Theorem uzenom 14061

Description: An upper integer set is denumerable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzinf.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
uzenom	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑍 ≈ ω)

Proof of Theorem uzenom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzinf.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		fveq2 6874	. . . 4 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
3	1, 2	eqtrid 2807	. . 3 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → 𝑍 = (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
4	3	breq1d 5113	. 2 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (𝑍 ≈ ω ↔ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ≈ ω))
5		omex 9622	. . . 4 ⊢ ω ∈ V
6		fvex 6887	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ∈ V
7		0z 12659	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
8	7	elimel 4552	. . . . 5 ⊢ if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) ∈ ℤ
9		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ↾ ω)
10	8, 9	om2uzf1oi 14050	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ↾ ω):ω–1-1-onto→(ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))
11		f1oen2g 8974	. . . 4 ⊢ ((ω ∈ V ∧ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ∈ V ∧ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ↾ ω):ω–1-1-onto→(ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))) → ω ≈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
12	5, 6, 10, 11	mp3an 1490	. . 3 ⊢ ω ≈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))
13	12	ensymi 9010	. 2 ⊢ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ≈ ω
14	4, 13	dedth 4541	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑍 ≈ ω)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  ifcif 4482   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   ↾ cres 5650  –1-1-onto→wf1o 6527  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  ωcom 7861  reccrdg 8396   ≈ cen 8949  0cc0 11157  1c1 11158   + caddc 11160  ℤcz 12648  ℤ_≥cuz 12920

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-inf2 9620  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-n0 12562  df-z 12649  df-uz 12921

This theorem is used by:  uzinf  14062  iscmet3  25561