MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgredgnlp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgredgnlp 29086
Description: An edge of a multigraph is not a loop. (Contributed by AV, 9-Jan-2020.) (Revised by AV, 8-Jun-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
umgredgnlp.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
umgredgnlp ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶𝐸) → ¬ ∃𝑣 𝐶 = {𝑣})
Distinct variable groups:   𝑣,𝐶   𝑣,𝐸   𝑣,𝐺

Proof of Theorem umgredgnlp
StepHypRef Expression
1 vex 3466 . . . . . 6 𝑣 ∈ V
2 hashsng 14388 . . . . . 6 (𝑣 ∈ V → (♯‘{𝑣}) = 1)
3 1ne2 12474 . . . . . . . 8 1 ≠ 2
43neii 2932 . . . . . . 7 ¬ 1 = 2
5 eqeq1 2730 . . . . . . 7 ((♯‘{𝑣}) = 1 → ((♯‘{𝑣}) = 2 ↔ 1 = 2))
64, 5mtbiri 326 . . . . . 6 ((♯‘{𝑣}) = 1 → ¬ (♯‘{𝑣}) = 2)
71, 2, 6mp2b 10 . . . . 5 ¬ (♯‘{𝑣}) = 2
8 fveqeq2 6912 . . . . 5 (𝐶 = {𝑣} → ((♯‘𝐶) = 2 ↔ (♯‘{𝑣}) = 2))
97, 8mtbiri 326 . . . 4 (𝐶 = {𝑣} → ¬ (♯‘𝐶) = 2)
109intnand 487 . . 3 (𝐶 = {𝑣} → ¬ (𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2))
11 umgredgnlp.e . . . . 5 𝐸 = (Edg‘𝐺)
1211eleq2i 2818 . . . 4 (𝐶𝐸𝐶 ∈ (Edg‘𝐺))
13 edgumgr 29074 . . . 4 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶 ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2))
1412, 13sylan2b 592 . . 3 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶𝐸) → (𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2))
1510, 14nsyl3 138 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶𝐸) → ¬ 𝐶 = {𝑣})
1615nexdv 1932 1 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶𝐸) → ¬ ∃𝑣 𝐶 = {𝑣})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wex 1774  wcel 2099  Vcvv 3462  𝒫 cpw 4607  {csn 4633  cfv 6556  1c1 11161  2c2 12321  chash 14349  Vtxcvtx 28935  Edgcedg 28986  UMGraphcumgr 29020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-cnex 11216  ax-resscn 11217  ax-1cn 11218  ax-icn 11219  ax-addcl 11220  ax-addrcl 11221  ax-mulcl 11222  ax-mulrcl 11223  ax-mulcom 11224  ax-addass 11225  ax-mulass 11226  ax-distr 11227  ax-i2m1 11228  ax-1ne0 11229  ax-1rid 11230  ax-rnegex 11231  ax-rrecex 11232  ax-cnre 11233  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235  ax-pre-ltadd 11236  ax-pre-mulgt0 11237
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4916  df-int 4957  df-iun 5005  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6314  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8298  df-wrecs 8329  df-recs 8403  df-rdg 8442  df-1o 8498  df-er 8736  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-card 9984  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11498  df-neg 11499  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12613  df-uz 12877  df-fz 13541  df-hash 14350  df-edg 28987  df-umgr 29022
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator