Theorem umgredgnlp 29612

Description: An edge of a multigraph is not a loop. (Contributed by AV, 9-Jan-2020.) (Revised by AV, 8-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgredgnlp.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgredgnlp	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶 ∈ 𝐸) → ¬ ∃𝑣 𝐶 = {𝑣})

Distinct variable groups:   𝑣,𝐶   𝑣,𝐸   𝑣,𝐺

Proof of Theorem umgredgnlp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3457	. . . . . 6 ⊢ 𝑣 ∈ V
2		hashsng 14437	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ V → (♯‘{𝑣}) = 1)
3		1ne2 12479	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ 2
4	3	neii 2959	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 = 2
5		eqeq1 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘{𝑣}) = 1 → ((♯‘{𝑣}) = 2 ↔ 1 = 2))
6	4, 5	mtbiri 330	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘{𝑣}) = 1 → ¬ (♯‘{𝑣}) = 2)
7	1, 2, 6	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ ¬ (♯‘{𝑣}) = 2
8		fveqeq2 6891	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = {𝑣} → ((♯‘𝐶) = 2 ↔ (♯‘{𝑣}) = 2))
9	7, 8	mtbiri 330	. . . 4 ⊢ (𝐶 = {𝑣} → ¬ (♯‘𝐶) = 2)
10	9	intnand 494	. . 3 ⊢ (𝐶 = {𝑣} → ¬ (𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2))
11		umgredgnlp.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
12	11	eleq2i 2854	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐸 ↔ 𝐶 ∈ (Edg‘𝐺))
13		edgumgr 29600	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶 ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2))
14	12, 13	sylan2b 606	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶 ∈ 𝐸) → (𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2))
15	10, 14	nsyl3 139	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶 ∈ 𝐸) → ¬ 𝐶 = {𝑣})
16	15	nexdv 1969	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶 ∈ 𝐸) → ¬ ∃𝑣 𝐶 = {𝑣})

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453  𝒫 cpw 4560  {csn 4587  ‘cfv 6537  1c1 11129  2c2 12323  ♯chash 14398  Vtxcvtx 29461  Edgcedg 29512  UMGraphcumgr 29546

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-hash 14399  df-edg 29513  df-umgr 29548

This theorem is used by: (None)