Theorem uzenom 13150

Description: An upper integer set is denumerable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzinf.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
uzenom	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑍 ≈ ω)

Proof of Theorem uzenom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzinf.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		fveq2 6501	. . . 4 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
3	1, 2	syl5eq 2826	. . 3 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → 𝑍 = (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
4	3	breq1d 4940	. 2 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (𝑍 ≈ ω ↔ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ≈ ω))
5		omex 8902	. . . 4 ⊢ ω ∈ V
6		fvex 6514	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ∈ V
7		0z 11807	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
8	7	elimel 4418	. . . . 5 ⊢ if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) ∈ ℤ
9		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ↾ ω)
10	8, 9	om2uzf1oi 13139	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ↾ ω):ω–1-1-onto→(ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))
11		f1oen2g 8325	. . . 4 ⊢ ((ω ∈ V ∧ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ∈ V ∧ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ↾ ω):ω–1-1-onto→(ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))) → ω ≈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
12	5, 6, 10, 11	mp3an 1440	. . 3 ⊢ ω ≈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))
13	12	ensymi 8358	. 2 ⊢ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ≈ ω
14	4, 13	dedth 4407	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑍 ≈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  Vcvv 3415  ifcif 4351   class class class wbr 4930   ↦ cmpt 5009   ↾ cres 5410  –1-1-onto→wf1o 6189  ‘cfv 6190  (class class class)co 6978  ωcom 7398  reccrdg 7851   ≈ cen 8305  0cc0 10337  1c1 10338   + caddc 10340  ℤcz 11796  ℤ_≥cuz 12061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-inf2 8900  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-nn 11442  df-n0 11711  df-z 11797  df-uz 12062

This theorem is referenced by:  uzinf  13151  iscmet3  23602