Theorem uzenom 13612

Description: An upper integer set is denumerable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzinf.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
uzenom	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑍 ≈ ω)

Proof of Theorem uzenom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzinf.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		fveq2 6756	. . . 4 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
3	1, 2	eqtrid 2790	. . 3 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → 𝑍 = (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
4	3	breq1d 5080	. 2 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (𝑍 ≈ ω ↔ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ≈ ω))
5		omex 9331	. . . 4 ⊢ ω ∈ V
6		fvex 6769	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ∈ V
7		0z 12260	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
8	7	elimel 4525	. . . . 5 ⊢ if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) ∈ ℤ
9		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ↾ ω)
10	8, 9	om2uzf1oi 13601	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ↾ ω):ω–1-1-onto→(ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))
11		f1oen2g 8711	. . . 4 ⊢ ((ω ∈ V ∧ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ∈ V ∧ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ↾ ω):ω–1-1-onto→(ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))) → ω ≈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
12	5, 6, 10, 11	mp3an 1459	. . 3 ⊢ ω ≈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))
13	12	ensymi 8745	. 2 ⊢ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ≈ ω
14	4, 13	dedth 4514	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑍 ≈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  ifcif 4456   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153   ↾ cres 5582  –1-1-onto→wf1o 6417  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ωcom 7687  reccrdg 8211   ≈ cen 8688  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512

This theorem is referenced by:  uzinf  13613  iscmet3  24362