Theorem uzenom 14007

Description: An upper integer set is denumerable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzinf.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
uzenom	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑍 ≈ ω)

Proof of Theorem uzenom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzinf.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		fveq2 6881	. . . 4 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
3	1, 2	eqtrid 2809	. . 3 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → 𝑍 = (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
4	3	breq1d 5118	. 2 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (𝑍 ≈ ω ↔ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ≈ ω))
5		omex 9610	. . . 4 ⊢ ω ∈ V
6		fvex 6894	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ∈ V
7		0z 12608	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
8	7	elimel 4556	. . . . 5 ⊢ if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) ∈ ℤ
9		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ↾ ω)
10	8, 9	om2uzf1oi 13996	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ↾ ω):ω–1-1-onto→(ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))
11		f1oen2g 8963	. . . 4 ⊢ ((ω ∈ V ∧ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ∈ V ∧ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ↾ ω):ω–1-1-onto→(ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))) → ω ≈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
12	5, 6, 10, 11	mp3an 1489	. . 3 ⊢ ω ≈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))
13	12	ensymi 8999	. 2 ⊢ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ≈ ω
14	4, 13	dedth 4545	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑍 ≈ ω)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454  ifcif 4486   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191   ↾ cres 5662  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ωcom 7860  reccrdg 8394   ≈ cen 8938  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  ℤcz 12597  ℤ_≥cuz 12868

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869

This theorem is used by:  uzinf  14008  iscmet3  25463