Theorem wrdpmcl 32892

Description: Closure of a word with permuted symbols. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
wrdpmcl.1	⊢ 𝐽 = (0..^(♯‘𝑊))
wrdpmcl.2	⊢ (𝜑 → 𝐸:𝐽–1-1-onto→𝐽)
wrdpmcl.3	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
wrdpmcl	⊢ (𝜑 → (𝑊 ∘ 𝐸) ∈ Word 𝑆)

Proof of Theorem wrdpmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2730	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊))
2		wrdpmcl.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
3	1, 2	wrdfd 14444	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
4		wrdpmcl.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝐽–1-1-onto→𝐽)
5		wrdpmcl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (0..^(♯‘𝑊))
6		f1oeq23 6759	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 = (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐽 = (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐸:𝐽–1-1-onto→𝐽 ↔ 𝐸:(0..^(♯‘𝑊))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑊))))
7	5, 5, 6	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (𝐸:𝐽–1-1-onto→𝐽 ↔ 𝐸:(0..^(♯‘𝑊))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑊)))
8	4, 7	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(0..^(♯‘𝑊))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑊)))
9		f1of 6768	. . . 4 ⊢ (𝐸:(0..^(♯‘𝑊))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑊)) → 𝐸:(0..^(♯‘𝑊))⟶(0..^(♯‘𝑊)))
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(0..^(♯‘𝑊))⟶(0..^(♯‘𝑊)))
11	3, 10	fcod 6681	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∘ 𝐸):(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
12		iswrdi 14442	. 2 ⊢ ((𝑊 ∘ 𝐸):(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆 → (𝑊 ∘ 𝐸) ∈ Word 𝑆)
13	11, 12	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∘ 𝐸) ∈ Word 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∘ ccom 5627  ⟶wf 6482  –1-1-onto→wf1o 6485  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  0cc0 11028  ..^cfzo 13575  ♯chash 14255  Word cword 14438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-hash 14256  df-word 14439

This theorem is referenced by:  wrdpmtrlast  33048