Theorem umgredgnlp 29126

Description: An edge of a multigraph is not a loop. (Contributed by AV, 9-Jan-2020.) (Revised by AV, 8-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgredgnlp.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgredgnlp	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶 ∈ 𝐸) → ¬ ∃𝑣 𝐶 = {𝑣})

Distinct variable groups:   𝑣,𝐶   𝑣,𝐸   𝑣,𝐺

Proof of Theorem umgredgnlp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3440	. . . . . 6 ⊢ 𝑣 ∈ V
2		hashsng 14276	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ V → (♯‘{𝑣}) = 1)
3		1ne2 12328	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ 2
4	3	neii 2930	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 = 2
5		eqeq1 2735	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘{𝑣}) = 1 → ((♯‘{𝑣}) = 2 ↔ 1 = 2))
6	4, 5	mtbiri 327	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘{𝑣}) = 1 → ¬ (♯‘{𝑣}) = 2)
7	1, 2, 6	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ ¬ (♯‘{𝑣}) = 2
8		fveqeq2 6831	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = {𝑣} → ((♯‘𝐶) = 2 ↔ (♯‘{𝑣}) = 2))
9	7, 8	mtbiri 327	. . . 4 ⊢ (𝐶 = {𝑣} → ¬ (♯‘𝐶) = 2)
10	9	intnand 488	. . 3 ⊢ (𝐶 = {𝑣} → ¬ (𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2))
11		umgredgnlp.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
12	11	eleq2i 2823	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐸 ↔ 𝐶 ∈ (Edg‘𝐺))
13		edgumgr 29114	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶 ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2))
14	12, 13	sylan2b 594	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶 ∈ 𝐸) → (𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2))
15	10, 14	nsyl3 138	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶 ∈ 𝐸) → ¬ 𝐶 = {𝑣})
16	15	nexdv 1937	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶 ∈ 𝐸) → ¬ ∃𝑣 𝐶 = {𝑣})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  𝒫 cpw 4550  {csn 4576  ‘cfv 6481  1c1 11007  2c2 12180  ♯chash 14237  Vtxcvtx 28975  Edgcedg 29026  UMGraphcumgr 29060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-hash 14238  df-edg 29027  df-umgr 29062

This theorem is referenced by: (None)