Theorem wrd2pr2op 14025

Description: A word of length two represented as unordered pair of ordered pairs. (Contributed by AV, 20-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 26-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wrd2pr2op	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 2) → 𝑊 = {⟨0, (𝑊‘0)⟩, ⟨1, (𝑊‘1)⟩})

Proof of Theorem wrd2pr2op

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfn 13544	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
2	1	adantr 473	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 2) → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
3		oveq2 6884	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) = 2 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^2))
4		fzo0to2pr 12804	. . . . . 6 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
5	3, 4	syl6req 2848	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) = 2 → {0, 1} = (0..^(♯‘𝑊)))
6	5	adantl 474	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 2) → {0, 1} = (0..^(♯‘𝑊)))
7	6	fneq2d 6191	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 2) → (𝑊 Fn {0, 1} ↔ 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊))))
8	2, 7	mpbird 249	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 2) → 𝑊 Fn {0, 1})
9		c0ex 10320	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
10		1ex 10322	. . 3 ⊢ 1 ∈ V
11	9, 10	fnprb 6699	. 2 ⊢ (𝑊 Fn {0, 1} ↔ 𝑊 = {⟨0, (𝑊‘0)⟩, ⟨1, (𝑊‘1)⟩})
12	8, 11	sylib 210	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 2) → 𝑊 = {⟨0, (𝑊‘0)⟩, ⟨1, (𝑊‘1)⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  {cpr 4368  ⟨cop 4372   Fn wfn 6094  ‘cfv 6099  (class class class)co 6876  0cc0 10222  1c1 10223  2c2 11364  ..^cfzo 12716  ♯chash 13366  Word cword 13530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-1o 7797  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197  df-card 9049  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11311  df-2 11372  df-n0 11577  df-z 11663  df-uz 11927  df-fz 12577  df-fzo 12717  df-hash 13367  df-word 13531

This theorem is referenced by:  wrdlen2  14026  wrdlen2s2  14027