Theorem uzenom 13891

Description: An upper integer set is denumerable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzinf.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
uzenom	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑍 ≈ ω)

Proof of Theorem uzenom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzinf.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		fveq2 6835	. . . 4 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
3	1, 2	eqtrid 2784	. . 3 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → 𝑍 = (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
4	3	breq1d 5109	. 2 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (𝑍 ≈ ω ↔ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ≈ ω))
5		omex 9556	. . . 4 ⊢ ω ∈ V
6		fvex 6848	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ∈ V
7		0z 12503	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
8	7	elimel 4550	. . . . 5 ⊢ if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) ∈ ℤ
9		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ↾ ω)
10	8, 9	om2uzf1oi 13880	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ↾ ω):ω–1-1-onto→(ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))
11		f1oen2g 8909	. . . 4 ⊢ ((ω ∈ V ∧ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ∈ V ∧ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ↾ ω):ω–1-1-onto→(ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))) → ω ≈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
12	5, 6, 10, 11	mp3an 1464	. . 3 ⊢ ω ≈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))
13	12	ensymi 8945	. 2 ⊢ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ≈ ω
14	4, 13	dedth 4539	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑍 ≈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441  ifcif 4480   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180   ↾ cres 5627  –1-1-onto→wf1o 6492  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ωcom 7810  reccrdg 8342   ≈ cen 8884  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033  ℤcz 12492  ℤ_≥cuz 12755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756

This theorem is referenced by:  uzinf  13892  iscmet3  25253