Theorem wrdpmcl 32928

Description: Closure of a word with permuted symbols. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
wrdpmcl.1	⊢ 𝐽 = (0..^(♯‘𝑊))
wrdpmcl.2	⊢ (𝜑 → 𝐸:𝐽–1-1-onto→𝐽)
wrdpmcl.3	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
wrdpmcl	⊢ (𝜑 → (𝑊 ∘ 𝐸) ∈ Word 𝑆)

Proof of Theorem wrdpmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2734	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊))
2		wrdpmcl.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
3	1, 2	wrdfd 14430	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
4		wrdpmcl.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝐽–1-1-onto→𝐽)
5		wrdpmcl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (0..^(♯‘𝑊))
6		f1oeq23 6761	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 = (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐽 = (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐸:𝐽–1-1-onto→𝐽 ↔ 𝐸:(0..^(♯‘𝑊))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑊))))
7	5, 5, 6	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (𝐸:𝐽–1-1-onto→𝐽 ↔ 𝐸:(0..^(♯‘𝑊))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑊)))
8	4, 7	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(0..^(♯‘𝑊))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑊)))
9		f1of 6770	. . . 4 ⊢ (𝐸:(0..^(♯‘𝑊))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑊)) → 𝐸:(0..^(♯‘𝑊))⟶(0..^(♯‘𝑊)))
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(0..^(♯‘𝑊))⟶(0..^(♯‘𝑊)))
11	3, 10	fcod 6683	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∘ 𝐸):(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
12		iswrdi 14428	. 2 ⊢ ((𝑊 ∘ 𝐸):(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆 → (𝑊 ∘ 𝐸) ∈ Word 𝑆)
13	11, 12	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∘ 𝐸) ∈ Word 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∘ ccom 5625  ⟶wf 6484  –1-1-onto→wf1o 6487  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  0cc0 11015  ..^cfzo 13558  ♯chash 14241  Word cword 14424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-card 9841  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-fz 13412  df-fzo 13559  df-hash 14242  df-word 14425

This theorem is referenced by:  wrdpmtrlast  33071