑁𝑉))

Proof of Theorem umgrpredgv
StepHypRef Expression
1 upgredg.e . . . 4 𝐸 = (Edg‘𝐺)
21eleq2i 2844 . . 3 ({𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸 ↔ {𝑀, 𝑁} ∈ (Edg‘𝐺))
3 edgumgr 27042 . . 3 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ (Edg‘𝐺)) → ({𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
42, 3sylan2b 596 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → ({𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
5 eqid 2759 . . . . 5 {𝑀, 𝑁} = {𝑀, 𝑁}
65hashprdifel 13823 . . . 4 ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑁))
7 upgredg.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
87eqcomi 2768 . . . . . . . 8 (Vtx‘𝐺) = 𝑉
98pweqi 4516 . . . . . . 7 𝒫 (Vtx‘𝐺) = 𝒫 𝑉
109eleq2i 2844 . . . . . 6 ({𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ↔ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 𝑉)
11 prelpw 5312 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁}) → ((𝑀𝑉𝑁𝑉) ↔ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 𝑉))
1211biimprd 251 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁}) → ({𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 𝑉 → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
1310, 12syl5bi 245 . . . . 5 ((𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁}) → ({𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
14133adant3 1130 . . . 4 ((𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑁) → ({𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
156, 14syl 17 . . 3 ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → ({𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
1615impcom 411 . 2 (({𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2) → (𝑀𝑉𝑁𝑉))
174, 16syl 17 1 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸) → (𝑀𝑉𝑁𝑉))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952  𝒫 cpw 4498  {cpr 4528  ‘cfv 6341  2c2 11743  ♯chash 13754  Vtxcvtx 26903  Edgcedg 26954  UMGraphcumgr 26988 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466  ax-cnex 10645  ax-resscn 10646  ax-1cn 10647  ax-icn 10648  ax-addcl 10649  ax-addrcl 10650  ax-mulcl 10651  ax-mulrcl 10652  ax-mulcom 10653  ax-addass 10654  ax-mulass 10655  ax-distr 10656  ax-i2m1 10657  ax-1ne0 10658  ax-1rid 10659  ax-rnegex 10660  ax-rrecex 10661  ax-cnre 10662  ax-pre-lttri 10663  ax-pre-lttrn 10664  ax-pre-ltadd 10665  ax-pre-mulgt0 10666 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4803  df-int 4843  df-iun 4889  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-tr 5144  df-id 5435  df-eprel 5440  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6132  df-ord 6178  df-on 6179  df-lim 6180  df-suc 6181  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7115  df-ov 7160  df-oprab 7161  df-mpo 7162  df-om 7587  df-1st 7700  df-2nd 7701  df-wrecs 7964  df-recs 8025  df-rdg 8063  df-1o 8119  df-oadd 8123  df-er 8306  df-en 8542  df-dom 8543  df-sdom 8544  df-fin 8545  df-dju 9377  df-card 9415  df-pnf 10729  df-mnf 10730  df-xr 10731  df-ltxr 10732  df-le 10733  df-sub 10924  df-neg 10925  df-nn 11689  df-2 11751  df-n0 11949  df-z 12035  df-uz 12297  df-fz 12954  df-hash 13755  df-edg 26955  df-umgr 26990 This theorem is referenced by:  umgrnloop2  27053  usgrpredgv  27101  umgr2edg  27113  umgrvad2edg  27117  nbumgr  27251  umgr2adedgwlklem  27844  umgr2adedgspth  27848  frgrncvvdeqlem2  28199  fusgr2wsp2nb  28233
 Copyright terms: Public domain W3C validator