Theorem wrdpmcl 33553

Description: Closure of a word with permuted symbols. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
wrdpmcl.1	⊢ 𝐽 = (0..^(♯‘𝑊))
wrdpmcl.2	⊢ (𝜑 → 𝐸:𝐽–1-1-onto→𝐽)
wrdpmcl.3	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
wrdpmcl	⊢ (𝜑 → (𝑊 ∘ 𝐸) ∈ Word 𝑆)

Proof of Theorem wrdpmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2761	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊))
2		wrdpmcl.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
3	1, 2	wrdfd 14669	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
4		wrdpmcl.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝐽–1-1-onto→𝐽)
5		wrdpmcl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (0..^(♯‘𝑊))
6		f1oeq23 6818	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 = (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐽 = (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐸:𝐽–1-1-onto→𝐽 ↔ 𝐸:(0..^(♯‘𝑊))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑊))))
7	5, 5, 6	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (𝐸:𝐽–1-1-onto→𝐽 ↔ 𝐸:(0..^(♯‘𝑊))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑊)))
8	4, 7	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(0..^(♯‘𝑊))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑊)))
9		f1of 6827	. . . 4 ⊢ (𝐸:(0..^(♯‘𝑊))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝑊)) → 𝐸:(0..^(♯‘𝑊))⟶(0..^(♯‘𝑊)))
10	8, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(0..^(♯‘𝑊))⟶(0..^(♯‘𝑊)))
11	3, 10	fcod 6738	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∘ 𝐸):(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
12		iswrdi 14667	. 2 ⊢ ((𝑊 ∘ 𝐸):(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆 → (𝑊 ∘ 𝐸) ∈ Word 𝑆)
13	11, 12	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∘ 𝐸) ∈ Word 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ∘ ccom 5654  ⟶wf 6537  –1-1-onto→wf1o 6540  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  0cc0 11205  ..^cfzo 13793  ♯chash 14479  Word cword 14663

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-card 10025  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-n0 12612  df-z 12699  df-uz 12971  df-fz 13645  df-fzo 13794  df-hash 14480  df-word 14664

This theorem is used by:  wrdpmtrlast  33702