Theorem usgrop 28352

Description: A simple graph represented by an ordered pair. (Contributed by AV, 23-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 30-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
usgrop	⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ⟨(Vtx‘𝐺), (iEdg‘𝐺)⟩ ∈ USGraph)

Proof of Theorem usgrop

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2732	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	usgrfs 28346	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
4		fvex 6892	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) ∈ V
5		fvex 6892	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) ∈ V
6	4, 5	pm3.2i 471	. . 3 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ V ∧ (iEdg‘𝐺) ∈ V)
7		isusgrop 28351	. . 3 ⊢ (((Vtx‘𝐺) ∈ V ∧ (iEdg‘𝐺) ∈ V) → (⟨(Vtx‘𝐺), (iEdg‘𝐺)⟩ ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
8	6, 7	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (⟨(Vtx‘𝐺), (iEdg‘𝐺)⟩ ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
9	3, 8	mpbird 256	1 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ⟨(Vtx‘𝐺), (iEdg‘𝐺)⟩ ∈ USGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432  Vcvv 3474  𝒫 cpw 4597  ⟨cop 4629  dom cdm 5670  –1-1→wf1 6530  ‘cfv 6533  2c2 12251  ♯chash 14274  Vtxcvtx 28185  iEdgciedg 28186  USGraphcusgr 28338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-cnex 11150  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170  ax-pre-mulgt0 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7840  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-rdg 8394  df-1o 8450  df-er 8688  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-fin 8928  df-card 9918  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238  df-sub 11430  df-neg 11431  df-nn 12197  df-2 12259  df-n0 12457  df-z 12543  df-uz 12807  df-fz 13469  df-hash 14275  df-vtx 28187  df-iedg 28188  df-usgr 28340

This theorem is referenced by:  fusgrfis  28516  cusgrop  28624