MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrdlen2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wrdlen2 14309
Description: A word of length two. (Contributed by AV, 20-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
wrdlen2 ((𝑆𝑉𝑇𝑉) → (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 2) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑆 ∧ (𝑊‘1) = 𝑇))))

Proof of Theorem wrdlen2
StepHypRef Expression
1 wrdlen2i 14307 . 2 ((𝑆𝑉𝑇𝑉) → (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 2) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑆 ∧ (𝑊‘1) = 𝑇))))
2 wrd2pr2op 14308 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 2) → 𝑊 = {⟨0, (𝑊‘0)⟩, ⟨1, (𝑊‘1)⟩})
3 opeq2 4807 . . . . 5 ((𝑊‘0) = 𝑆 → ⟨0, (𝑊‘0)⟩ = ⟨0, 𝑆⟩)
43adantr 483 . . . 4 (((𝑊‘0) = 𝑆 ∧ (𝑊‘1) = 𝑇) → ⟨0, (𝑊‘0)⟩ = ⟨0, 𝑆⟩)
5 opeq2 4807 . . . . 5 ((𝑊‘1) = 𝑇 → ⟨1, (𝑊‘1)⟩ = ⟨1, 𝑇⟩)
65adantl 484 . . . 4 (((𝑊‘0) = 𝑆 ∧ (𝑊‘1) = 𝑇) → ⟨1, (𝑊‘1)⟩ = ⟨1, 𝑇⟩)
74, 6preq12d 4680 . . 3 (((𝑊‘0) = 𝑆 ∧ (𝑊‘1) = 𝑇) → {⟨0, (𝑊‘0)⟩, ⟨1, (𝑊‘1)⟩} = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩})
82, 7sylan9eq 2879 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 2) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑆 ∧ (𝑊‘1) = 𝑇)) → 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩})
91, 8impbid1 227 1 ((𝑆𝑉𝑇𝑉) → (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 2) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑆 ∧ (𝑊‘1) = 𝑇))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1536  wcel 2113  {cpr 4572  cop 4576  cfv 6358  0cc0 10540  1c1 10541  2c2 11695  chash 13693  Word cword 13864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-dju 9333  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-hash 13694  df-word 13865
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator